9703
.pdf[Введите текст]
Введём декартову систему координат, взяв за начало точку A и вы-
R R º
брав базис {e1,e2} {0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.
D C
?
e2
?
A |
e1 |
B |
Рис. 7.3
В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение
R |
R |
, |
R |
R |
d1 = DB = 2e1 |
- e2 |
d2 = AC = 2e1 |
+ e2 . |
Искомые величины выражаются через скалярное произведение
cos(ÐBO C) = |
< d1 |
, d2 |
> |
|
R |
= |
< d1, d |
2 |
> |
|
ПрR |
d |
|
||||||||
R |
R |
, |
|
R |
|
. |
||||
1 |
| d1 | |
× | d2 | |
d2 |
|
1 |
|
| d2 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по написанию обозначение
|
|
|
|
|
|
|
d1 × d2 = |
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
R |
R |
|
|
|
R |
|
R |
|
R |
R |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2e1 |
- e2 ) |
× (2e1 |
+ e2 ) |
= 4e1 |
× e1 |
- e2 |
× e2 = 3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Модули векторов вычисляем по формуле (7.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
| d |
|
|= |
|
d |
× d |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
5 - 4cos60O = 3 |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
(2e |
|
- e )2 |
|
4e 2 |
- 4e e |
+ e |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
| d |
|
|= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 + 4cos60O = 7 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
(2e |
+ e )2 |
|
|
|
|
|
|
4e 2 + 4e e |
+ e 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
|
|
< d1 |
, d |
2 > |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, |
|
Прd2 d1 |
= |
|
| d2 | |
|
|
= |
|
|
|
|
|
»1.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos(ÐBO C) = |
|
|
3 |
|
|
|
» 0.65 |
ÐBO C » arccos 0.65 » 49O |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 × |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
[Введите текст]
7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах. Вы-
разим скалярное произведение через координаты его сомножителей. Пусть задана декартова прямоугольная система координат с ортонормированным
R R |
|
R |
ax , ay , az } и |
b = { bx ,by ,bz } . Тогда, |
базисом { i , j, k } и два вектора |
a = { |
|||
учитывая свойства скалярного произведения, получим |
||||
R |
R |
R |
R |
j + bz k > = |
< a,b > = < axi + ay j + az k , bxi + by |
= axbx < i , i > + axby < i , j > + axbz < i , k > +
+ aybx < j ,i > + ayby < j , j > + aybz < j , k > +
+ azbx < k , i > + azby < k , j > + azbz < k , k > =
= axbx + ayby + azbz .
Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:
R |
+ ayby |
+ azbz . |
< a,b > = axbx |
Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,
|
|
R |
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> = |
|
a2 + a |
|
|
+ a2 |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a |
|
= < a, a |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R |
> |
|
axbx + ayby + azbz |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
R |
|
< a,b |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R |
a |
= |
|
R |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||
|
Прb |
|
| b | |
|
|
bx2 + by2 + bz2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
axbx + ayby + azbz |
|
|
||||||||||
cos j |
= |
< a,b > |
= |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ax2 + ay2 + az2 |
|
|
|
bx2 + by2 + bz2 |
||||||||||||||||
|
|
| a | |
×| b | |
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:
axbx + ayby + azb = 0 .
51
[Введите текст]
Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.
7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найтикоординаты точки
C(x, y, z), которая делит отрезок, соединяющий точки |
A(x1, y1, z1) |
и B(x2 , y2 , z2 ) |
||||||||||||||
(внутренним или внешним образом), в отношении |
λ (см. рис. 7.4). |
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 7.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для её решения отметим, что |
векторы |
|
AC = {x − x1, y − y1, |
z − z1} и |
||||||||||||
CB = {x2 − x, |
y2 − y, z2 − z} коллинеарны, то есть AC = λ CB . Запишем это |
|||||||||||||||
векторное равенство в координатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x − x1 = λ (x2 − x) , y − y1 = λ ( y2 − y) , z − z1 = λ (z2 − z) , |
|
|
|
|||||||||||||
откуда найдем координаты точки |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x = |
x1 + λ x2 |
, y = |
y1 + λy2 |
, z = |
z1 + λz2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 + λ |
|
1 + λ |
|
|
|
1 + λ |
|
|
|
Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий вектор этого луча a = {ax , ay , az }. Спрашивается, каковбудет направляющий вектор a1 для от-
ражённого луча? Оба эти вектора одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy . Очевидно, что у направляющего вектора отражённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними,т.е. a1 = {ax , ay , −az } (см. рис. 7.5).
52
[Введите текст]
z |
y |
|
|
a |
az |
|
|
|
|
a1 |
|
|
−az |
|
O |
|
|
|
|
x |
|
Рис. 7.5 |
|
Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света
будет иметь направление, противоположное |
первоначальному |
a3 = {−ax , −ay , −az } = −a . |
|
Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 |
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
|
4 |
|
|
|
Рис. 7.6
Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.
53
[Введите текст]
Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов
8.1. Векторное произведение векторов.
векторовa и b |
называется вектор |
R |
R |
´ b ] |
c |
= [a |
|||
что: |
|
|
|
|
R |
^ b |
|
|
|
· c a и c |
|
R |
R |
· упорядоченная тройка векторов {a,b , c}
Векторным произведением-
или просто |
R |
R |
´ b |
такой, |
c |
= a |
правоориентированная
· |
|
R |
|
= |
|
R |
|
× |
|
R |
|
×sin j, где ϕ – угол между векторами. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
c |
|
|
a |
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.
c |
c |
b |
a |
a
b
Рис. 8.1
С этим расположением векторов a , b , c связаны правоориентированнаяи левоориентированная декартовы прямоугольные системы координат.
k |
k |
j |
i |
i |
j |
|
Рис. 8.2
54
[Введите текст]
Обратим внимание на то, что значение модуля векторного произве-
дения
R |
= |
R |
× |
R |
× sin j |
c |
a |
b |
|||
|
|
|
|
|
|
равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах
b
ϕ
a
Рис. 8.3
В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы. Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно неподвижной точки выражается векторным произведением M = OA ´ F , а его модуль равен M =| F | ×| OA | sin j =| F |d – « произведению силы | F |
на плечо d =| OA |sin j».
M |
|
* + |
|
|
|
|
|
|
Мест |
d |
+ |
|
|
|
|
|
d |
|
|
Рис. 8.4
Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения. Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два заданных вектора. А именно, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю
R |
|
R |
× b = 0 . |
a || b |
a |
55
[Введите текст]
Действительно, это следует из равенства |
R |
R |
|
|
|a ´ b |=| a | × | b | sin 0 = 0 . |
||||
Что произойдет, если в векторном произведении |
R |
R |
|
|
c |
= a × b переста- |
|||
вить местами сомножители, т.е. что собой представляет вектор |
R |
|||
d = b × a ? |
||||
Очевидно, что вектор d перпендикулярен векторам |
a и |
b , |
его модуль |
|
R R |
стала левой, а, значит, тройка |
|||
равен модулю вектора c , но тройка {b , a, c} |
|||||
R R |
|
R |
или |
R |
R |
{b , a, -c} будет правой. Таким образом, |
d = −c |
[a |
× b ] = −[b × a ] . |
c
b
O
d |
a |
|
Рис. 8.5
Умножениеодного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.
R |
R |
R |
´ b ] . |
[ ka |
´ b ] = [ a |
´ kb ] = k [a |
В выражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложении, т.е.
R |
R |
R |
R |
R |
] . |
[(a |
+ b) × c |
] = [a |
× c |
] + [b × c |
Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном бази-
се векторов {i , j , k }, |
образующих правую тройку, имеют следующее раз- |
ложение: |
|
R |
= axi + ay j + az k , b = bxi + by j + bz k . |
a |
Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.
56
[Введите текст]
Таблица 1. Вычисление векторного произведения координатных ортов в
правоориентированной системе координат
× |
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
|
i |
0 |
k |
|
- j |
|
|
|
|
|
j |
- k |
0 |
|
i |
|
|
|
|
|
k |
j |
- i |
|
0 |
|
|
|
|
|
Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:
R |
× b ] = [ ( ax i |
+ a y j + az k ) × ( bx i + by j + bz k )] = |
[a |
||
|
|
= axbx [i × i ] + aybx [ j × i ] + azbx [k × i ] + |
|
|
+axby [i × j ] + ayby [ j × j ] + azby [k × j ] + |
+axbz [i × k ] + aybz [ j × k ] + azbz [k × k ] =
=i (aybz − azby ) − j (axbz − azbx ) + k (axby − aybx ) =
R |
ay az |
− |
R |
a |
x |
a |
z |
R |
ax ay |
||||
= i |
b |
|
b |
j |
b |
b |
+ k |
b |
b |
|
|||
|
y |
|
|
x |
z |
|
y |
||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
||||
R |
R |
i |
j |
k |
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
||
[a |
× b] = |
|
, |
|||
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит
57
[Введите текст]
к смене знака определителя, а, значит, к смене знака векторного произведения. Любознательный читатель может таким образом проверить справедливость и других свойств векторного произведения.
Полученное выражение векторного произведения через координаты сомножителей дает возможность вычислить площадь треугольника по координатам его вершин
b
a
A( x1 , y1 , z1 )
C ( x3 , y3 , z3 )
B( x2 , y2 , z2 )
Рис. 8.6
Образуя какую-нибудь пару векторов, например,
R |
= AB = { x2 |
− x1 , y2 − y1, z2 − z1} = { a1, a2 , a3} и |
a |
b = AC = { x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1} = { b1 , b2 , b3}
найдём
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
R |
R |
|
|
1 |
|
i |
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S = |
|
| a |
× b |
|
|= |
|
| |
a a a |
| . |
|||
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. Смешанным произведением векторов a , b , c называется чис-
ло,равное
R |
R |
> , |
(8.1) |
< a |
× b,c |
т.е. сначала находится вектор = R × b , а затем он умножается скалярно на a
d
вектор c . Поэтому смешанное произведение иногда называют векторноскалярным произведением векторов. Отметим, что смешанное произведение выражается через скалярное и векторное произведения и не является какой-то «новой» операцией над векторами. Как мы сейчас увидим, знак смешанного произведения говорит о взаимной ориентации данных трех векторов (правую или левую тройку они образуют), а его модуль дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.
58
[Введите текст]
Действительно, рассмотрим рисунки с правой и левой тройками векторов
c
|
|
|
|
|
|
|
d |
c |
|||||
|
|
θ |
|
|
b |
|
a
θ
b
a |
|
|
d |
Рис. 8.7
Из рисунков видно, что в случае правой тройки |
R R |
вектор |
||
{a,b , c} |
||||
образует с вектором c |
острый угол θ , а в случае левой тройки – |
|||
тупой. С учетом того, что |
|
|
||
R |
R |
R |
|
|
< a |
´ b,c > = | d | × | c | cos q , |
|
|
= R × d a b
этот угол
мы получим, что в первом случае знак смешанного произведения будет положительным, а во втором – отрицательным. Таким образом, знак смешанного произведения «говорит» о взаимной ориентации тройки векторов
впространстве.
Ачто означает равенство нулю смешанного произведения? Очевидно, что это будет тогда и только тогда, когда cos θ = 0 , т.е. θ = π / 2 и, сле-
довательно, вектор c должен лежать в плоскости векторов a и b . Итак, обращение в нуль смешанного произведения эквивалентно компланарности данной тройки векторов.
- *
Рис. 8.8
59