книги / Оболочки и пластины
..pdfВ случае изотропной среды, учитывая (2,17,5)
|
hE |
|
|
hvE |
Си — С22— 1— v2 |
С 12 — |
|
1—V2 |
|
Du — D2222 — |
Eh3 |
D12 — |
|
vEh3 |
12(1—V2) ’ |
12(1 — v2) |
|||
из (2,18,6) следуют соотношения (2,7,9). |
||||
С помощью |
аналогичных |
рассуждений |
||
можно получить |
зависимость |
между |
уси |
|
лиями— моментами и деформациями |
для |
|||
многослойных оболочек. Покажем |
это на |
примере оболочки, составленной из произ вольного числа ортотропных слоев (рис. 2.17).
Выделим в (т-М)-слое поверхность, параллельную граничным поверхностям. Эта поверхность, которую мы назовем опорной, будет играть ту же роль, что и срединная поверхность для однослойной оболочки. Потенциальная энергия для мно гослойной оболочки запишется в виде
m-\-n |
°s |
|
бс—А |
|
j ( « . . г + |
5=1 6*-1- л |
|
+ 2М 0) 4г)(1 + |
- ^ - ) ( l + |
где b)j — упругие постоянные для s-ro слоя.
Ek
Сев — 2(1 +v) ’
Dee = |
Eh3 |
|
12(1 ^ v) |
||
|
« i f +
dz] ABdadfi, |
(2,18,7) |
Подставляя в (2,18,7) значения eiz) e2z) и е|2 из (2,3,8), (2,3,10) и (2,3,14), пренебрегая величинами г/ и z/R2 по сравнению с единицей и производя интегрирование по г, получим выражение для потенциальной энергии в виде
^ WdV = — [СцВ? + С22е2+ 2Ci2eie2+ C6eel2+
+ |
2Kn&iX‘i + |
Кi2 (ei^2 "h e2xi) + 2К22г2к2-f- 4/Ceeei2^i2 ~b |
|
|||||
где |
-f- DuXi |
|
D22X2“f- 2D12XI X2 -f- 4D0eXi2] ABdo.d$y |
(2,18,8) |
||||
|
|
|
m -frt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c u = V&yffl, — e,_0 , |
|
|
|||
|
|
|
m-\-n |
s=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ti = |
y |
j |
bij [(6S2 - |
62_i) - |
2Д (6S- |
e_,)l, |
|
|
m-\-n |
|
s = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dtj = |
-L j b j , |
[($ - |
b U ) ~ |
ЗД (Ss2- |
6s_i) + |
ЗД2(8, - 8_ ,). |
(2,18,9) |
s = 1
§19. ТЕОРИЯ ТРЕХСЛОИНЫХ ОБОЛОЧЕК
Впоследние годы в различных областях техники (авиастроение, судостроение, гражданское строительство и др.) находят применение слоистые конструкции, в частности трехслойные пластинки и оболочки. Трехслойная конструкция состоит из двух высокопрочных внешних
слоев, соединенных при помощи заполнителя — материала, обладающе го меньшей прочностью, чем внешние слои, но обеспечивающего их совместную работу. В качестве внешних слоев могут служить металл, высокопрочная фанера, пластмасса. Заполнителем может быть пено пласт, бальзовое дерево, твердая пористая резина, гофрированный лист металла, армированные и неармированные пластики, металлические соты. Бурное развитие химической промышленности позволило в каче стве материалов внешних слоев и заполнителя широко применять стек лопластики и эпоксидные смолы различных сортов. Трехслойные конст рукции обладают многими качествами, которых нет у обычных конст рукций, выполненных только из металла. Они имеют высокую удель ную жесткость и могут выдержать большие удельные нагрузки. Слоистые пластины и оболочки обладают хорошими тепло- и звукоизо ляционными качествами, демпфирующими и вибропоглощающими свой ствами. Благодаря тому, что на наружной поверхности трехслойных конструкций отсутствуют какого-либо рода крепления и поверхность идеально гладкая, они обладают высокими аэродинамическими каче ствами.
Раньше трехслойные конструкции выполнялись из одинаковых несущих слоев. В последние годы потребности техники привели к тому, что несущие слои стали выполняться из разных материалов и разной толщины. Это в значительной мере расширяет область использования трехслойных конструкций. Такие конструкции, по принятой в литерату ре терминологии, называют конструкциями несимметричного строения или несимметричной структуры, в отличие от конструкций, имеющих несущие слои одинаковой толщины и изготовленных из одинакового материала, называемых конструкциями симметричного строения.
В зависимости от характеристик среднего слоя различают трехслой
ные конструкции с легким |
и жестким |
заполнителями. |
Если средний |
слой имеет незначительную |
жесткость |
в направлении, |
параллельном |
внешним слоям, то заполнитель называют легким. Отношение модуля упругости наружного слоя к модулю упругости заполнителя в этом слу чае бывает порядка 102—104. Таким образом, всю нагрузку на растяже ние — сжатие берут на себя наружные слои. Их называют несущими. Работа заполнителя сводится к передаче нормального давления на не сущие слои и поперечных сдвигающих усилий. Если жесткость заполни теля в продольном направлении значительна, то он способен восприни мать и нормальные напряжения в плоскости, параллельной внешним слоям. Такой заполнитель называют жестким. Отношение толщины заполнителя к толщине несущего слоя обычно колеблется в пределах 10—100.
В зависимости от модуля упругости заполнителя в поперечном направлении трехслойные конструкции могут испытывать и поперечные деформации. При малых значениях модуля упругости бывает необходи мость учитывать поперечную сжимаемость заполнителя. Это нужно при нимать во внимание, например при местной потере устойчивости несу щих слоев или их сморщивании. В ряде случаев деформации трехслой
ных пластин и оболочек, .например при изгибе или общей потере устойчивости, поперечной сжимаемостью можно пренебречь.
Теория и методы расчета изгиба и устойчивости трехслойных пла стин и оболочек разработаны усилиями советских и иностранных авто
ров. |
Интересующихся отсылаем к обзорам [17, 18, 27, 38, 39, 45, 51, |
67, |
77]. |
Здесь мы дадим вывод уравнений Э. И. Григолюка —П. П. Чулкова [39] для трехслойных оболочек.
При построении уравнений для внешних слоев используются гипо тезы Кирхгофа—Лява, для среднего слоя — заполнителя — гипотеза о несжимаемости материала в направлении оси г и неискривляемости нормали при деформации. Последнее означает, что сдвигающие напря жения распределены равномерно по толщине заполнителя.
Будем считать оболочку пологой, различием радиусов кривизны слоев пренебрегаем. Принимая за исходную поверхность срединную поверхность заполнителя, отнесем ее, учитывая пологость оболочки, к декартовой системе координат х\, х2, причем оси х\ и х2 направим по касательным к линиям кривизны.
Положительную нормальную координату z будем отсчитывать в сторону внешней нормали к исходной поверхности. Назовем несущий слой, расположенный со стороны внешней нормали, первым слоем, со стороны -внутренней нормали — вторым, заполнитель—третьим.
Обозначим через /гь Л2, Л3= 2с толщины слоев, h — толщину стенки
оболочки, си |
и а2— углы поворота нормали заполнителя в направлени |
ях к осям Х\ |
и х2, дополнительные к углами поворота нормали в несущих |
слоях, Ей — модули упругости слоев, G— модуль сдвига заполнителя. |
Коэффициент Пуассона v будем считать одинаковым для всех слоев. Это допущение мало влияет на конечный результат. Без него основные уравнения получены, например, в статьях [23, 22, 52]. Перемещения то чек исходной поверхности обозначим через ии w, тангенциальное пере мещение точек оболочки, расположенных на расстоянии z от исходной
поверхности, обозначим через wf. Числовой индекс вверху означает слой, к которому относится данная величина, например а1 — напряже
ние в первом слое в направлении оси х\. |
на основании |
|
Рассматривая заполнитель как |
трехмерное тело, |
|
формулы для деформации поперечного сдвига |
|
|
|
|
(2,19,1) |
имеем |
|
|
и\ = щ + atz — zwtij |
(2,19,2) |
|
где щ — тангенциальное перемещение |
точки исходной |
поверхности в |
направлении х*. Здесь и далее нижний индекс, следующий после запя той, означает частное дифференцирование по координате х\.
Тангенциальные |
перемещения поверхностей соприкосновения за |
|
полнителя с первым |
и вторым слоями будут иметь вид (z = ± c ) |
|
|
и] = Щ+ сас— Ш /, |
г = с, |
|
и~ = щ — cat + cwti, |
(2,19,3) |
|
z = —с. |
т
Тангенциальные перемещения несущих (наружных)_ слоев в силу гипотез Кирхгофа—Лява запишутся в виде
и]2 = щ + cat — zw,u с < г < с + hlt
(2,19,4)
U2t2 = щ — сас+ zW'i, — с — /i2< z < — с.
Деформации наружных слоев и заполнителя определяются по формулам
|
ец = еи + саи + |
zyitf |
c < z < c + |
A1, |
(2,19,5) |
|||
|
е%= еи ~ саа + 2хо> |
— с — /г2< г < |
— с, |
|
||||
|
«у = еи + 2(х|у + оу), |
—с < г < с, |
|
|||||
|
|
Mz |
|
|
|
|
|
|
где |
ef. — тангенциальные деформации в k-том слое, |
|
|
|||||
Сц = |
+ К р + |
-j- wjW'j — тангенциальные деформации опор |
||||||
ной |
поверхности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ач = |
— ( |
да‘ |
_1 |
да1 |
) |
|
|
|
2 \ |
дхi |
|
dxj |
) ' |
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxidx |
|
|
|
|
|
kij — главные кривизны исходной поверхности, причем k\2=0. |
|
|||||||
|
Обращаем внимание читателя на одно |
отличие обозначений дан |
ного параграфа от обозначений § 18. В данном параграфе под сдви
гом 'срединной поверхности |
понимается величина |
|||
|
ди2 |
|
|
1 |
|
дх1 |
|
-------W \ W 2 , |
|
|
|
|
2 |
|
а в § 18 — вдвое большая величина |
|
|
||
|
до . |
ди |
dw |
dw |
хи |
дх |
ду |
дх |
ду ' |
Согласно закону Гука напряжения в слоях запишутся следующим |
||||
образом: |
|
|
|
|
(7* = |
Ek |
[(1 — v) е* + v6y (е*, + |
е*2)], |
||
Ч |
1— v2 |
|
о%= Ga(. |
|
(2,19,6) |
|
|
|
|
|
|
Перейдем к выводу уравнений равновесия. |
возможных переме |
||||
Уравнения равновесия получим из |
принципа |
||||
щений. |
|
|
|
|
|
Вариация потенциальной энергии внутренних напряжений оболочки |
|||||
с учетом сдвига в заполнителе |
запишется в виде |
|
|||
# |
с+Л,С |
|
|
с |
|
J tWdV= Я |
[ i |
Е |
+ |
J Е W * + |
С IJ |
-с-А. г,/ |
+ J* ( х |
+ х °**бв?*) dz\ d xid x2 = |
— С /,/ |
I |
|
= Ш |
Х 7'^ « |
+ Х ЯЛ |
|
+ Х М^ |
+ |
£ 0 . 4 ) <М*.- |
(2,19,7) |
||||
|
|
*./ |
|
|
|
|
i, j |
|
|
i |
|
|
Здесь |
двойной интеграл |
распространен |
по всей |
исходной |
поверхности, |
|||||||
а обобщенные усилия определяются формулами |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Т1}= |
т ‘,- + |
Т%+ |
ft,, |
|
|
(2,19,8) |
||
|
|
Мц = |
М\, + M l + |
Mj) + |
с (Г\, - |
Tl), |
|
(2,19,9) |
||||
|
|
|
|
Hi, = M l + c (T )j-T l), |
|
|
(2,19,10) |
|||||
|
|
|
|
Q i = |
j |
a%dz = Gh3ait |
|
|
(2,19,11.) |
|||
|
|
c + h t |
|
|
|
|
с |
|
|
c |
|
|
|
T},= J |
|
T l = |
J |
of*dz, T?/= J O^z; |
(2,19,12) |
||||||
|
|
c |
|
|
|
—c—h2 |
|
|
— c |
|
|
|
|
c-\-ht |
|
|
—с |
|
|
|
|
|
c |
|
|
Ml, = |
j a).(z-c)dz, |
M l= |
j |
al(z + c)dz, |
M], = j o^afe. |
(2,19,13) |
||||||
|
г |
|
|
—c—h2 |
|
|
|
—c |
|
|
||
Нетрудно |
видеть, |
|
что формулы (2,19,11) —(2,19,13) |
приводят на |
пряжения, действующие в 1-м, 2-м и 3-м слоях, к статически эквива
лентным системам усилий 7* и Qi и моментов М?/, приложенным к поверхностям z=c, z= —с и 2= 0.
Формулы (2,19,8) —(2,9,11) заменяют напряжения, действующие во всей оболочке, усилиями 7t;-, Qi и моментами Mi,, Нц, приложенными’к исходной поверхности 2= 0.
Преобразуя уравнение (2,19,7), получим выражение для вариации
потенциальной энергии |
в виде |
|
|
|
|
|
f бWdV = |
- fj { £ (Тил + Т2/,2) бЩ+ £ ( Я 1Л, + Я2;,2- Qi) ба(. + |
|||||
V |
i |
|
i |
|
|
|
+ \ £ M iiM— кцТ1г— k22T22 + |
-\-T12W'2),\ + |
|
||||
|
t . i |
|
|
|
|
|
+ (T12w,\ + |
|
e\ |
[J] (rt.26at. + tft-26at) — M22dwt2 + |
|||
T22W,2),2] бю j dxydx2+ j |
||||||
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
"Ь (Л^22,2+ |
2Ali2il + ^ 12^,1 “1 7422^,2) баЛ dX1 I |
-}“ |
|
||
|
+ j [J] (ТцЬщ + ЯаЬщ) — Мцбщ,! + |
|
|
|||
|
0 |
i |
ci |
|
et e2 |
|
|
|
|
|
, (2,19,14) |
||
-f- (Afu,i *f- 2Mi2,2 + |
T12^,2 + TцЩ,0 6tt>j dx2 I |
|
6ai |
|||
2M12< |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
где ei — линейные размеры оболочки в направлении |
(i= l, |
2). |
Вариация работы внешней |
поверхностной |
нагрузки, |
приведенной |
|||
к средней поверхности заполнителя, запишется так |
(ри р2, q — компо |
|||||
ненты поверхностной нагрузки в направлении оси х\, |
х2, z ): |
|||||
|
= J J (PM I + |
рфи2+ qbw) dx^dXz, |
|
(2,19,15> |
||
а вариация работы контурных |
сил Тц, Нц, Мц, |
Qf имеет вид |
||||
ЬЛ2 — j |
Т^2Ьщ + ^ |
Я^ба,- — M22dw:2+ Q2&0j dxx j + |
||||
0 |
i |
|
|
|
|
О |
e. |
Яйба, - M ? M i + Qfflai) bx2 |
|
|
(2,19,16) |
||
+ [ (£ П б ц . + |
— 2 M \26 W |
|||||
0 i |
|
|
0 |
|
|
0 0 |
Подставляя найденные выражения в уравнение— б П + б ^ + бА2 = О и приравнивая нулю скобки, стоящие перед вариациями независимых перемещений, установим уравнения равновесия и естественные гранич ные условия задачи.
Уравнения равновесия записываются в виде
T u , 1 + Т 2ц 2 = — P i , |
|
H\i,\ + Я 2i,2 — Qi = 0 |
(2,19,17) |
У! Mijjj Tn (kn + Xn ) T22,(&22 + Х2г) 2T*12^12 + 9 |
Plw,\ PzW,2— |
причем последнее уравнение системы получено с учетом первых двух уравнений.
Граничные условия получаются аналогично из контурных интегра
лов. Рассматривая для простоты линию х\= х\, имеем следующие сило вые граничные условия:
Таким образом, в отличие от однослойных оболочек, здесь число граничных условий равно шести. К обычным условиям, имеющим ме сто в теории однослойных оболочек, добавляются два условия относи тельно моментов сдвига Я^-, соответствующих деформациям сдвига заполнителя о*. Заметим, что из контурного интеграла можно получить также и другие варианты граничных условий.
Займемся теперь выводом соотношений между усилиями Tih Qiy моментами Я^, Мц и деформациями исходной поверхности ец и хг>
Приведенный коэффициент Пуассона оболочки примем в виде
3 |
3 |
Кроме того, ©ведем безразмерные жесткостные характеристики и без размерные толщины слоев
Ekhk |
Ekhk 1 |
tk = hk/h~l. |
(2,19,20) |
|
4k = 1— vk2 (2 l - v ’ J |
||||
|
|
|||
Очевидно, что для уь и 4 имеем |
равенства |
|
|
|
i > = |
i , |
|
|
|
k=\ |
k=\ |
|
|
Для более компактной записи формул удобно ввести осредненный мо дуль упругости
з
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,19,21) |
тогда |
|
|
£/i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,19,22) |
||
|
|
l _ v| |
1- |
* |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Используя формулы (2,19,12), |
имеем |
тангенциальные |
усилия слоев |
|||||
rp\ |
Eh |
[ <1 — |
V) e ij |
|
hi -ф - h3 |
% ) |
+ |
|
т " |
= |
+ |
Caij + |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ V^ij \ek!>+ CCLkk + |
hx -t|- h3 |
|
|
|
|||
|
|
kk |
|
|
|
|||
Tl |
= |
Ъ [(1 - v ) ( e ij- c a lj- ^ ± ] } L K ^ |
+ |
(2,19,23) |
||||
|
|
cakk |
h3 -ф - h3 % )]. |
|
|
|
||
|
Ttj = |
Ya [(1— v) eti + |
|
|
|
Суммируя полученные удельные усилия, найдем
Т'„ = т ^ г |(l- v )e ,( + v6,At] +
+ |
г |
1(1 — V) (с„ о„ + с„ к„) + |
v6,j (с„ ом + с„ х„ )] . |
(2, 19,24) |
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
с12 = |
(Ух — Уа)> |
с13 = Ух (*х + |
^з) — Уа (U + |
4). |
|
|
= |
еХ1+ е22, о** = <*и + «22, |
к** = Ххх + |
хгз- |
(2,19,25) |
|
Формула |
(2,19,24) |
упростится, |
если положить |
|
|
и примет вид- |
|
|
|
|
|
|
|
|
т ч “ |
т |
^ |
|
г |
К 1 — |
v ) * « |
(2.19.27) |
|
|
+ |
v S . A l . |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
ец = \ |
|
+ иЬ + |
|
+ k4w’ |
|
(2.19.28) |
||
|
лО __ лО |
I |
рО |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
еи |
* |
^22» |
|
|
|
|
а и? — новые произвольные функции, смысл которых будет выяснен ниже.
Обобщенные удельные моменты Hi} и полные удельные моменты Mtj согласно формулам (2,19,9) — (2,19,13) равны
Hi, = Y CnTtj + |
12 (f ^ v2) |
К1 — V) (ПЛ, + |
Wlj) + V6i}(ТИ^ + T)8*«)]. |
|
|
|
|
|
(2,19,29) |
1 |
E h 3 |
[(1 —v) (ЛЛ,- + |
ЛзЩЦ+ vbij (Ла<*ы + |
Лз***)1> |
Щ = — cuTti + |
12(1__v2) |
|||
где |
|
|
|
|
|
Л1= й (Уз + ^Yi + Зу2) — Зс12, |
|
||
Л2— |
(Y3”Ь 3^1 + Зу2) + 3/3(Yi^i + Ya^a) — Зс12с13, |
(2,19,30) |
Л з = 4 (yrf + Y2й) + й (3YI + 3Y2+ Ya) + 6*3 (YI*I + y2t2) — 3c?3.
Если перемещения исходной поверхности и* заменить в выражениях (2,19,14) — (2,19,16) по формулам (2,19,26), произвести интегрирование по частям членов, содержащих ш>-, то аналогично предыдущему можно получить следующие уравнения равновесия:
|
т 1/,1 + Т2i,2 = —Pi, |
(2,19,31а) |
|
|
Нi/,i + Я21,2— Qt = |
-^-hCuPi, |
(2,19,31Ь) |
^ |
7*11 (^11 4" *п) |
Т22 (k22+ ^22) |
|
|
— 2т 12х12 + q — (дом + - у hc13pi^ |
(2,19,31с) |
|
|
I |
|
|
и силовые граничные условия (х± = х°{)
Г |
1 1 = |
фО |
/Т-1 |
фО |
гг |
TjP |
гг |
TJ P |
(2,19,32) |
M l , |
7 1 2 = 7 i 2 , |
7 7 11 = |
/ 7 ц , |
/ 7 12 |
= /712, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л1п = Л1п, Мц,1 + |
2/VIi2,2+ Т’цМ'д + |
T 12Wfi = Q? + |
— АСхз ( ^ ‘2— bPij* |
||||||
Здесь введены |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Таким образом, все усилия и моменты оболочки приведены к новой поверхности приведения, расположенной от исходной на расстоянии
C\2h/2 в направлении положительной нормали. Тогда функции и? пред ставляют тангенциальные перемещения новой поверхности приведения. Можно видеть, что теперь усилия 7\-?- оказываются не связанными с де
формациями aij и Xij, а моменты |
и |
не зависят от |
деформа |
ций ец. |
|
|
(2,19,17). |
В этом состоит преимущество полученной «системы перед |
Отметим, что в случае оболочки симметричного строения, когда Е\= Е2, h\ = h2, коэффициент у!=у2, a Ci2= Ci3= 0. При этом выполненного выше преобразования не требуется, а поверхностью приведения является сред няя поверхность заполнителя.
Выведем разрешающие уравнения задачи. Сначала составим урав
нение совместности |
деформаций |
поверхности приведения. Как было |
||||
указано выше, «соотношения |
между |
перемещениями и деформациями |
||||
этой поверхности записываются в виде |
|
|
||||
|
еп = иЬ + АИ“»+ 4 г (“М)2, |
|
||||
|
в22= |
U2,2 + k^ W + \ |
(W^ 2’ |
(2>19>34) |
||
|
e ?2 = |
U?,2 + |
“ |
2 ,l Y+ |
W'lW'2' |
|
Исключим отсюда перемещения и\ |
и |
и2. С этой целью продифферен |
||||
цируем первое уравнение дважды |
по хи второе — дважды |
по х2, тре |
||||
тье— один раз по Х\ |
и один раз по х2. Затем сложим первые два урав |
нения и вычтем удвоенное третье. В результате по-сле очевидных пре образований получим уравнение совместности деформаций в виде
Я2р0 |
Л2р0 |
Л2р0 |
|
|
(2,19,35) |
— — н----- ----- 2 — 4-------/5цШ,22—£22йУ,ц-(-ш,11^,22— w\2 = 0. |
|||||
дх\ |
дх\ |
дх1дх* |
|
|
|
ны, |
Первые два |
уравнения (2,19,31) будут тождественно |
удовлетворе |
||
если положить |
|
|
|
||
|
|
Тц = 6/Д72Ф — Ф.г/ + |
|
|
(2,19,36) |
где F — потенциал нагрузок. |
|
|
|
||
|
|
Pl = - F + V2= - ^ - + |
^ V - |
|
(2,19,37) |
|
|
дх“1 |
дх2 |
|
|
|
Выражая деформации е°. через функцию напряжений <р, получим вмес |
||||
то (2,19,35) |
|
|
|
|
|
|
у2у2ф + (1 — v) y 2f = Eh (knwi22 + k22w,u — WIUW,22 + |
w*l2). (2,19,38) |
|||
|
Рассмотрим теперь вторую пару уравнений (2,19,31b) — уравнения по |
||||
перечного сдвига для моментов Я,-,-. Представим углы наклона |
нормали ах |
||||
и а2 в виде |
а, |
= а , + ф,2, |
|
а2 = а,2 — ф,i, |
|
|
|
|
|||
где а и ф— .некоторые функции координат xi |
и Х2 - |
|
|
Уравнения (2,19,36Ь) с учетом (2,19,29), (2,19,33), (2,19,39) и ра венств X{j=—w,ij запишутся в виде
1 |
|
F h 3 |
V (ЛхО — Лг^Ъ + |
|
РАЗ |
|
= Gh3 (a,i + ф,2), |
||||||
— AC12F,I + |
12 |
|
24 (1 ^ v) " |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,19,40) |
1 |
|
|
FA3 |
|
|
|
|
РАЗ |
|
Gh3 (а г — Ф i). |
|||
— hc12F 2 Ч----------------- V2 (Л1а — Лг® )9 ------------------ i = |
|||||||||||||
2 |
12 ,2 ^ |
12(1—Vs) |
V |
V 1 |
2 |
’ |
24 (1 |
-jr v) 1V T’ |
V |
/ |
|||
|
Уравнения |
(2,19,40) |
будут тождественно |
удовлетворены, |
если по |
||||||||
ложить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
hCnF + |
i2 ( f _ v2) |
V2 (Лха— Лг®) = |
Gh3a, |
|
(2.19.41) |
|||||
|
|
|
|
|
Eh3 |
|
|
|
|
|
|
(2.19.42) |
|
|
|
|
|
|
|
- ЛгУ2'!’ = Gh3ip. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
24 (1 -ф-.v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая в (2,19,41) |
первым слагаемым, введем функцию перемеще |
||||||||||||
ний х» удовлетворяющую этому уравнению, по формулам |
|
|
|||||||||||
|
|
|
(1 |
|
h2 |
о\ |
|
тьС |
h2 |
о |
|
(2.19.43) |
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 1 |
|
F v г |
fl = - - V |
- T v x ’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
„ |
12G<3 (1 — у2) |
|
|
|
|
(2.19.44) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(2,19,42) относительно |
г)? запишется в виде |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 — v |
А* . |
|
|
|
|
(2.19.45) |
||
|
|
|
|
|
“ |
Г " - - р - У Ч - * . |
|
|
|
||||
|
В дальнейшем в качестве основных параметров примем параметры |
||||||||||||
0 , |
у и v: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в = |
Лз, |
У = Ла/в. v = |
(ЛхЛз — Л^/ЛА |
|
(2,19,46) |
|||||
и для т)| и г|2 |
имеем |
выражения |
|
|
а |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
гу20 |
|
Ла = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л х = - г ^ ----- , |
^0- |
|
|
|
|
1 — V
Наконец, подставим в уравнения (2,19,29) вместо величин aij и их выражения через функции ф и %, после чего значения моментов M ih
выраженные также через функции ф и внесем в уравнение равнове сия (2,19,31с)'. Кроме того, введем функцию напряжений ip по формулам (2,19,36). В результате после несложных, но довольно громоздких пре образований получим уравнение равновесия
D ^1 — - у - v 2) y 2v 2X + (ф,22 + |
F) (ku — ay,и) + |
2 cp,12ay,i2 + |
|
|
+ |
(ф.11 + F) (k22 — ш,22) = |
7 4- F yXw^ + F,2ау,2. |
(2,19,47) |
|
При этом члены Hpi ihc\%j2 были опущены как малые. Здесь D |
является |
|||
цилиндрической |
i |
относительно |
поверхности при |
|
жесткостью оболочки |
||||
ведения |
|
|
|
|
|
D = -----— ------0. |
|
(2,19,48) |
1 2 (1 — Vs) |
v • • / |