7464

10

закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени, вследствие теплоотдачи должно равняться ко-

личеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутреннего объема тела, т. е. по закону Фурье

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температу-

ра и градиент температуры относятся к поверхности тела.

Попытки аналитического решения системы уравнений, даже для лами-

нарного течения жидкости, наталкиваются на серьезные математические труд-

ности, обусловленные нелинейностью уравнений (1.1) – (1.3) и зависимостью физических параметров жидкости от температуры. При ламинарном течении жидкости частицы жидкости движутся без перемешивания, слоисто. Поперек потока ламинарно-текущей жидкости тепло передается только теплопроводно-

стью. Турбулентное течение жидкости представляет собой хаотическое движе-

ние разных по размерам частиц жидкости с их перемешиванием. Любая физи-

ческая величина (температура, скорость, давление и т. д.), измеренная в фикси-

рованной точке турбулентного потока жидкости, показывает хаотические пуль-

сации около некоторого среднего во времени значения.

1.2. Анализ размерностей

Метод основан на том факте, что решение физических задач не должно зависеть от выбора системы единиц, которая отражается только на численных коэффициентах уравнений, но не на их структуре. Безразмерные характеристи-

ки физического процесса подчиняются теореме Бэкингема (π-теореме) i = п – т,

где i – наибольшее число безразмерных комплексов; п – число размерных пара-

метров, характеризующих процесс; т – число первичных размерностей.

11

Анализ размерностей рассмотрим на примере задачи о теплообмене в

трубе при турбулентном течении.

Коэффициент теплоотдачи [Вт/(м2∙К)] зависит от скорости теплоноси-

теля w [м/с], динамической вязкости μ [Н∙с/м2 = кг/(с∙м)], удельной теплоемко-

сти с [Дж/(кг∙К)], теплопроводности [Вт/(м∙К)], ускорения силы тяжести

g [м/с2], диаметра трубы d [м] и плотности ρ [кг/м3].

Длину трубы исключим из рассмотрения, так как рассматривается стаби-

лизированный процесс теплообмена. Итого, имеем 8 различных параметров,

описывающих процесс. Число первичных размерностей равно пяти (Ватт, кило-

грамм, метр, Кельвин, секунда). Число безразмерных комплексов, характери-

зующих процесс, i = 8 – 5 = 3. Для определения этих комплексов применим ал-

гебраический метод Рэлея. Для упрощения уравнений целесообразно сгруппи-

ровать некоторые величины, например, использовать не линейную скорость, а

весовую wρ = wρ. Тогда

= Awρad6cв μг д,

Подстановка размерностей в это уравнение дает

Суммирование показателей степени при одинаковых основных единицах

приводит к следующей системе уравнений:

Вт: 1 = в + д; кг: 0 = а – в + г;

м: – 2 = – 2а + б – г –2д; с: 0 = – а + в – г; К: – 1 = – в – д.

Совместное решение этих уравнений дает

б = а – 1; г = в – а; д = 1 – в.

После подстановки в основное уравнение получаем

= Awρad а – 1cв μв – а 1 – в,

Nu = A∙Rea∙Prв

Постоянные «А», «а», «в» должны определяться на основании модельных экспериментов. Анализ размерностей является первичным звеном изучения процессов, когда еще не составлены уравнения, описывающие процесс. Успех дела здесь зависит от правильности определения физических величин, влияю-

щих на процесс, что часто определяется интуицией исследователя. Наоборот,

включение в рассмотрение величин, несущественных для данного процесса,

приводит к неправильным критериям.

Полученные критерии подразделяются на определяющие и определяемые.

К первым относятся безразмерные комплексы, составленные из величин, вхо-

дящих в условия однозначности процесса (геометрические свойства системы,

физические характеристики, начальное состояние системы и граничные усло-

вия). Ко вторым относятся комплексы, не входящие в условия однозначности.

Определяющие критерии являются независимыми переменными, а определяе-

мые – зависимыми переменными, причем каждый из определяемых критериев есть функция совокупности определяющих критериев. В приведенном выше примере числа Re и Рг являются определяющими критериями, а число Nu – оп-

ределяемым. Если при использовании метода размерностей решение задачи за-

висит от квалификации исследователя, то система критериев из анализа диффе-

ренциальных уравнений получается автоматически путем представления урав-

нений в безразмерной форме.

1.3. Физическое моделирование

Вследствие сложности процессов и невозможности аналитического реше-

ния уравнений конвективного теплообмена при его изучении широко исполь-

зуются методы экспериментального исследования. Экспериментальные иссле-

дования конвективного теплообмена проводят, как правило, на моделях. При

13

моделировании изучение процесса теплообмена на образце заменяется иссле-

дованием этого же процесса на модели. Условия моделирования, т. е. условия,

которым должна удовлетворять модель и протекающий в ней процесс теплооб-

мена, дают условия подобия. Если процесс в модели будет подобен процессу в образце, то результаты исследования на модели могут быть применены к об-

разцу. Моделирование включает в себя две самостоятельные задачи. Во-

первых, в модели необходимо осуществить процесс, подобный процессу в об-

разце, и, во-вторых, выполнить на модели все необходимые измерения и на-

блюдения.

Все величины в уравнениях и условиях однозначности можно подразде-

лить на три вида:

–независимые переменные – это координаты x, y, z, ;

–зависимые переменные – это , α, w, p; зависимые переменные одно-

значно определяются независимыми переменными, если заданы величины,

входящие в условия однозначности, здесь = T – T0 – избыточная температура;

– постоянные величины – это w0, T0, c, 0, λ, a, ν, ρ, g, β; они зада-

ются условиями однозначности и для конкретной задачи постоянны.

Таким образом, искомые зависимые переменные поле избыточных темпе-

ратур , коэффициент теплоотдачи , проекции скорости на оси координат wx, wy, wz, поле давлений р зависят от большого числа величин. Они являются функциями независимых переменных и постоянных величин, входящих в усло-

вия однозначности, например,

Если бы удалось аналитически решить систему дифференциальных урав-

нений (1.1) – (1.3) при заданных краевых условиях, то был бы определен кон-

кретный вид функций f1 и f2. Можно было бы попытаться найти вид функций f1

и f2 опытным путем. Однако не всегда легко проводить и опытное исследова-

ние. Для определения влияния на процесс теплообмена какой-либо одной вели-

14

чины остальные величины нужно сохранять неизменными в опыте. Это условие не всегда можно выполнить из-за большого количества переменных. Кроме то-

го, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо опытной установки (модели), можно перенести и на другие анало-

гичные процессы (образцы). Величины, содержащиеся в уравнениях (1.1) –

– (1.3) и условиях однозначности, можно сгруппировать в безразмерные ком-

плексы. Число безразмерных комплексов будет меньше числа размерных вели-

чин. Для приведения уравнений (1.1) – (1.3) и условий однозначности к безраз-

мерному виду выберем в качестве масштабов постоянные величины, входящие в условия однозначности: для времени 0, длины 0, для скорости w0, для тем-

пературы с.

Обозначим безразмерные величины:

Подставив эти размерные величины в уравнения и граничные условия,

получим: безразмерное уравнение теплоотдачи

безразмерное уравнение энергии в отсутствие источников теплоты

безразмерное уравнение движения в проекции на ось х

15

где плотность зависит от температуры ρ ρo 1 β , и 0 – плотности, соот-

ветствующие температурам t и t0; = t – t0 – избыточная температура, р1 = р – р0, и gradр0 = 0g – градиент гидростатического давления р0.

безразмерное уравнение неразрывности

Как видно, в отличие от размерных граничных условий, которые могут иметь различные числовые значения, безразмерные граничные условия имеют вполне конкретные числовые значения. Помимо безразмерных величин

θ,Wx,Wy,Wz и безразмерных координат, составленных из однородных физиче-

ских величин, в уравнения (1.8) – (1.11) входят также безразмерные комплексы,

состоящие из разнородных физических величин

Этим безразмерным комплексам, называемым числами подобия, присвое-

ны имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гидродинамики и тепломассообмена. Первый из этих комплексов называют числом Фурье

тивного теплообмена число Нуссельта является искомой величиной, так как в него входит искомая величина коэффициент теплоотдачи. Безразмерный ком-

отношение теплоты, переносимой конвекцией, к теплоте, переносимой тепло-

проводностью, в направлении течения. Если число Pe 1, то можно пренеб-

речь переносом теплоты теплопроводностью. И наоборот, если число Pe 1,

то можно пренебречь переносом тепла конвекцией по сравнению с переносом

16

тепла теплопроводностью. Безразмерный комплекс Re w0 0 называют числом

ν

Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил инерции и сил вязкого трения.

Число Рейнольдса можно получить, если член уравнения движения, учиты-

вающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий в этом уравне-

нии силы вязкого трения. Число Рейнольдса часто используют для характери-

стики режима течения жидкости: ламинарного или турбулентного. При числах Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Reкр, инерционные силы уравновешены силами вязкого трения, имеет место упорядоченное лами-

нарное течение жидкости. При числах Рейнольдса, больших критического зна-

чения Reкр, инерционные силы разрушают упорядоченное течение, и возникает

вают числом Грасгофа. Оно характеризует отношение подъемной силы, возни-

кающей в жидкости вследствие разности плотностей, к силе вязкого трения.

Это число широко используют в задачах теплообмена при естественной кон-

p

векции жидкости. Безразмерный комплекс Eu 1 называют числом Эйлера.

ρw02

Это число характеризует соотношение в потоке жидкости сил давления и сил инерции. В уравнении движения это число входит только под знаком производ-

ной. Следовательно, для рассматриваемого процесса существенно не абсолют-

ное значение давления, а его изменение.

При неизменной математической формулировке задачи новые безразмер-

ные комплексы могут быть получены путем соответствующего комбинирова-

ния старых комплексов. Однако при этом число переменных под знаком функ-

ции в зависимости определяемых комплексов от определяющих не должно из-

мениться. Если разделить число Пекле на число Рейнольдса, то получим новую переменную, называемую числом Прандтля

Pe ν μcp Pr.

Re a λ

17

Число Прандтля целиком составлено из физических параметров жидко-

сти, а поэтому и само является физическим параметром. Все жидкости в зави-

симости от числа Прандтля можно подразделить на три типа. Жидкости, для которых Pr 1, это все капельные неметаллические жидкости. В случае тепло-

обмена при течении таких жидкостей, толщина гидродинамического погранич-

ного слоя больше толщины теплового пограничного слоя. Жидкости, для кото-

рых Pr 1, это все газообразные среды. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя приблизительно равна толщине теплового пограничного слоя. Жидкости, для которых Pr 1, это все металлические жидкости. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя меньше толщины теплового пограничного слоя.

Безразмерные величины θ, X, Y, Z, Wx, Wy, Wz, Nu, Re, Gr, Pr, Eu явля-

ются теперь новыми переменными. Их можно подразделить на три группы:

1.независимые переменные – это безразмерные координаты X, Y, Z;

2.зависимые переменные – это θ, Nu,Wx,Wy,Wz ,Eu ;

3.постоянные величины – это Re, Gr, Pr.

В результате этого соотношения (1.6) и (1.7) можно записать в виде

θ, Nu, Wx, Wy, Wz, Eu;

– определяющие – это числа, составленные из независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности X, Y, Z, Re, Gr, Pr.

Числа подобия, составленные из заданных параметров (постоянных) ма-

тематического описания процесса, называют также критериями подобия.

18

Очевидно, при равенстве чисел подобия модели и натурного объекта уравнения конвективного теплообмена в них совпадут, а следовательно при выполнении условий подобия можно ожидать, что и процессы тепломассооб-

мена будут одинаковыми.

Сформулируем общие условия подобия процессов конвективного тепло-

обмена в виде трех правил:

1. Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи безразмерными дифференциаль-

ными уравнениями.

2.Безразмерные условия однозначности подобных процессов должны быть численно одинаковыми.

3.Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных про-

цессов должны иметь одинаковое числовое значение.

Первое условие подобия требует, чтобы на модели и образце процессы имели одинаковую природу и описывались тождественными безразмерными дифференциальными уравнениями.

Второе условие подобия требует, чтобы на модели и образце процессы имели численно одинаковые безразмерные краевые условия. Отмечалось, что краевые условия или условия однозначности включают в себя: геометрические условия, физические условия и граничные условия. Поэтому на модели необхо-

димо осуществить геометрическое и физическое подобие с образцом, а также подобие граничных условий.

Третье условие подобия требует, чтобы на модели и образце одноимен-

ные определяющие критерии имели одинаковые численные значения. При этом определяемые одноименные безразмерные переменные подобных процессов также будут иметь одинаковые численные значения.

Так как физические свойства жидкости зависят от температуры, что при выводе уравнений конвективного теплообмена не учитывалось, кроме плотно-

сти, то точное моделирование не всегда возможно. Поэтому используют мето-

ды приближенного моделирования. К ним относится, например, метод локаль-

19

ного теплового моделирования. Он состоит в том, что подобие процессов осу-

ществляют лишь в том месте, где исследуется теплоотдача. Например, теплоот-

дача пучка труб в потоке жидкости исследуется на одной трубе, а остальные служат только для придания модели формы, подобной образцу.

Опытные данные, полученные на модели, обрабатываются в числах подо-

бия. Допустим, было получено в результате анализа, изложенного выше, что в экспериментально изучаемом процессе

Nu F(Re, Pr).

По данным измерений подсчитываются значения Re и Pr и соответст-

вующие им значения Nu. Зависимость между числами подобия обычно пред-

ставляется в виде степенных функций, например

Nu cRenPrm,

где c, n, m являются постоянными безразмерными числами, которые определя-

ются либо графически путем построения в логарифмических координатах сте-

пенной функции, либо расчетным путем на ЭВМ. Такого рода степенные функ-

ции применимы лишь в тех пределах изменения аргумента, в которых они под-

тверждены опытом. Экстраполяция за эти пределы при использовании этих за-

висимостей может привести к грубейшей ошибке.

В числа подобия входит характерный размер 0. Теория подобия не опре-

деляет, какой размер должен быть принят в качестве определяющего. Если по условиям однозначности задано несколько размеров, за определяющий обычно принимают тот, который в большей степени отвечает сущности процесса. Ав-

торы опытных зависимостей между числами подобия указывают, что они вы-

бирали в качестве определяющего размера.

В числа подобия входят физические параметры жидкости. Эти параметры зависят от температуры. Поэтому важна определяющая температура, по кото-

рой выбираются физические свойства жидкости. Обычно авторы за опреде-

ляющую принимают такую температуру, которая в технических расчетах зада-

на или может быть вычислена.