7464

30

ется очевидным, если есть общепринятые уравнения, описывающие рассматри-

ваемый класс задач.

Выбор математического метода решения. Здесь необходимо на основе накопленного арсенала математических методов выбрать тот, который целесо-

образно использовать для решения поставленной задачи. Как правило, этот вы-

бор осуществляется исходя как из субъективных причин (знание тех или иных математических методов), так и объективных причин, к которым в первую оче-

редь необходимо отнести имеющиеся ресурсы компьютера (память, быстродей-

ствие). При этом если для получения решения требуются ресурсы, которые превосходят имеющиеся в наличии, то необходим поиск других математиче-

ских методов, либо упрощение математической модели.

Составление алгоритма решения. Этот этап тесно связан с предыдущим и должен быть направлен в первую очередь на разработку эффективных алго-

ритмов, т. е. таких, которые требуют наименьшего количества ресурсов компь-

ютера для своей реализации.

Составление и отладка программы. Этот этап может быть весьма трудо-

емким, особенно для начинающих программистов. При отладке больших про-

грамм целесообразно использовать специальные программные средства, облег-

чающие процесс нахождения ошибок.

Тестирование программы. На этом этапе, чтобы удостовериться в пра-

вильности работы алгоритма, решаются задачи с такими исходными данными,

для которых известно достоверное решение, либо используются какие-то кос-

венные свидетельства. Так в ряде задач существует связь между исходными данными и результатами, например закон сохранения энергии, импульса и т. д.

Решение поставленной задачи и представление результатов. Здесь наи-

более существенным является удобный и наглядный вывод результатов. Во многих случаях целесообразно использовать графические программные средст-

ва для визуализации полученных данных.

При решении конкретных задач некоторые из этих этапов могут исклю-

чаться самой постановкой задачи.

31

3.4.Пример построения алгоритма

Вкачестве примера рассмотрим задачу о теплопроводности многослой-

ной ограждающей конструкции здания.

Система уравнений, описывающая тепловой баланс помещения как объ-

екта с частично распределенными параметрами, состоит из одномерных урав-

нений теплопроводности ограждающих конструкций и из уравнения баланса тепла воздуха в помещении и оборудования.

Введем понятие уравнения теплопроводности обобщенного вида, которое в наиболее полной форме учитывает особенности теплопередачи в основных типовых ограждающих конструкциях

Граничные условия обобщенного вида можно записать так:

Для описания процесса теплопередачи в многослойном наружном ограж-

дении в зимнее время (без учета солнечной радиации) без внутренних источни-

ков тепла с учетом фильтрации воздуха в уравнении (2.1) следует положить: А2

= 0, А3 = 0, а в граничных условиях: а2–p = 0; n1=1; q2 = 0.

Для описания процесса теплопередачи в многослойном наружном ограж-

дении в летнее время без учета фильтрации воздуха и без внутренних источни-

ков тепла в уравнении (2.1) следует положить: А1 = А2 = А3 = 0, а в граничных условиях: а2–p = 0; n1=1; q1 = 0.

Наиболее хорошо разработанными и эффективными для решения уравне-

ний теплопроводности при использовании ПК является метод конечных разно-

стей (метод сеток).

32

Особенность решаемой задачи нестационарной теплопроводности состо-

ит в том, что вычисление тепловых потоков необходимо выполнять для боль-

шого интервала времени (отопительный период, расчетный год и т. д.).

4. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОМАССООБМЕННОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

Ограничимся ознакомлением с методами численного решения систем ли-

нейных алгебраических уравнений. Получить навыки в разработке алгоритмов и программ реализующих методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Современная система теплогазоснабжения включает значительное число агрегатов и устройств, к основному числу которых относятся теплообменники поверхностного и смешивающего типов, расширители, эжекторы, испарители и целый ряд другого оборудования. Как правило, задачей расчета теплообменных аппаратов является нахождение расходов греющей или обогреваемой сред, ко-

торые определяются в рамках единого подхода – на основе уравнений балансов.

Последние есть не что иное, как уравнения законов сохранения массы, энергии

(в термодинамическом виде) и импульса. В основу составления уравнений теп-

лового и материального балансов положено знание принципов действия и про-

цессов, протекающих в той или иной установке тепловой схемы.

Подогреватель поверхностного типа предназначен для подогрева основ-

ного конденсата или питательной воды за счет тепла пара, отбираемого из про-

точной части паровой турбины. Как правило, нагреваемая вода течет внутри трубной системы, греющий пар – в межтрубном пространстве (см. рис. 4.1).

Целью расчета подогревателя поверхностного типа является определение рас-

хода греющего пара – Dп. Для этого необходимо составить уравнение теплового баланса, заключающееся в равенстве теплоты отдаваемого греющим паром с учетом коэффициента полезного действия теплообменника и теплоты воспри-

нимаемой нагреваемой средой.

33

D i1 ik η G2c2 t2 t2 ,

где D – количество греющего пара, кг/с; i1– энтальпия греющего пара (опреде-

ляется из таблиц насыщенного водяного пара), кДж; iк– энтальпия конденсата,

кДж; iк = свtк, G2 – масса (или массовый расход) нагреваемого вещества; с2 – те-

плоемкость нагреваемого вещества; t′2 – начальная температура нагреваемого вещества; t″2 – конечная температура нагреваемого вещества, °С; η – коэффици-

ент полезного действия теплообменника.

t2″

t2′

Рис. 4.1. Принципиальная схема (а) и температурный график (б) работы подогревателя поверхностного типа.

Энтальпия греющего пара является функцией его давления и температу-

ры: i1 = h(Pп,tп). Энтальпия конденсата греющего пара равна энтальпии насы-

щенной воды, определяемой по давлению греющего пара iн = h'(Pп).

Энтальпия нагреваемой воды на выходе из подогревателя поверхностного типа зависит от давления и температуры воды: iв = h(t,Pв), где t2″ – температура нагреваемой воды на выходе из подогревателя, определяемая в свою очередь,

как разность температуры конденсата греющего пара и величины недогрева: t2″ = ts(Pn) – ϑ . Значение ϑ в инженерных расчетах для подогревателей высокого давления (ПВД) принимается 2 ÷ 4 С, а для подогревателей низкого давления

(ПНД) – 3 ÷ 6 С. Величина энтальпии нагреваемой среды на входе в теплооб-

менник определяется типом элемента тепловой схемы стоящего перед рассчи-

тываемым элементом против хода движения нагреваемой среды. Нагрев тепло-

34

носителя в таких теплообменниках осуществляется в основном за счет скрытой теплоты, выделяющейся при изменении агрегатного состояния (конденсации)

греющего пара. Все теплообменники, работающие по вышеизложенному прин-

ципу, называются собственно подогревателями (СП).

Для повышения эффективности работы подогревателей поверхностного типа современные установки выполняют многозонными. В общем случае коли-

чество зон составляет три, а их классификация осуществляется по принципу те-

плообмена на охладитель пара (ОП), собственно подогреватель и охладитель конденсата (ОД) (см. рис. 4.2). В охладителе пара происходит охлаждение пара до температуры на 10 ÷ 15 С больше температуры насыщения греющего пара: t'n = ts(Ри) + (10 ÷ 15) С. В охладителе конденсата нагреваемая среда подогрева-

ется за счет тепла, выделяющегося при переохлаждении конденсата греющего пара с температуры насыщения до температуры на 6 ÷ 10 С больше темпера-

туры нагреваемой воды на входе в теплообменник.

Рис. 4.2. Подогреватель поверхностного типа с охладителем пара (ОП), собственно подогревателем (СП) и охладителем конденсата (ОД)/

35

Задачей расчета теплообменника такого типа является определение рас-

хода греющего пара Dп, энтальпий нагреваемой среды на выходе из охладителя пара ion и охладителя конденсата iод. С целью определения неизвестных величин составляют уравнения теплового баланса для каждой зоны подогревателя:

где i'п = h(Pп,t'п) – энтальпия греющего пара на выходе из охладителя пара; iд = h(Pп,t'д) – энтальпия конденсата греющего пара на выходе из охладителя конденсата.

Если в балансовых уравнениях все слагаемые с неизвестными величина-

ми перенести в левую часть, а с известными в правую, то в результате получим совместную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неиз-

вестными, решить которую можно одним из известных численных методов.

Подогреватель смешивающего типа. Предназначен для подогрева воды за счет теплоты пара, отбираемого из проточной части турбины. Нагрев осуще-

ствляется путем непосредственного контакта и смешения греющей и нагревае-

мой сред (см. рис.4.3).

Рис. 4.3. Расчетная схема подогревателя смешивающего типа.

При расчете теплообменников смешивающего типа искомыми величина-

ми являются, как правило, расход греющего пара Dп и нагреваемой среды после подогревателя G'в. Для определения неизвестных величин при расчете подогре-

вателей смешивающего типа необходимо составить два уравнения: материаль-

36

ного и теплового балансов. Если уравнение теплового баланса характеризует равенство отданного и воспринятого количества тепла соответственно между греющей и нагреваемой средой, то уравнение материального баланса выражает равенство всех материальных потоков, поступающих в теплообменник и выхо-

дящих из него.

Уравнение материального баланса записывается в следующем виде:

Dп + Gв = G'в

Уравнение теплового баланса:

Dпiпη + Gвсt = G'вct'

где ct' = h'(Pп) – энтальпия нагреваемой среды на выходе из подогревателя смешивающего типа равна энтальпии насыщенной воды, определяемой по дав-

лению греющего пара.

Водо-водянной теплообменник. Целью расчета теплообменников, в ко-

торых греющим теплоносителем является вода (дренаж греющего пара, про-

дувочная вода и др.), является энтальпия и соответственно температура на-

греваемой среды на выходе из аппарата. Принцип расчета такой установки сов-

падает с принципом расчета охладителя конденсата (ОД) подогревателя по-

верхностного типа.

Определение расходов греющего пара на регенеративный подогрев в по-

лучаемых системах линейных алгебраических уравнений производится с ис-

пользованием численных методов решения подобных систем. Для этого урав-

нения балансов приводят к следующему виду:

a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1

где аij – значения коэффициентов при неизвестных; хi – искомые корни системы

(неизвестная величина); bi – значения правых частей уравнения.

38

зованных из главного путем замещения соответствующего i – го столбца мат-

рицы А на столбец значений правой части системы – В.

Количество вспомогательных определителей в данном случае будет равно числу искомых переменных

Метод Гаусса является одним из самых распространенных методов ре-

шения систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод называют так-

же методом последовательного исключения неизвестных.

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов,

называемых прямым ходом и обратным ходом.

Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений для преобразова-

ния ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисление значений неизвестных проводят на этапе обратного хода.

Рассмотрим схему решения системы линейных алгебраических уравне-

ний методом Гаусса.

Прямой ход. На первом шаге алгоритма исключают неизвестное х2 из уравнений с номерами 2, 3, 4, ..., п. Чтобы исключить х1 из i-го уравнения, не-

обходимо первое уравнение умножить на отношение ai1/a1 и вычесть его из i-

го уравнения. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при х1 во всех урав-

нениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему.

На втором шаге исключаем из полученной системы неизвестное х2 из уравнений 3, 4, ..., п. Множители второго шага вычислим по выражению ai2/a22

и вычислим последовательно из третьего, четвертого и ..., п-го уравнений ранее преобразованной системы линейных алгебраических уравнений второе уравне-

ние, умноженное на соответствующие множители.

Аналогично проводятся остальные шаги. После (n – 1)-го шага исключе-

ния получают систему уравнений следующего вида:

39

a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1

Полученная матрица А(п–1) является верхней треугольной матрицей. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения треугольной системы находят хп.

Подставляя найденные значения хn в предпоследнее уравнение, получают хп–1.

Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находят неизвест-

ные хп–2, хп–3,..., х3, х2, х1.

Нетрудно заметить, что для реализации метода Гаусса требуется (2/3)n2

арифметических действий, причем подавляющее число действий совершается

на этапе прямого хода.

5. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ

ТЕПЛОМАССООБМЕНА

5.1. Теплоотдача вертикальной трубы

Для тел любой формы, кроме горизонтальных труб, критериальное урав-

нение имеет вид

Num = c(Gr∙Pr)mn……………………………….(5.1)

Значения с и п зависят от значения произведения критерия Грасгофа

Gr gβ 2c 30 и критерия Прандтля Pr = v/a и приведены в табл. 5.1.

ν

Таблица 5.1