9703

[Введите текст]

Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точкиM1 ( x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 ) . Пусть M (x, y, z) – произ-

вольная точка плоскости П .

M2

M

M1

M3

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его

клинейному уравнению относительно x, y, z вида (11.2).

11.2.Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями(см. рис. 11.8).

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

Рис. 11.8

80

[Введите текст]

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом α между плоскостями П1 и П2 будем считать меньший из этих двугранных углов (см. рис. 11.8).Выразим угол α между плоскостями через

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельностидвух плоскостейимеют вид

П1 П2 A1 A2 + B1B2 + С1С2 = 0 ;

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует поня-

тие пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух за-

данных плоскостей.В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

( A1x + B1 y + C1z + D1 ) + λ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 . (11.5)

Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как координаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и П2 , обращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом λ эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.

81

[Введите текст]

11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние отточкиM 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

d

N

M0

Рис. 11.9

ПустьM1 (x1, y1, z1 ) – проекция точкиM 0 наданную плоскость(см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора

M1M0 на направление нормального вектора N = { A, B,C } :

Отсюда следует, что M1O = {−x1, − y1,−z1} −− N = {3, −2, −1}

N

M1

d

y

x O

Рис. 11.10

Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем

Отсюда находим M1 (−1.5,1, 0.5) .

83

[Введите текст]

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном про-

странстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой прямой

и S = {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый направ-

ляющим вектором этой прямой

z

S

M 0

y

r0

r M

x

Рис. 12.1

Возьмем на прямой L произвольную точку M (x, y, z) . Рассмотрим

Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые пара-

метрические уравнения прямой в пространстве

x = x0 + m t

y = y0 + nt (12.2)

z = z0 + p t

Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от −∞ до +∞ точка M (x, y, z) «пробегает» всю прямую L . В частности, при t = 0 уравнения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

84

[Введите текст]

Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим

уравнениям прямой в пространстве

Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них(12.4). Это уравнение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой точки прямой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости

z

L

y O

x

Рис.12.2

Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией прямой L на эту координатную плоскость.

Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,

получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.

85

[Введите текст]

В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 (12.5)

Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис. 2.3).

y

x

Рис. 12.3

Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2 не параллельны. Пусть, например,

Раскрывая определители в этих выражениях, представим решения

системы (12.5) в виде

x = αz + β , y = γz + δ .

86

Таким образом, координаты точек прямой L , заданной уравнениями (12.5), удовлетворяют уравнениям (12.7), которые можно рассматривать как канонические уравнения этой прямой. В частности, точка (β,δ,0) лежит на

этой прямой, а S = {α, γ,1} – её направляющий вектор.

Возможен и другой путь получения канонических уравнений прямой из уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей П1 и П2 , заданных уравнениями (12.5)

N1 П2

N2

П1 S

Рис. 12.4

Очевидно, что в качестве направляющего вектораS = {m, n, p} прямой

L можно взять векторное произведение векторов N1 = {A1, B1,C1} и

N2 = {A2 , B2 ,C2}, т.е.

а координаты какой-нибудь точки этой прямой получим, решая систему (12.5) при фиксированном значении переменной z (например, z = 0 ).

M1M2 ={x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}, и тогда канонические уравнения примут вид

87

12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой

впространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

щей через точку M 0 перпендикулярно этой оси.

M 1

M 0

Рис.12.5

Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем

88

[Введите текст]

Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле

M1M 2 ={3,5, 2}:

d =| 2i + 6 j + k - (3i + 5 j + 2k ) |=| -i + j - k |= 3 .

Координаты проекции точки M 2 (x2 , y2 , z2 ) находим из равенства

M1M2 ={x2 - 0, y2 + 7, z2 - 2} = M2 (3, -2,4) , поэтому окончательно получаем

M 2 (3, −2, 4) .

В частности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.

12.3. Пересечение прямых в пространстве. Пусть двепрямые L1 и

L2 заданы каноническими уравнениями

Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направ-

ляющие векторы этих прямых S1 ={m1, n1, p1} и S2 ={m2 , n2 , p2} не коллинеарны, что исключает случаи параллельности или совпадения этих прямых, и, кроме того, точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) различные (см.

рис.12.6).

89