книги / Оболочки и пластины
..pdfПосле несложных преобразований уравнения Ритца примут вид
Л(Н>Р4) |
|
£2 -4- по2 Г ---- -— |
■ (1 -у |
+ |
(1 фр)ат] + |
|
||||||
1бр» |
|
1 |
у |
[ (1 ф Ра)а |
|
|||||||
|
1 2 ( 1 — v2) р2 |
4ра |
|
L |
(1 + ра)="J |
= |
Ра |
|
||||
+ |
лО-»ра)а ___ L_ Г1 . |
8р4 |
|
р* + ^~ |
(3.9.14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ИР2 |
Р*] Б« |
|
|
|
|
£2 — |
|
|
|
ы 4рал |
|
3 ( 1 — va) |
|
|
(3.9.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Г, + _ * £ ! _ ] |
|
HP |
|
|
|
|
|
||||
16ра L |
L |
‘ |
(1 + |
Р2)а J |
+ |
2 |
J |
|
|
|
|
|
б |
1 |
|
С |
|
|
ра)а + |
(1 + |
9ра)а] ?а |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
[ (1 + |
|
|||
Л (* 4- Ра) |
___ Н _ £2 _______[2р2 |
|
4- 2г|о4 Г ---- 1------1-----------1 |
Е 2— |
||||||||
6(1 — Vs) ра |
16ра |
|
(1+Р2)3Л |
'• |
L(l + P2)3 |
( 1 ^ 9 р а)3_ Г 2 |
||||||
|
|
|
|
1 |
Г, |
|
8р4 ( 1 - р а) |
I t |
|
|
(3,9,16) |
|
|
|
|
|
4ра |
[ |
|
(1 — Ра)3 |
J 52 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Внося значение |i из второго уравнения в первое, получим соотно шение, связывающее нагрузки Р* и q* с прогибом |г-
Полагая в этом уравнении g2 = 0 и q* = 0, получим формулу
1 |
0 + Р 2)2 |
Л + |
|
|
(3,9,17) |
Р * = |
|
(1 |
+ р2)=•л, |
||
1 2 (1 — v2) |
|
|
связывающую параметр сжимающей нагрузки и длину полуволны г), которая может быть получена как решение линейной задачи о сжатии цилиндрической оболочки вдоль образующей, в допущении, что изогну тая поверхность не является осесимметричной *. Параметр р характе ризует очертания вмятины. Из условия
др* |
= 0 |
^8 = |
|
^ ~^аР ^ |
т]^ |
|
найдем, |
что 0 = |
|
12(1 — v2), а |
это дает |
||||||
дВ |
|
|
|
||||||||||||||
верхнюю критическую нагрузку2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
А, = |
|
i |
|
|
|
0,605, Ра= |
|
г |
1 |
— Е — . (3,9,18) |
|||||
|
|
у 3 (1 — V2) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 3 ( 1 — v2) |
R |
|||||||
Возвращаясь |
к уравнению |
(3,9,14) |
|
после внесения туда ii, из (3,9,15) |
|||||||||||||
получим связь Р* и |
|
в нелинейной задаче в первом приближении |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Л(1ФРа) [ 1 ^ |
|
Р2Л |
|
■Р* |
Е> |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3(1 — у2) |
|
|
||||||||||
|
|
Р* = |
|
|
|
|
|
|
4р2г) |
|
|
|
|
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
[ :1 + |
(1 + |
Р2)22)2 |
] |
ЧР* [ |
|
(1 - f Р2)2 |
* (1 + |
9р2)2] |
|а |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р2 |
|
|
, |
Tid^p2)2 |
|
|
|
+ |
T,p2[ [ ( J ^ P |
|
+ |
( l - f |
9р2)2] |
+ |
(1 - f р2)2 Т) |
+ |
12 (1—v®)>2 |
|
||||||
|
|
|
|
■Р2)2 |
|
|
|
|
|
^ |
|
К |
|
|
|
|
|
_______ |
|
|
|
— |
i- Г н - |
|
|
|
|
|
(3,9,19) |
||||||
|
|
|
|
|
4р2 L |
|
(1 ф Р2)2 |
|
J |
|
|
|
|
||||
1 Такая задача сводится к интегрированию уравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
D . |
|
|
Е |
d*w |
|
/ |
d2w |
\ |
0. |
|
|
||
|
|
|
|
— |
v8w -Ф----- |
дх* |
* / V \ |
~дх* |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
h |
v |
^ |
/? |
= |
|
|
|||||||
2 |
Это решение принадлежит Р. Лоренцу и С. П. Тимошенко. |
|
|
Величину критического значения параметра Р* можно определить следующим образом. Выбирая некоторые значения р и т), соответствую щие определенному виду волнообразования, и задавая различные зна чения £2 в уравнении (3,9,19), строим кривую Р*(£2). Наименьшая орди ната этой кривой определяет нижнее критическое значение нагрузки для выбранной формы волнообразования. П. Г Бурдиным построено [92] четырнадцать таких кривых для р, изменяющихся в интервале 0 ,3 ^р ^2 ,4 , v= 0,32, и установлено наименьшее значение нижней кри тической нагрузки среди обследованных форм волнообразования. Эта нагрузка соответствует параметрам р= 0,6, т] = 0,19 и равна
Р* = 0,124; Р н = 0 , 1 2 4 £ А . |
(3,9,20> |
Решая задачу об осевом сжатии цилиндрической оболочки во вто ром приближении, следует рассмотреть систему трех уравнений (3,9,14) — (3,9,16) или двух (3,9,19) и (3,9,16). Для определения кри тической нагрузки здесь следует строить две кривые Р*(£2) для урав нений (3,9,16) и (3,9,19). Точка пересечения этих кривых определяет нижнюю критическую нагрузку для выбранной формы волнообразова ния, т. е. для выбранных значений параметров т| и р. Строя такие кри вые для различных комбинаций р и т] и проводя общую огибающую, найдем минимальное значение параметра Рн*, соответствующее рн= 0,48, т]н = 0,4, gi = 3,45, £2=1,9. Минимальное значение нижней критической нагрузки ^ n v = 0,32) равно
Р'н = 0,186; Рн= 0,186£ — |
, |
(3,9,21> |
Я |
|
|
что составляет около 30% от значения Рв, данного (3,9,18). Уточненное решение (во втором 'приближении) дает значение нижней критической, нагрузки на 15% большее, чем решение в первом приближении. ч
Используя формулу (3,9,8) для работы осевой нагрузки на пере мещениях (вдоль образующей), можно найти зависимость параметра
нагрузки Р* |
от величины е = ----^характеризующую взаимное сближе- |
||||||||||
|
|
|
|
|
I h |
|
|
|
|
|
|
ние торцов оболочки при потере устойчивости |
|
|
|
|
|
||||||
е |
Д7 |
|
|
|
|
— v |
д2Ф \ |
1 |
/ dw У |
1 |
Jdx„ |
/ |
|
|
|
|
дх2 ) |
2 \ д х ) |
|
||||
что |
после |
интегрирования |
с учетом |
(3,9,2) и |
(3,9,3) |
в |
обозначениях |
||||
(3,9,13) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
е = |
[R |
_ р* _L P2l1 (%2 |
|
|
(3,9,22) |
||||
|
|
|
h |
~ |
‘ 8 |
\ 1 |
|
|
|
|
|
Зависимость относительного укорочения оболочки от параметра на грузки Р* дана на рис. (3.17). Кривая рис. 3.17 указывает на то, что каждой определенной форме волнообразования, характеризуемой пара метрами р и т], соответствует определенное минимальное значение пара метра нагрузки. Этим в значительной степени объясняется разброс экспериментальных данных для критических нагрузок, так как вероят-
-Г ЛР4 Г ------- 1---------- 1---------- 1_____1 £2 |
С________ Р4 |
+ |
* |р |
+ р2)8 |
|||||||||||
|
L (1 + |
Р*)а |
(1 + 9р2)2 J |
2 |
^ |
( 1 - 4 |
р2)2 1! |
12 (1 — v2) |
|||||||
|
|
|
|
— Г— + - |
|
|
1 |
|
|
|
|
(3,9.,23) |
|||
|
|
|
|
L |
4 |
|
(1 + |
Р2)2 |
J |
’ |
|
|
|
|
|
р4 (з + р2: |
|
P4- I |
|
в Л - 9* - 1 |
+ - р2- |
1 |
h 2 + |
||||||||
4(i + p2)3 |
|
12 (1 — v2) |
|
||||||||||||
|
|
|
L |
(1 — |
9р2)3 |
^ |
(0l - Р |
2)2 |
J - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ЛР4 |
|
|
|
|
IIP4 |
|
|
|
|
||
+ |
4р2 |
■ и - - |
[*♦ 3 ( 1 — V2) |
|
|
(3,9,24) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
8р4 |
1 |
|
||||||||||||
(1 + р2 |
|
Г |
|
|
|
Г |
|
1 |
|
|
I |
||||
|
|
|
I |
( 1 - 4 р2)2 |
|
ЛР |
[ |
(1 |
+ |
р2)2 + |
(1 -4 |
9p2)2J |
|||
Полагая |
в этих уравнениях £2= 0, получим решение задачи |
в линейной |
|||||||||||||
постановке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
= Г) (1 |
+ P 2)* _ |
, |
|
р 4 |
|
|
|
(3,9,25) |
|||
|
|
|
4 |
12(1 —v2) |
^ |
(1-4р2)21] |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При p^ |
1 (оболочка средней длины) имеем |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
* _ |
" V 6 |
|
л R / h \0 .5 |
|
|
(3,9,26) |
|||||
|
|
|
Я |
9(1 — V2)0’75 |
I |
V R |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
что согласуется с решением линейной задачи, данной в [97, 98]. В последней работе приводятся экспериментальные данные и их сравнение с различными решениями этой задачи.
При v= 0,32 имеем формулу Папковича
Чь |
0,925 |
h_ |
|
R |
|||
|
|
Определение нижних критических нагрузок аналогично предыдущему. Другие случаи нагружения цилиндрической оболочки подробно изло жены в монографии [95].
§10. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
ИМЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
Метод возмущений, или метод малого параметра, можно рассматри вать как некоторую модификацию метода последовательных приближе ний, при применении которого для вычисления м-го приближения пре небрегают членами, имеющими порядок выше /г-го. Следуя Свирскому [103], изложим варианты метода последовательных приближений
иметода малого параметра.
1.Пусть формула Вх = Р символизирует совокупность системы диф
ференциальных уравнений и ее |
начальных или |
граничных |
условий, |
|
а х — совокупность |
подлежащих |
определению |
неизвестных |
функций. |
Представим предыдущие уравнения в виде |
|
|
||
|
Ах+ (В—А)х = Р, Ах + Сх = Р, |
|
||
тле А — некоторый |
линейный оператор, С= В—Л. В качестве |
первого |
приближения примем решение уравнения Axi = P. Погрешность реше
ния |
будет А2 = Р—А х \ — С х \. Для устранения неуравновешенности Дг |
15 |
П. М. Огнбалов, М.. А. Колтунов |
определим поправку 62 к первому, приближению из уравнения Дбг = Д2 и в качестве второго приближения к истинному решению принимается д:2= х 1+ б2. Аналогично определяется неуравновешенность второго при ближения, новая поправка к решению и т. д.
2.Пусть дана система уравнений
Ах+Сх=рР,
где Р — заданная функция координат, а р — число, |
характеризующее |
величину нагрузки. Зададимся каким-либо значением |
параметра р = р\ |
и определим х\ (например, прогиб) в первом приближении из уравнения
{pi) = рхР.
Далее внесем полученное решение в уравнения
Л62(рх) = р2Р — Ахх (рх) — CxiipJ
и определим поправку 62(pi) к первому |
приближению, а также вели |
чину второго приближения к решению |
|
*2(Pl) = * l(P l) + |
62 (Pi)- |
Число р2 определяется из условия равенства прогибов центра оболочки в первом и втором приближениях. Неуравновешенность — неравенство левой и правой частей уравнений — устраняется при этом путем изме нения приближенной формы прогиба и величины нагрузки, которая подбирается так, чтобы «неуравновешенность» как можно меньше ска зывалась на прогибе оболочки. Таким образом, в качестве второго при ближения к истинной зависимости между перемещением оболочки и ее нагрузкой следует принять ее параметрическое представление
*~*2(pi); p = p 2(Pi)
через параметр р1. Для определения следующих поправок к параметри ческому представлению искомой зависимости решаем систему уравнений
Лб2(Pi) = РзР — Ах2 (рх) — Сх2(Pi)
и полагаем A'3(pj) =j^2(Pi) + 62(^1), причем число р3 определяем из уеловия равенства поперечных прогибов центра оболочки для решений
хз(Р\) |
и х2(р\). Задаваясь рядом последовательных значений р2, можно |
найти соответствующие друг другу значения х3 и ръ и построить графики |
|
их зависимости. |
|
3. |
Для описания третьего метода последовательных приближений |
предварительно дадим некоторые общие соображения. Пусть Bw = P — нелинейное уравнение, связывающее между собой нагрузку и прогиб оболочки. Увеличив давление на бесконечно малую величину бР, полу чим изменение прогиба, определяемого из уравнения
|
В' (w) бw = бР. |
Здесь B'(w) — линейный |
относительно бw оператор, зависящий нели |
нейно от w. Обозначим его собственные числа через |
|
*i, К |
I b i l d ^ K |
а через <pi, <рг, ... — собственные функции оператора В'(до), т. е. функции, удовлетворяющие уравнениям
В' И ф,- = КЧс |
(i= 1,2, ... ), |
причем предполагаем, что эти функции образуют полную систему, нор мированы и ортогональны, т. е.
(ФгФ*)=1, |
если i = k, |
||
(ФгФб) = |
0, |
если i - ф к , |
|
где (фг *фь) — скалярное произведение |
функций ф{ и <pft. Разложим бР |
||
в ряд по собственным функциям |
|
|
|
d p |
= |
Y i |
*<ф‘-’ |
|
|
i=i |
|
где коэффициенты dci определяются непосредственно, если умножить скалярно уравнение на ф* и воспользоваться условием ортогональности
|
dct = |
(dP, |
ф,.) |
( i = 1, 2 , ...) . |
|
Будем искать решение уравнения B ' ( w ) 6 w = 8 P в виде ряда |
|||||
|
|
00 |
|
|
|
|
бау = |
^ 6у(.ср,-, где |
dyt = (6w, |
(р,). |
|
|
|
1 |
|
|
|
Внося 6 w и d P |
в наше |
уравнение и учитывая, |
что B ' ( w ) фг=Апфг, по |
||
лучим |
|
|
|
|
|
В' и |
00 |
|
00 |
со |
оо |
£ dy^ = |
2 *|ф<; |
2 ,\- ^ ф / = 2 ^ (Ф,- |
|||
|
4=1 |
|
£=1 |
/=1 |
4=1 |
Сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях обеих частей последнего уравнения, имеем
Внося это в выражение для бш, получим
оо
Рассматривая это выражение и считая, что <р< ограничены по сово купности, замечаем, что наибольшее влияние на изменение прогиба бw имеет величина d c u которая делится на наименьший по абсолютной величине делитель Кг. Заметим, что для многих задач теории пластин и оболочек величины Кг быстро возрастают по абсолютной величине при увеличении их номера, поэтому часто можно ограничиться только пер вым членом, полагая приближенно
например, при решении задачи о прогибах свободно опертой пластины под действием равномерно распределенной нагрузки методом Навье двойных тригонометрических рядов первый член ряда дает значение прогиба центра пластины с погрешностью, не превышающей 2,6%.
И. В. Свирский {103] предлагает при каждом шаге приближений параметр нагрузки р изменять так, чтобы не изменялась та обобщенная компонента перемещений оболочки
х = (Фх> w n) = (Фх. йУ/t+x). которой соответствует наименьшая «жесткость» оболочки
у (ЬР, бР / V{bw, баг),
ибо^можно ожидать, что изменения других обобщенных компонент ока жутся с^ми по себе малыми в силу больших значений соответствующих жесткостей |Я г |, |Я з |, Следует заметить, что практическое приме нение этого метода последовательных приближений может оказаться затруднительным из-за того, что функции фг- в 'большинстве случаев неиз вестны. Следует также учесть, что фг изменяются при изменении про гиба пластины, ибо при этом изменяется оператор B'(w). Указанное затруднение можно во многих случаях устранить, если учесть, что для многих задач о прогибах пластин и оболочек наименьшее по абсолют ной величине собственное значение имеет абсолютную величину, в не сколько раз меньшую, чем остальные собственные значения; особенно
это относится к случаю, когда оболочка |
находится в |
состоянии, |
близком к состоянию потери устойчивости. |
В этих случаях |
уравнение |
—— фх является достаточно точным и при применении формулы Alх
х = (ф1? wn) = (ф1э wn+1) вместо ф! можно подставить функцию^ —— дсх
и корректировать параметр нагрузки р при каждом шаге последова тельных приближений так, чтобы для двух последовательных прибли жений оказались одинаковыми величины
(К, |
dw |
6w |
“>„+i) |
|
dpi ’ |
Этот метод отличается от второго тем, что при его применении на каж дом этапе величина р корректируется так, чтобы в двух последователь ных приближениях оставались одинаковыми не поперечные прогибы центра оболочки, а «обобщенные перемещения»:
|
6 W |
|
|
|
(dpT’ |
|
|
при этом вместо величины |
в эту формулу подставляется |
ее при- |
|
^ |
dwп тт |
упрощения вычислений можно |
подста- |
олиженное значение |
—— . Для |
||
|
dpi |
|
|
вить вместо величины dwn/dp1 величины dw\/dp\. При этом сходимость может ухудшиться, но вычисления упрощаются. Особенностью этого метода является требование, чтобы скалярное произведение (wn, ф),
Отсюда следует, что при п > 0 (хп, Хо) = 0. Итак, если определены
х0, .... -*n-i и ро, ..., Рп-1, то следующие коэффициенты хп и рп опреде ляются путем решения системы уравнений
Ахп + уп{хо ...дгл_ 1) = рпР,
(хп, х0) = 0.
Если применять вариант метода возмущений, соответствующий второму варианту метода последовательных приближений, то последнее уравнение заменяется условием равенства нулю функций хп в некото рой, подходящим образом выбранной точке.
5. Рассмотрим на примере гибкой панели сферы радиуса R метод малого параметра. Запишем уравнения (2,15,25) для гибкой пологой сферической оболочки в виде
у v V “>= ^2 (w, <р) + |
у |
V2(P + |
у . |
|
|||
-L у2у2ф = — у |
L^w, w) — у |
V2ay. |
|
||||
где |
|
d2w |
d2w |
|
d2w |
V |
|
-1 (w , W) |
|
_ ( |
|
||||
|
дх2 |
ду*' |
\ |
дх ду |
|
||
|
|
) |
|
||||
_. <Э2ф |
d2w |
, |
32ф |
d2w |
__9 |
3«ф |
d2w |
ду2 |
дх2 |
1 |
дх2 |
ду2 |
|
дхду |
дх ду |
Переходя к полярным координатам г, 6 |
(§ 3 гл. |
1) |
и полагая, что иско |
||||||||||||
мые функции w и ф не зависят от 0, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
T-{r\ri^ ] =T"t(r^-)+M |
dcp |
|
dw |
+ |
Яг |
||||||||||
dr |
|
dr |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
)] |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования по г имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
d |
, 2 |
ч |
1 |
|
d(р |
. |
1 |
dw |
d(p |
|
|
¥ , |
(3,10,1) |
|
— |
. — |
( y 2w) = |
— |
. - i . |
Н------- |
dr |
dr |
|
|
||||||
h |
dr |
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|||
|
у ( У 2Ф) = |
• £ |
Г— |
*L |
+ |
- L ( * ! L ) 2 ] , |
|
|
|
||||||
где функция нагрузки |
|
|
L |
R |
dr |
|
2r [ |
dr |
) J |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
= |
— ^ qrdr. |
|
|
|
|
|
|
(3,10,2) |
||
Формулы для напряжений в срединной поверхности будут |
|
|
|||||||||||||
|
дг |
' г2 |
302 |
|
о в = |
* * |
- , |
Т = |
------- - |
{ |
— |
|
) |
||
|
|
|
дг* |
|
|
дг |
\ |
г 30 |
|||||||
а в случае осевой симметрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
- 1 |
|
|
|
|
сРф |
|
|
|
|
|
|
|
|