9703

Ясно, что прямые будут принадлежать одной плоскости, а значит пе-

ресекаться в точке M 0 , тогда и только тогда, когда три вектораS1 , S2 и

Как найти координаты точки пересечения прямых? Проведём через каждую прямую плоскость, проецирующую эту прямую на какую-нибудь из координатных плоскостей. Например, рассмотрим плоскости, проецирующие эти прямые на плоскость xOy . Пересечение этих плоскостей – это прямая, перпендикулярная плоскости xOy . Координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью xOy совпадают с соответствующими координатами точки пересечения данных прямых (см. рис. 12.7).

L1

M 0

y

Рис.12.7

Нахождение координат точки (x0 , y0 ) сводится к решению системы

90

[Введите текст]

а третья координатаможет быть найдена из уравнения прямойL1 или L2 . Пример. Доказать,что прямые

пересекаются и найти координаты точки их пересечения M 0 (x0 , y0 , z0 ) Про-

веряем компланарность тройки векторов S1 = {3, −6, 2}, S2 = {4, −12,3} и

M1M2 = {0,12,−1}, вычисляя определитель:

Следовательно,эти прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, решая, например, систему

Её решение x0 = 7, y0 = −20 . Из уравнения, допустим, первой прямой найдем третью координатуz0 = 3 . Итак, точка пересечения этих прямых

M 0 (7, −20,3).

12.4. Расстояние между двумя прямыми.Случай параллельных пря-

мых мы рассматривали в п.12.2. Поэтому пусть прямые скрещивающиеся, следовательно, расположены в параллельных плоскостях (см. рис. 12.8), расстояние между которыми и будет искомым расстоянием между прямыми.

91

[Введите текст]

Рис.12.8

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

92

[Введите текст]

Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей

13.1.Угол между прямыми в пространстве. Пусть заданы две прямые

L1 и L2 своими каноническими уравнениями

между ними полагают равным нулю. Параллельные прямые, очевидно, принадлежат одной плоскости.

Под углом между пересекающимися прямыми будем понимать угол

параллельными (см. рис.13.1).

S2

S2

ϕ

S1

Рис. 13.1

93

[Введите текст]

В частности, условие перпендикулярности двух прямыхимеет вид

L1 L2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 .

13.2. Угол между прямой и плоскостью.Найдем теперь угол между

N L L N

ϕS

94

[Введите текст]

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельностипрямой и плоскостиимеют вид

L П A = B = C ; m n p

L || П Am + Bn + Cp = 0 .

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,

которое означает, что точка (x0 , y0 , z0 ) прямой L принадлежит плоскости П , то прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, принадлежность прямой, заданной каноническими уравнениями (13.2), плоскости П : Ax + By + Cz + D = 0 определяется выполнением условий

{Am + Bn + Cp = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,

то ее направляющий вектор может быть получен как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей (см. рис. 12.3), т.е.

S= N1 ´ N2 ,

изадача нахождения угла между прямой иплоскостью сводится к преды-

дущей. В этом случае

Найдем значение параметра t1 , при котором соответствующая точка прямой принадлежит плоскости, т.е. удовлетворяет уравнению

A(mt + x0 ) + B (nt + y0 ) + C ( pt + z0 ) + D = 0

или, что тоже,

Если Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ¹ 0 , то это уравнение не имеет решений. Эти условия соответствуют тому, как мы выяснили выше, что прямая и плоскость параллельны и, следовательно, не пересекаются. Если Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , то уравнение (13.2) имеет бесчисленное множество решений, т.е. прямая принадлежит плоскости. И, наконец, если Am + Bn + Cp ¹ 0 , то

Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и найдем x1, y1, z1 – координаты точки пересечения прямой L с плоскостью П .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,

а плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , то координаты точки их пересечения находим, решая следующую систему трех линейных уравнений:

Здесь возможны варианты. Если определитель матрицы этой системы не равен нулю, то искомая точка пересечения единственна и находится, например, по правилу Крамера. Если определитель матрицы этой системы равен нулю, что означает компланарность нормальных векторов к этим плоскостям, то система может быть несовместна (см., например, рис. 13.3)

96

[Введите текст]

Рис. 13.3

или иметь бесчисленное множество решений, когда эти три плоскости пересекаются по одной прямой(см. рис. 13.4).

Рис. 13.4

Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях

97

[Введите текст]

Рассмотрим несколько типичных задач получения уравнений прямых или плоскостей, обладающих заданными свойствами.

2 >, , ?

0 0 0 0

L

Рис. 14.1

Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор к плоскости, т.е. S = N = {A, B,C}. Отсюда следует, что уравнения искомой прямой имеют вид

Задача 2. Составить уравнение плоскости П , проходящей через данную точку M 1 ( x1 , y1 , z1 ) перпендикулярно к данной прямой L

98

[Введите текст]

M 0 (x0 , y0 , z0 )

M 1 ( x1 , y1 , z1 )

Рис. 14.2

Задача 3.Найти проекцию точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) на плоскость

П : Ax + By + Cz + D = 0 .

Напомним, что проекцией точки M0 на плоскость называют основание перпендикуляра M1 , опущенного из этой точки на плоскость (см. рис.14.3). Очевидно, что эта проекция будет точкой пересечения плоскости П и прямой (14.1), проходящей через точку M0 перпендикулярно к этой плоскости.

N = { A, B,C }

M 0 (x0 , y0 , z0 )

M 1 ( x1 , y1 , z1 )

Проекцией точки M1 на прямую L в пространстве служит точка M2 пересечения прямой L и плоскости, проходящей через данную точку M1 перпендикулярно прямой L (см. рис. 14.4).

99