Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

71.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 7020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

3.		Метод М. Г. Слободянского оценки погрешностей. Пусть w и w'—
прогибы, например, защемленной по контуру пластины,									находящейся
под действием нагрузок q и q'
Для нахождения w и w' имеют место уравнения и граничные усло
вия
					у4^ =		q/D,		(3,7,28)
					W = —	=	О на	/	(3,7,29)
И					дп
И					yW	= q'/D			(3,7,30)
					yW	= q'/D			(3,7,30)
					w' =	—0 на		/.	(3,7,31)
					дп
Здесь I — контур, ограничивающий область 5 пластины.									быть также
Задача об определении прогиба пластинки w может									быть также
решена, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, при
водящего к следующей вариационной задаче: найти функцию w, сооб
щающую минимум функционалу
				9{w) = V(w) - J j				qwds,	(3,7,32)
где согласно
17 О	-	Т	й	{	-		2	- v >	^
			S
причем допустимые функции wn должны удовлетворять граничным ус
ловиям	(3,	7, 29).		Здесь	9(w ) — потенциальная энергия системы,

V(w) — энергия деформации пластинки.

Задача об определении w' приводится к аналогичной вариационной задаче.

При граничных условиях (3, 7, 29) выражение (3, 7, 33) примет вид

У И = т Д (у2ш)2&-

(3,7,34)

В самом деле, так как

(3,7,35)

то в силу граничных условий (3, 7, 29), наложенных на допустимые функции доп, криволинейный интеграл в (3, 7, 35) равен нулю.

Для решения вопроса о напряжениях (моментах, перерезывающих силах) в пластинке может быть использован принцип минимума допол нительной работы Кастильяно, согласно которому равновесию упругой системы соответствует минимум функционала 1

У* (<Т) = , 1	ГГ[М? + М2 — 2vM,M2+ 2 (1 + V) М\2] dtdn, (3,7,36)
2 (1 — V2) и	J J

1 Вариационные задачи (3,7,32) и (3,7,36) эквивалентны.

где допустимые функции Ми М2, М12 удовлетворяют уравнению равно весия

д*Мг	,	2 д2М1а .	аам 2	(3,7,37)
д£а	+	dgfti +	дг?

Здесь Л1ь Мг — изгибающие моменты, М \2— крутящий момент. В слу чае граничных условий в форме (3, 7, 29)

У*(в) = У(ю).

(3,7,38)

Здесь, как и в (3, 7, 36), а означает совокупность величин М,, М2, M i2- Уравнение равновесия (3, 7, 37) будет удовлетворено, если положим

M X=	- D (		d2w* .		dw	\
				V	at)2	) ’
Ma =	- D (	' dw		h V	ai2	(3,7,39)
		,	dr?		ai2	) ’

Mu = - D ( 1 - v ) agar, •

где w* — произвольная функция, удовлетворяющая уравнению

(3,7,40)

Вэтом легко убедиться путем непосредственной подстановки (3, 7, 39)

вуравнение (3, 7, 37).

Внося (3, 7, 39) в (3, 7, 36), найдем

а2ш	d2w*
V* (а) = V (w) = - f И {(у2Ш,*)а - 2 (1 ~ v) [ d£ 2	дг?
	(3,7,41)

Следует отметить, что при решении конкретных задач может ока заться более выгодным взять допустимые функции для М ь М2, М12 не в виде (3, 7, 39). При выборе их важно, чтобы было удовлетворено лишь уравнение равновесия (3, 7, 37).

Отметим, что при рассматриваемых граничных условиях (3, 7, 29) вариационная задача о минимуме функционала (3, 7, 41) может быть заменена задачей о минимуме функционала

V (W) =	(v%*)2 didr),	(3,7,42)
	s
где допустимые функции w* удовлетворяют тому же уравнению			(3, 7,
40).
Пусть теперь каким-либо способом найдены приближенные реше
ния wn и w'n задач (3, 7, 28) —(3, 7, 29) и (3, 7, 30) —(3, 7, 31),			при

этом wn и wn' удовлетворяют тем же граничным условиям, что w и ш', т. е.

_ dwn

) -- dn = 0 на l.

(3,7,43)

) = * = 0 на / n dn

Из (3, 7, 28) —(3, 7, 29) с учетом (3, 7, 43) найдем

V4« = V4 ( w - w n) = -L(q-qn) = ± P ,

(3,7,44)

	ди		~	,
	и = ----- = 0			на I
	дп
и аналогично из (3, 7, 30) и (3, 7, 31)
	V4"' = V4 К — К ) = ^< я ' — Я'п) =							Р \	(3,7,45)
									(3,7,45)
	и' = ——= 0 на /.
	дп
М. Г Слободянским получена следующая оценка:
		\| j j		q’wdldr] — b'nm\|,< 6,					(3,7,46)
где
	= У q'wndU4 +				pw'ndldx\ + ~ j V (tfm. °m)-				(3.7.47)
	s				s
									(3.7.48)
Здесь V(am) выражается по формуле						(3, 7, 36), в которой			вместо Мь
М2, М \г взяты допустимые функции M\m, М2т, Мi2m,								удовлетворяющие
уравнению равновесия (3, 7, 37),					где q заменено		на Р; V (ат ') также
выражается по формуле		(3, 7, 36), в которой вместо Mi, М2, М[2 взяты
допустимые	функции	Mim, М2т, Mi2m, удовлетворяющие							уравнению
равновесия	(3, 7, 37), где q заменено на Р \ т. е.
	* К т			д>м’12т		д*м'2т			(3,7,49)
	д?	+		д%дп		дг?			(3,7,49)
	д?	+		д%дп		дг?
V(om, От ) — коэффициент при 2К, К— неопределенный параметр в
выражении V(om+^Om), т. е.
	V (от+ Кот) =			VК ) + Ш		(ат, от) +	т	« ,),	(3,7,50)

который в развернутой форме имеет вид

	— 2v(MlmM2m -bM'imM2J		+ 2(l + V ) MliniM’2m]dldx\.		(3,7,51)
Как и	ранее, мы	можем удовлетворить уравнениям		равновесия
(3, 7, 37)	и (3, 7, 49),	выразив	М,, М2, М,2 через и* по		формулам
{3, 7, 39). В этом случае из (3,7, 42) получим
	УК) = УК)		- - f j j		(3.7.52)
			s

13 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

	V ю =	v Ю	=	т И	iv 4 m)'	йЫц’	(3,7,53)
	v К ,, О	= Y	Я	V*«;v2<		^ ,	(3,7,54)
			s
где	и и; удовлетворяют уравнениям				вида	(3, 7, 40), т. е.
		V2( V 4 ) = ^ - .					(3,7,55)
		V2(V20		=			(3,7,56)

Здесь уместно отметить два обстоятельства, которые позже нами будут использованы.

Во-первых, если приближенные решения и т и и т найдены методом Ритца, т. е. из. условия минимума потенциальной энергии П(м) и П(и')

(формула (3, 7, 32)), то выражение для Ьпт в (3, 7, 47) упрощается:

Ьпт=		q 'w A M		+ Y V			(3,7,57)
Во-вторых, если в качестве			«*t и u'm		взяты функции
Um = Wm - Wn>				иГт=	rsf'т— w п’,		(3,7,58)
причем
V	m	D		V4- m = - f .			(3,7,59)
то получим
v 2 ( v 4 )	=	v 4<	vX = - i ^ 2 - =			Р	,
v 2 ( v 4 )	=	v 4<	—	п	D	D
			v	п	D	D	(3,7,60)
			— v 4 =		= Р'		(3,7,60)
v 2 ( v 20 = v 4<			— v 4 =		= Р'
			у	П	D	D
и, следовательно, функции		и'т , иV,		определенные из			(3, 7, 58), будут

удовлетворять уравнениям (3, 7, 55) и (3, 7, 56) соответственно. Воспользовавшись соображениями, отмеченными выше, внеся

(3, 7, 58) в (3, 7, 52) —(3, 7, 53), а затем в (3, 7, 48), после некоторых преобразований найдем

6 = у П Э К	) +	! / « ) ] [5 К )	+ У« ) ] ,	(3,7,61)
^лт =		— (^п "1~ Ьт),
где 3(а»)— потенциальная	энергия; V (w )— дополнительная			работа;
Ь„, Ьт — коэффициенты при X в первой степени в выражениях для
9(w n+ Xwn) и V (w^ + А,оЛ)	соответственно.		Использование	оценки
(3, 7, 48) вместо (3, 7, 61)	приводит, вообще		говоря, к уменьшению

вычислительной работы, ибо при использовании формулы									(3, 7, 48) 6-*0
при n-^-сонезависимо от значения /п.								положим в (3, 7, 56)
Совершенно аналогично,				если, в частности,
			— All,,,	М1п,		Mini — Л12т		А12п,	(3,7,62)
			^12т = М*2т —М12л,

где	Alim,	Л12т, А4*2т — допустимые функции, удовлетворяющие урав
нению равновесия			(3, 7, 37):
			2	^	т	3*М2т			(3,7,63)
						Э]2 =		— <7.

а А1,,„ М2я, Mi2n — моменты,				соответствующие прогибу					пластинки w,„
возникающему под действием нагрузки qn, то из								(3, 7, 36) и (3, 7, 48)
с учетом (3, 7, 32)			и (3, 7, 33)	после некоторых преобразований найдем
		б =	- J \/[Э ю	+	Г (	О [Э]	К ) + Г (crm)j.		(3,7,64)
Здесь crm		означает совокупность функций					Mim,	М ™,	Mi2m, (Тт— со
вокупность функций Mim, M2m, M12m>						которые удовлетворяют уравне
ниям	(3, 7, 37) и (3, 7, 64), где g заменено на q'
И в этом случае использование оценки							(3, 7, 48) приводит, вообще

говоря, к уменьшению объема вычислительной работы по сравнению с оценкой (3, 7, 64).

Положим, что допустимые функции в рассматриваемых вариацион

ных задачах взяты в виде
	wn= Ojcp! -f	+ а„ф„,	w’n= Ctjtpx +		+ <ур„,	(3,7,65)
W'm= Фо + РхФх +		+ РтФт>	“£ = Фо + Р№ +		+ РЖ »	(3-7-66)
где ап> а	ip^, р* — подлежащие определению постоянные, фь — допус
тимые функции, удовлетворяющие			на	контуре граничным условиям
(3, 7, 29);	ф/i — допустимые функции,			удовлетворяющие однородному
уравнению	(3, 7, 28); ф0, фо — частные решения неоднородных уравне

ний (3, 7, 28) и (3, 7, 30) соответственно. Пусть уравнения, полученные

из условия минимума Э(ш), 9(w '),		V*(w),		V*(w'), будут
fc= iaifiik — di,			akc ik		- dk<		(3,7,67)
fc= iaifiik — di,		k=\				,,
m	= di	v	m	p ; c *a.At=,			(3,7,68)
P	= di	v	m	p ; c *a.At=,			(3,7,68)
k=\		A=1
где
c ik = D \|	j		di	=	j^“J Ыц’		(3,7,69)
	d i =	jq'<f>iCfcdr\;j

С'к =£> [		Г	d] =	Г	\| + С0;
	' s			s			(3,7,70)
	d 7	= j j	q 'tyid ld x] +	Со,			(3,7,70)
	d 7	= j j	q 'tyid ld x] +	Со,
	n		m				(3,7,71)
	bn = Y t	abdk'	b'n = Z		M* + d0.		(3,7,71)
	*=1		k=\
причем C0 и Со'	вычисляются		по формуле		(3, 7, 70)	с подстановкой
вместо ф функций ф0 и фо		соответственно.
После некоторых преобразований получим
5 W = ~ T S a A ’ Г Ю = -						+	(3,7,72)
5 W = ~ T S a A ’ Г Ю = -
	А = 1				k = \
	п				m
э w =	- \ S	a'k-dk’	г к , 1) =		■ y ^ P A	+ ft',	(3,7,73)
	k=\

где h = V" (ф0), h' = V*(^); ^ — коэффициент при А, в первой степени в выражении. V (ф„ + Ц ’о)-

Положим теперь, что q' — сосредоточенная в точке (£, л) единичная

сила, нормальная к пластинке.	В этом случае		можно показать, что
bn = bm = a>„(£, т]) + wm (£> Л);	иначе	говоря,	за приближенное	значе
ние до(£, г]) надо взять функцию
-^-[®я(1. Л)+		<,(&. Л)1-
В качестве иллюстрации построения верхней и нижней границ для прогиба				в каж

дой точке пластинки рассмотрим задачу об изгибе защемленной по контуру квадратной

пластинки со стороной а =	2	под действием равномерной нагрузки q			(начало координат
взято в центре пластинки).		нагрузка, состоящая из четырех сосредоточенных в точках
Пусть ^ — нормальная		нагрузка, состоящая из четырех сосредоточенных в точках
(I, и). (I. —л). (—5. л).	(—1. —Л)		сил	величиной Ча-
В силу симметрии имеем
		®(1. Л) =	\| \|	Q'w(x, y)dxdy.	(3,7,74)
Положим в (3, 7, 65)

Ф1 = (*а -	1)2 О/2 -		1)а.	ф2 = (*2 -		1)а (Уа -		1)а *2;		з	7 75.
	фз =	(2 — I)2 («/ — 1)2 </2,								(	’
Иначе говоря, в качестве допустимых функций в (3, 7, 65)									вследствие симметрии
задачи берем функции вида	(х2— 1 )2(у2—1 )2х2пу2в. Указанные							функции		удовлетворяют
граничным условиям (3, 7, 29) и (3, 7, 31). Далее положим в							(3 , 7 , 66)
nk	(	nk	f	nk	,	nk		nk	\
= cos —	* ( sh —		ch —		у — у ch —		sh —		у J 4
nk	(	nk		nk	.	nk		nk	\
♦ cos —	i/^sh —		ch —		x — x c h —		s h —		x j,

4> =	Я	(x2 - l) fo * - l) .
	8D

За функцию ф0		примем прогиб квадратной пластинки,						опертой по контуру		под	дей-
				,	,	^			,	q'
ствием нормальной нагрузки q', т. е. ф 0 = 0,					V2^o =		на К0НТУРе / и V4^ o =
Такой выбор функции ф0			упрощает вычисление				d* и d*		по формулам	(3, 7, 70).
Функции фл удовлетворяют однородному равнению						у 4иу = 0 и выбраны так,				чтобы они
были равны нулю на контуре			(ф= 0	на /),	что сильно упрощает вычисление коэффи
циентов Сц	по	формулам (3, 7, 71). Ограничиваясь-в					каждой		сумме (3, 7, 65) и		(3, 7,
66) первым	членом и составляя		уравнения		(3, 7, 67)		и (3, 7, 68), пользуясь			при	этом
формулами	(3, 7, 69) и (3, 7, 70), найдем
		256а	256	_q_	256	°1 = < P i(£ .4).				(3,7,77)
		1225 °1—	225	D ’	1225

		892,248(1 = 2 0 , 4 1 3 4 ,			898,248p'x =			(1, tj).		(3,7,78)
		V Wo) =	( 'D )2’		V* №«) =		Y	% (5, tl).		(3,7,79)

Так как в нашем случае bn ^rb*m = wn (5» Л) 4* «£, (5, л )»то приближенное значение для прогиба пластинки в произвольной точке (£, г\) будет

ip n

= Y

[«хф! (£ , л) +

4о (Б. Л) +

М т (Б, л)].

(3,7,80)

и на основании

(3, 7, 74) и (3, 7, 46)

имеем

< 6 ,

(3.7,81)

“>(S. ч ) — у

где 6 определяется по формуле (3, 7, 62).

Для вычисления

б воспользуемся

формулами (3,

7, 72),

(3, 7, 73)

и (3, 7,

79), по

лучим

б =

0,001414 -X-

( | , г,) -

а ; ф 1 ( 6 , ti) -

РЖ (1. 4)J •

(3.7,82)

Формулы

(3, 7, 80) — (3, 7, 82)

дают

возможность

найти приближенное

значение

для прогиба пластинки в произвольной точке

(5 , 14) и оценить погрешность.

В центре

пластинки

(5=0,

г| = 0) получим из (3, 7,

80) — (3,

82)

w (0 , 0) • ■0,0208 —

< 0 ,0 0 0 9 — .

’

Если удержать в (3, 7, 65) три

члена,

а в

(3,

7, 66)

по-прежнему

ограничиться одним

членом, то получим

« 1

а2 ф

а3 —

Я .

■

128

D *

а \ ♦

----- 1

а2

“77

0 з ~ ‘

ч>1 (Б, л);

502

я .

<*i

1001

а 2 Ф-

77 • а3 =

124 '

D ’

502

а2 4 "

а3 =

Ф»(1 . ч)

----- (

10 0 1

502

Я .

77 " a i

° 2 ^

1001 - а * -

124

‘

£)

’

1 8 .

502

а24 - 1001

а 3

(Е .л ).

О ткуда найдем для центра пластины

а х =

0,20202;

а а =

а 3 =

0,005858;

aj =

0,020330;

(3 ,7 ,8 3 )

а'2 =

а'3 =

— 0 ,0 0 9 0 1 0 ,

w (0 , 0)■

•0 ,0 2 0 3 0

—

< 0 , 0 0 0 2 3 - ^ - ,

т. е. б составляет около

1,2%

от значения прогиба в центре пластины.

Д ади м

другое

реш ение

рассмотренной

задачи

для

квадратной

пластины,

осно

ванное

на

непосредственном

применении оценки (3,

7, 46) — (3,

7, 47)

использовании

условия

равновесия (3, 7, 37)

в интегральном смысле.

И з

приведенного

ниж е

реш ения

б удет

такж е

выяснено, что

произвольны е постоян

ные,

входящ ие в (3,

65),

целесообразно

определить не

м етодом Ритца — Галеркина,

как в приведенном выше реш ении той

ж е

задачи,

из условия минимума

оценки по

греш ности

(3, 7, 78).

а —2

П олож им , чтр

защ ем ленная

по

контуру

квадратная

пластина

со

стороной

, находится под действием равномерной нагрузки q, и определим

прогиб w в центре пла

стины

(лг=0, у = 0 ). Ограничимся,

как

и выше,

(3, 7, 65) тремя

функциями

вида

(3, 7,

75)

(функции

(3, 7,

66)

(3,

7, 76)

нам теперь

не

п он адобятся). Учитывая

симметрию

задачи

и принимая во внимание, что

с&2.— а3, &2— О3,

получим

Wn =

(*2 —I)2 (у2 — I)2 [« 1 +

02 (х2 +

уг) \ )

wn =

(х2 —

I)2 (у2 — I)2 [aj 4 - а2 (х2 4

у2)} }

(3 >7 . 84)

П одставляя

(3, 7, 84)в (3,

44)

—

(3, 7, 45 ), найдем

v 4«

- J

V*Wn =

V4 {(х2 -

I)2 (г/2 -

1)2 к

а 2 (X2 4

1/2) ] } ,

(3 ,7 ,8 5 )

V4“ ' =

р' =

q' —

y*wn =

q’ — V4 {(х2 —

I)2 (у2 — l) 2 [a', 4

a2 (x2 4

i/2) ] } ,

где

cf — как

выше

(3, 7,

74) — нормальная

нагрузка,

состоящ ая

из

четырех

соср е

доточенны х

точках

(£,

г |),

(— | ,

г]),

( |, — rj),

(— £,

— т]) сил

величиной

XU -

Так

как

мы ищем

значение

прогиба

центре

пластины, то полож им

£-*-0,

т]-»-0.

Д а л ее полож им

(3, 7, 49)

м\т = о.

М 2т=

о .

При

£-*0. т]->0 найдем

х у

2УИ12ш =

4 *w'ndxdy.

]

(Р' —

v 4“0

dxdy =

ч' (X , у) —

(3 ,7 ,8 6 )

Н етрудно

показать, что функция

q ( x , y ) =

\im j*

j*p'dxdy

при £-»0,

т]-»0

равна

l /«

квадратах

(O sg x sS I,

0 г £ « /< 1 )

(— 1 < х < 0 ,

— К

у < 0 )

равна

— Ча в

остальных двух

квадратах.

Аналогичным образом, полагая М12=О, М9ТП=0, получим

из (3,

7 , 49),

заменяя

р' на р, где р определяется по

(3, 7, 85),

X и

2Мл

(3,7,87)

Далее, на основании (3, 7, 36), учитывая, что при рассматриваемых граничных

условиях на контуре пластинки можно положить коэффициент

Пуассона v = 0,

получим

следующее выражение для v(o m) и о(а^),

входящих *в

(3, 7,

48):

V( а т ) =

2 j

МЛ2тШ У

+i +

(3.7,88)

M\7mdx<ly

—1—1

где Mi2m и M'i2m определяются no

(3, 7, 86) и (3, 7, 87)

соответственно.

ai,

a2,

Подставляя (3,

7, 86) и

(3,

87)

в (3,

7, 88),

определим коэффициенты

ctj,

из условия

минимума

оценки

погрешности

б,

которая

определяете^ по

(3,

48). Это условие эквивалентно уравнениям

dv(Om) _ 0

30 Ю

_ Q

а«1

’

эа;

^а2

= 0 .

да.

или в развернутом виде

1664

_9_

^11а1 + &12<*2 =

Сх =

4725

;

&nai -¥ Ь12а2 — с2 — ^

b*Lai 4" б22а2 = с2 =

1664

*»

^2iai +

Ь22а2 =

^ 5

где

бц =

— х 6144 X 2512,

Ь21 =

Ь12 =

—

х 6144 х 25342,

& И = —

х 6144 X 44220,

d == 11025 X 1287,

откуда

найдем

<ц =

0,020122;

aj =0,019894

)

(3,7,89)

a2=

0,006164;

a2 =

— 0,005132

Подставляя эти значения для

cti,

a2, a lf

a2 в

(3,

7, 88)

и далее

(3,

7, 45) —

(3,

48), получим:

w (0 , 0) — 0,02028

< 6 =

0,00063-^-.

Найденная погрешность б составляет около 3% от точного значения прогиба пла

стинки

в точке А'=0, у = 0 (центр

пластинки). Мы видим также, что

полученные

значе

ния

(3, 7, 89) для коэффициентов а ь а2, а р

а 2 отличаются от найденных выше значений

(3,

83) методом

Ритца—Галеркина,

являясь более

точными, поскольку

оценка

по

грешности б при этом меньше.

Путем аналогичных рассуждений можно построить двустороннее приближение и для других величин, например моментов или напряжений.

§ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМОУСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

Для решения задач термоустойчивости применяются вариационные методы и другие. Здесь покажем некоторые подходы к решению таких задач.

1. Уравнения термоустойчивости

В § 15 гл. 2 были построены уравнения (2, 15, 19) и (2, 15, 21) термоустойчивости гибких пологих ортотропных оболочек. Решение этой системы уравнений связано со значительными математическими труд ностями. Поэтому для решения конкретных задач используют упрощен ные варианты уравнений, которые могут быть получены из рассмотре ния момента наступления неединственного решения задачи или из энер гетического критерия потери устойчивости К

Рассмотрим получение уравнений первым путем. Момент наступ ления критического состояния характеризуется тем, что два близких со седних положения равновесия будут отличаться бесконечно мало. Обо значим через w° и ф° прогиб и функцию напряжений первого состояния.

Функции, соответствующие второму	состоянию, близкому	к первому,
будут
w = w° + ewl,	ф =ф° + еср1,	(3,8,1)

где w1 и ф1 есть дополнительные значения функций, появляющиеся в ре зультате перехода ко второму выпученному состоянию; е — бесконечно малая величина. Значок «0» относится к первому состоянию, предшест вующему потере устойчивости.

Уравнения (2, 15, 18) и (2, 15, 21) справедливы как для первого, так и для второго состояний и соответственно имеют вид


L1V(w°) + 2L " (ш°) + L" (w0) = 21 (cp°) +		L (<p°, w°) +		Flt	g ^
LIV (cpo) + 2L " (q>°) + L" (<po) =	L (wo) -		F2;
LIV (w° + еш1) + 2L"' (w° + еш1) +	L" (ш° +		еш1) =
= 2L (q>° + еф1) + L (ф° + еф1, ш° +		еш1) -j- Flt		(3,8,3)
L1V(ф° -j- еф1) + 21/"(ф° + еф1) -f- L" (ф° + еф1) = L (ш° + еш1) — F2,
где операторы L даны в § 15 гл. 2.		уравнения		первого	со
Вычитая из уравнений второго состояния

стояния и проводя линеаризацию, т. е. пренебрегая членами, содержа щими е2, получим следующую систему уравнений:

Liy (ш1) + 2L " (ш1) + L" (ш1) =		2L (ф1) +		L (ф1, ш1) + Ь{ф®, ш1),		(3,8,4)
L1V(ф1) + 2L" (ф1) +	L" (ф1) =		- L , (ш1) -		Lt (ш», ш1),	(3,8,5)
где				aV	a y
				aV	a y
м л - с,			1 3	dadf?	+ Сци дад$	+
1	a y	\|_	1	a y
+ ■2RX	ар!		2R2	да2

1 Здесь излагаются результаты исследований А. Н. Кудинова [160].

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 7020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб20Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб14Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб20Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб6Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf
#
19.11.202335.36 Mб138Оборудование для дуговой электрической сварки. Источники питания дуги.pdf
#
12.11.202312.57 Mб0Оборудование для подготовки материалов..pdf