Пуассона), соответствует одноосному сжатию. В зависимости от того, какую предельную кривую пересекает этот луч, определяют вид разрушения (путем отрыва или путем сдвига), а следовательно, и теорию прочности, по которой следует вести расчет.

Таким образом, предельная поверхность, соответствующая ги­ потезе Я- Б. Фридмана, представляет собой равнонаклоненную шестигранную призму, ограниченную с противоположных сторон трехгранной пирамидой.

Пельчинский 1394, 395] считает, что при разрушении срезом вместо теории максимальных касательных напряжений лучше

Рис. 38. Предельная поверхность, соответствующая модифицирован­ ной теории Кулона — Мора.

использовать энергетическую теорию Мизеса — Генки; в этом слу­ чае соответствующая предельная поверхность имеет вид зачинен­ ного цилиндрического карандаша. К аналогичному выводу о виде поверхности пришел Клебовский 1364].

На целесообразность разделения предельной поверхности на ряд поясов указывали также Бекер [18], Буртон [338], Давиденков [69], Вайглер [409] и др.

На рис. 38 показана предельная поверхность, соответствующая модифицированной теории прочности Кулона — Мора [338]. Здесь вершина шестигранной пирамиды Кулона срезана тремя плоско­ стями, параллельными координатным. Буртон указывает также на возможность, замены поверхности разрушения поверхностью те­ кучести в зоне всестороннего сжатия, где благодаря большим гидро­ статическим давлениям материал становится более пластичным.

§ 7. Теории, основанные на моделировании механизма разрушения

Рассмотренные выше теории прочности, критерии которых явля­ ются функцией компонентов тензора напряжений, не могут дать удовлетворительного объяснения ряду свойств материалов, таких как «масштабный фактор», разброс величин прочности и др. При­ рода этих свойств еще окончательно не выяснена. Однако много­ численные исследования показали, что определяющим фактором являются флуктуации механических свойств материала и, как след­ ствие, локальные возмущения поля напряжений. \

Вследствие сложности явлений, происходящих в микрообъемах материала в процессе деформирования и разрушения, пока нельзя сформулировать физически обоснованный критерий, который по­ зволил бы проверять прочность материала при различных видах напряженного состояния с учетом всех характерных для данного материала несовершенств. Поэтому некоторые исследователи идут по пути построения модели материала, его структуры. Методы ма­ тематической статистики и технической физики позволяют описать эти модели материала аналитически и путем математических по­ строений прийти к условиям предельного состояния.

В работе 1274] сделана попытка учесть несплошность строения материала и создать «структурную теорию» прочности. В качестве модели принимается однородное упругое тело, имеющее поры раз­ личной конфигурации. Попытка создания теории на основе модели, отражающей отдельные аспекты поведения материала под нагруз­ кой, была сделана О. Я- Бергом [19], который исходил из концеп­ ций теории максимальных удлинений. Н. И. Снитко [2631 предло­ жил .метод численного нахождения предела текучести поликристаллического металла при любом напряженном состоянии путем синтеза условий текучести отдельных монокристаллов. Теория «кри­ тического изменения объема» была предложена Бриком [336]. Да­ вен [345] рассматривал явление разрушения как потерю устойчи­ вости при упругой деформации материала. И. А. Одинг [199], связывая эффект пластической деформации с максимальными касательными напряжениями, указывал, что при различных напря­ женных состояниях дефекты структуры оказывают разное влия­ ние на критическое значение напряжений. Различную эффектив­ ность действия касательных напряжений он предлагает харак­ теризовать коэффициентами эквивалентности, учитывающими особенности структуры металла, и коэффициентами эквивалент­ ности, учитывающими неоднородность распределения напряжений по сечению образца.

Несоответствия между теоретической прочностью монокристал­ лов и прочностью реальных тел Гриффитс [350] объясняет наличием в материале значительного числа мельчайших трещин, около края которых имеет место чрезвычайно высокая концентрация напря­ жений.

Максимальное напряжение можно количественно оценить, поль­ зуясь моделью плоской пластинки, имеющей эллиптическое отвер­ стие с большой осью 21 и испытывающей среднее растягивающее напряжение а в направлении, перпендикулярном к большой оси. Для этого случая

(111.28)

где Q — радиус кривизны по концам большой оси. При Q -> 0 эллипс вырождается в трещину, а напряжения вырастают до беско

может быть распространена на пластичные материалы, напри­ мер на металлы, так как энергия пластического течения в 100— 1000 раз больше упругой потенциальной энергии.

Серьезной основой для дальнейшего развития теории трещин явились работы советских ученых Н. И. Мусхелишвили, Г. В. Ко­ лосова, М. Я- Леонова, Г. И. Баренблата, В. И. Моссаковского и др. Были сделаны попытки использовать модели твердого тела с тре­ щинами для расчета прочности при сложном напряженном состоя­ нии [181, 211, 325]. Однако по полученным результатам пока можно давать только качественные оценки.

Если прочность пластичных материалов удовлетворительно опи­ сывается средними значениями локальных сопротивлений, то у хрупких материалов существенную роль играет локальная проч­ ность в наиболее напряженных или наиболее дефектных объемах. Здесь модель сплошной среды оказывается недостаточной. По­ скольку места локальных вспышек поля напряжений распределе­ ны по объему случайно, то существенное значение приобретает ста­ тистическая трактовка прочности.

Мысль о статистической природе прочности впервые была вы­ сказана русскими физиками А. П. Александровым и С. Н. Журко­ вым в 1933 г. [21. Дальнейшее развитие статистических теорий проведено в работах Вейбулла [407, 4081, Т. А. Конторовой и Я- И. Френкеля [1281; Фишера и Холломона [3471, С. Д. Волкова [403, В. В. Болотина [211 и др.

При выводе основных уравнений авторы первых двух теорий считали, что разрушение вызывается лишь максимальными нор­ мальным напряжением растяжения, а вторые два главных компо­ нента тензора напряжений влияния на прочность не оказывают. Фишер и Холломон в своей теории сделали попытку учесть все три главных компонента. Однако анализ полученных ими формул по­ казывает, что в соответствии с этой теорией в материалах, имеющих достаточно большое число деффектов, прочность определяется в первую очередь максимальным главным напряжением <тг и мало зависит от других напряжений.

К сожалению, рассматриваемые теории описывают разрушение лишь таких материалов, прочность которых целиком определяется их локальной прочностью. Расхождение между результатами тео­ ретических подсчетов и данными опытов, проведенных на ряде ма­ териалов, объясняется несоответствием свойств реальных тел и свойств идеально хрупкой модели, положенной в основу теории [21, 2201. В реальных телах не выполняется одно из главных усло­ вий, лежащих в основе статистической теории хрупкого разруше­ ния: локальная прочность определяет прочность всего тела. В дей­ ствительности благодаря наличию в материале микропластических деформаций локальные пики напряжений перераспределяются и не влекут за собой разрушения тела. Кроме того, степень опасности де­ фектных элементов одинаковой прочности зависит от их коорди­

нат [21]. На стекле, например, обнаружено [14], что «масштабный эффект» зависит не только от объема образца, но и от площади его поверхности, т. е. равнопрочные дефекты не являются равноопас­ ными. Эти теории не связывают разрушение со структурными из­ менениями в материале, вызванными пластической деформацией, которая, по данным, работы [306!, всегда предшествует разру­ шению.

Несмотря на отмеченные недостатки, некоторые из названных выше статистических теорий могут быть использованы в расчетной практике как для оценки прочности отдельных материалов, так и для объяснения их специфических свойств [220].

Наиболее строгой и перспективной, по-видимому, является еди­ ная статистическая теория прочности С. Д. Волкова [40], устанав­ ливающая общий статистический критерий прочности в виде неко­ торого «допуска» на вероятность развития процесса разрушения. В отличие от многих авторов, С. Д. Волков рассматривает мате­ риал не в виде набора частично связанных между собой зерен поли­ кристалла, а как сплошную поликристаллическую среду. Это позволило ему сформулировать теорию прочности для произвольно­ го напряженного состояния. Полученные уравнения удовлетвори­ тельно описывают разрушение некоторых технических материа­ лов [29, 40].

С. Д. Волков на основании новой модели микроскопически не­ однородной среды, рассматривая пластическую деформацию как результат действия максимальных «скалывающих» напряжений вто­ рого рода, предлагает следующее условие:

где %s— средний предел текучести второго рода на площадке сколь­ жения; от — предел текучести первого рода.

Предельную поверхность пластичности в соответствии с выра­ жением (III.30) можно рассматривать как статистическое обобще­ ние теории максимальных касательных напряжений. Действительно, если предел текучести первого рода совпадает со средним значением пределов текучести второго рода, т. е. если

го условие (Ш.ЗО) преобразуется в условие Кулона (III.5). Од­ нако условие (Ш.ЗО) более универсально. Если теория максималь­ ных касательных напряжений предсказывает прочность при кру­ чении Тк = 0 ,5 (Тт, то статистический критерий в зависимости от значения параметра %s может предполагать разные соотношения

между пределом текучести при чистом сдвиге и одноосном растя­ жении. Так, при %s = 3 ,1 4 и р = 0,3 тк =0,577 ат, т. е. равно соотношению, которое вытекает из условия Мизеса.

С. Д. Волков считает, что обобщение критериев прочности на хрупкие материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию, путем формального введения в условие прочности линей­ ных или квадратичных функций шарового тензора не учитывает всех аспектов влияния нормальных напряжений. Не учитывается, например, отклонение линий скольжения от траекторий максималь­ ных касательных напряжений первого рода.

Проводя аналогию между сопротивлением сдвигу при пласти­ ческом деформировании и явлениями трения при относительном перемещении соприкасающихся тел, С. Д. Волков [38] сначала

где t sv — критическое касательное напряжение первого рода на площадке с нормалью v; ov—нормальное напряжение первого рода на этой площадке; а, р — коэффициенты.

Однако, полагая, что критическое касательное напряжение должно зависеть не только от нормального напряжения, действую­ щего в плоскости скольжения, но и от шарового тензора, С. р , Вол­ ков [37] записывает условие наступления критического состояния tax:

тов при различных напряженных состояниях, например при одно­ осном растяжении, одноосном сжатии, чистом сдвиге и двухосном равномерном растяжении.

Частными случаями условия (III.32а) являются критерии Ку­ лона— Мора (III.8) и Занделя (III.25).

Наряду с уравнениями (Ш.ЗО) и (III.32а) С Д. Волков [39] предложил следующее из статистической теории условие пластич­ ности:

магниевых сплавов с учетом изменения среднего предела текучести кристаллитов при изменении вида напряженного состояния.

Глава IV. ОБОБЩЕНИЕ УСЛОВИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

ИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ

§1. Общие требования к теориям предельного напряженного состояния

иих сравнительный анализ

Справедливость той или иной гипотезы можно подтвердить только путем сопоставления результатов расчета с экспериментально из­ вестными фактами. Надежных экспериментальных данных о со­ противлении материалов при сложном напряженном состоянии пока явно недостаточно, поэтому здесь мы рассмотрим лишь некоторые общие положения, относящиеся к теориям прочности, и сформу­ лируем основные требования к ним. О степени пригодности той или иной теории можно в какой-то мере судить по их соответствию этим требованиям.

Теория прочности должна иметь четкий физический смысл. Нельзя считать убедительными те приемы при создании теории, которые базируются на абстрактных математических построениях с последующим определением неизвестных параметров — констант материала.

Для понимания сути сложных процессов и получения необхо­ димой информации о веществе иногда целесообразно исследовать его физические свойства в возможно более общей форме, т. е. оха­ рактеризовать вещество, воплощенное в реальное тело, с которым мы встречаемся в повседневной жизни. Именно такой метод с эле­ ментами идеализации некоторых свойств твердых тел характерен для механических подходов при исследовании прочности.

Из бесконечного числа факторов, прямо или косвенно влияю­ щих на закономерности деформирования и величину прочности, очень важно выбрать те, которые являются определяющими для рассматриваемых процессов. От правильного физически обоснован­ ного выбора отправных гипотез зависит точность полученных на •основе данной теории расчетных формул.

Теория прочности должна формулироваться уравнением с ми­ нимальным количеством констант материала, определяемых из простейших опытов. Вряд ли есть смысл искать инвариантные к виду напряженного состояния функции, содержащие одну кон­ станту. Такие функции в лучшем случае описывают сопротивление лишь тех материалов, которые находятся в состоянии, близком к ^состояниям идеально пластичного или идеально хрупкого тела.

Если сопротивление материала считается функцией только на­ пряженного состояния, то основные механические свойства подав­ ляющего числа реальных материалов, по-разному сопротивляю­ щихся растяжению и сжатию, можно отразить в расчетном уравне­ нии двумя константами. Учет таких факторов, как температура, скорость нагружения, градиент напряжений, масштабный фактор

если отсутствует необходимая информация о влиянии того или иного фактора.

Теория прочности должна формулироваться уравнениями, удоб­ ными для практического применения. Это требование, на первый взгляд кажущееся второстепенным, иногда бывает определяющим при выборе теории прочности. Дело в том, что при некоторых ра­ счетах, например в пластической области или при расчетах на ползучесть, использование сложных инвариантных функций вы­ зывает значительные математические трудности. В ряде случаев отдают предпочтение теориям прочности, в которых компоненты тензора напряжений представлены в виде функций, симметричных относительно индексов . 1, 2, 3.

Необходимым требованием к теории прочности является удовле­ творительное совпадение результатов теоретических расчетов с опытными данными. Идеального совпадения быть не может. Это объясняется не только идеализацией свойств материала при созда­ нии теории, но и неизбежным разбросом результатов опыта. По­ этому при экспериментальной проверке теорий прочности следует пользоваться лишь теми статистически обработанными данными, которые не вызывают сомнений.

Практика инженерных расчетов показывает, что основным пара­ метром, на который до сих пор часто ориентируются при выборе теории прочности, является остаточная деформация при разруше­ нии. В зависимости от величины этой деформации материалы под­ разделяются на пластичные и хрупкие.

Об условности такого деления указывалось в предыдущих гла­ вах. Здесь добавим лишь, что величина остаточной деформации зависит не только от режима испытаний (скорости нагружения, среды, температуры и т. д.), но и от вида напряженного состояния, при котором производится испытание. Так, один и тот же мате­ риал при одних напряженных состояниях течет, а при других — хрупко разрушается, причем резкого перехода от одного класса напряженных состояний к другим нет. Однако общая тенденция такова, что для напряженных состояний, при которых материал течет, характерно наличие больших сжимающих напряжений, а хрупкое разрушение характерно для нагружений, когда напряже­ ния положительны.

Большинство рассмотренных нами теорий прочности не нашло

распространения в научной и технической литературе. Это объясня­ ется не только отсутствием достаточного экспериментального обо­ снования того или иного предложения, но и часто громоздкостью их расчетных уравнений, а также необходимостью опытного опре­ деления большого числа констант материала.

Для пластичных материалов широкое распространение в расчет­ ной практике, в том числе при пластических расчетах и при ра­ счетах в условиях ползучести, получили теория максимальных касательных напряжений (условие Кулона) и теория энергии формо­ изменения (условие Мизеса — Генки).

Вначале полагали, что физические процессы, протекающие в материале, более полно отражает условие Кулона, а условие Ми­ зеса было введено формально и использовалось лишь как матема­ тически удобное приближение, поскольку оно представляется одним уравнением. Впоследствии оказалось, что для ряда материалов условие Мизеса лучше согласуется с опытными данными, чем условие Кулона. В связи с этим возникла необходимость в выясне­ нии физического смысла условия Мизеса. Эквивалентную функцию этого условия стали трактовать как октаэдрическое касательное напряжение, удельную энергию формоизменения и т. д.

Сравнивая инвариантные функции указанных теорий, можно усмотреть их некоторое сходство. Обе теории придают значения разности главных напряжений, но с тем отличием, что энергетиче­ ская теория принимает во внимание все три разности, а теория максимальных касательных напряжений учитывает только разность наибольшего и наименьшего из трех главных напряжений. Таким образом, оба условия связывают сопротивление материала деформи­ рованию только с касательными напряжениями: первое — с макси­ мальными, второе — с октаэдрическими касательными напряже­ ниями.

В литературе имеются попытки вывести расчетные уравнения Мизеса и Кулона исходя из одного и того же энергетического на­ чала. В работе [97] указывается, что при двухмерном протекании процесса деформирования (плоская деформация) можно использовать условие Кулона, а нестесненное деформирование лучше описыва­ ется условием Мизеса.

Для выяснения, какой из этих теорий надо отдать предпочтение, ставились специальные опыты. Результаты опытов не дали конкрет­ ного ответа в пользу той или иной теории. Локальность пластиче­ ских деформаций и их развитие главным образом по плоскостям действия максимальныхкасательных напряжений позволяют пред­ полагать, что начало образования пластических деформаций для пластичных материалов лучше согласуется с теорией наибольших касательных напряжений. С другой стороны, серьезное обоснование для применения энергетической теории можно найти в известных опытах Л. Турнера, В. Лоде, А. Надаи и др.

Обобщая результаты этих опытов, отметим, что условие пластич-

ности Мизеса — Генки при однородном сложном напряженном со­ стоянии достаточно хорошо согласуется с опытом для таких мате­ риалов, как медь, никель, алюминий. Условие Кулона дает лучшее совпадение для материалов, которые разупрочняются после дости­ жения предела текучести (например, отпущенные стали). Образец в этом случае пересекается линиями Чернова — Людерса, деформа­ ция становится неоднородной. i

Опыты А. М. Жукова [90, 91] над сталью ЗОХНЗА и сплавом ЭИ415 показали, что условие наступления текучести лучше согла­ суется с теорией Мизеса — Генки, а условие разрушения — с усло­ вием Кулона. Такие же результаты были получены Рошем и Эйхингером в опытах над углеродистыми сталями, а также Интерсоном на стальных образцах специальной формы [358].

Г. В. Ужик [288] обратил внимание на то, что кроме разности главных напряжений в условиях текучести и разрушения необхо­ димо еще учитывать абсолютную величину каждого из главных напряжений, так как даже при постоянной разности главных напряжений увеличение их абсолютных значений не может про­ должаться беспредельно. Это обстоятельство приводит к мысли о принципиальном противоречии теории Мизеса — Генки, заключа­ ющемся в отрицании возможности остаточных объемных деформа­ ций. Однако, как показали опыты Бриджмена и других исследова­ телей, заметные остаточные объемные деформации подавляющего большинства конструкционных материалов отмечаются лишь при очень высоких гидростатических давлениях.

Естественно, для отдельных материалов, для которых характер­ но нарушение сплошности (например, некоторые металлокерамиче­ ские и пористые композиции), влияние остаточных объемных деформаций иногда настолько существенно, что приводит к замет­ ным ошибкам в расчете. В этом случае, очевидно, лучшее соответ­ ствие с опытными данными дает гипотеза Г. А. Дощинского, свя­ зывающая наступление предельного состояния материала с вели­ чиной абсолютных значений компонентов деформаций. Для расчета по критерию Г. А. Дощинского достаточно иметь кривую деформирования при одноосном растяжении и найденный из этого же опыта характер изменения коэффициента поперечной деформации в зависимости от относительного удлинения.

Во многих нормах расчета и справочниках можно найти реко­ мендации о целесообразности использования применительно к хрупким материалам теории максимальных нормальных напряже­ ний (первая теория прочности) и теории максимальных нормальных удлинений (вторая теория прочности). Как показывает анализ экспериментальных данных (см. главу VII), теория максимальных нормальных напряжений применима только для таких очень хруп­ ких материалов, как стекло, гипс и т. п., а использование теории максимальных удлинений совершенно не обосновано [35, 69, 116], хотя в литературе имеются указания на то, что разрушение таких

материалов, как фарфор, удовлетворительно описывается этой теорией.

Развитие теорий прочности с целью распространения их на хрупкие материалы происходило в основном по пути модификации

претируются в пространстве напряжений многогранниками, вписан­ ными в поверхности вращения (т0КТ, aQ, mt) = 0 с образующими

в виде кривых соответствующего порядка. Так, например, много­ гранник ттах = const (теория максимальных касательных напряже­ ний) вписан в цилиндр Мизеса — Генки т0КТ = const, многогранник ттах = тх + пща0 (гипотеза И. И. Тарасенко) вписан в конус, ин­ терпретирующий в пространстве напряжений гипотезу А. И. Боткина toKT = ту + m2cr0, и т. д.

Теории второй группы следует, очевидно, рассматривать как некоторые приближения к соответствующим энергетическим тео­ риям, геометрическая интерпретация которых плавными поверх­ ностями более логична (этот вопрос рассмотрен в § 2 настоящей главы).

Поверхности предельного состояния, соответствующие теориям второй группы, ограничены плоскими гранями, поэтому соответ­ ствующие условия прочности для самых общих случаев не могут быть выражены одной формулой, в которой все главные напряжения равноправны. Этого недостатка не имеют теории первой группы, для которых условия предельного состояния выражены аналити­ ческими функциями, что облегчает их использование при построе­ нии математического аппарата теории упругости и теории пластич­ ности.

Основываясь на результатах исследования прочности хрупких материалов в условиях плоского напряженного состояния, неко­ торые авторы отдают предпочтение теории Бужинского — Ягна. Однако не следует забывать, что необходимость экспериментального определения трех констант материала уже предопределяет лучшее соответствие теории опытным данным. Кроме того, как было от­ мечено П. П. Баландиным [9], в расчетном уравнении этой теории нарушена логическая необходимость постепенности перехода од­ ного вида поверхности в другой; в результате при малом изменении одной из характеристик материала ар, ас или тк можно получить бесконечное приращение в области прочных состояний. Это обсто­ ятельство требует особой осторожности при практическом исполь­ зовании расчетных уравнений, так как никогда не может быть

полной уверенности в абсолютно точном значении определяемых из опыта механических характеристик материала. Все указанные недостатки присущи и гипотезе Г. А. Дощинского применительно к хрупким материалам, которая также не имеет однозначной гео­ метрической интерпретации.

В свете отмеченных недостатков теории Бужинского — Ягиа представляют интерес теории, в основу которых положены более простые соотношения между октаэдрическими напряжениями. Сюда можно отнести критерии вида сг* == А г + Вха„ и а( = Аг +

В2Оо, которым в пространстве напряжений соответствуют пара­ болоид вращения (теория Баландина) и круговой конус (теория Боткина — Миролюбова), равнонаклоненные к главным осям. Из сравнения этих теорий с результатами опытов, приведенного в § 4 настоящей главы, видно (см. рис. 45), что теория Баландина на­ ходится в лучшем соответствии с опытом для материала с отно­ шением критических напряжений при растяжении к критическим

< 0,4 в лучшем соответствии с опытом находится теория Боткина— Миролюбова.

Широкое распространение в инженерной практике, особенно в горном деле, получила теория Мора. Эта теория носит полуэмпирический характер, так как для достаточно точной аналитической аппроксимации огибающих кругов напряжений необходима по­ становка соответствующих опытов, что и предопределяет ее хорошее соответствие эксперименту [69, 70, 116, 134].

Подробный критический анализ этой теории можно найти в работах [183, 247, 257, 289, 297, 338 и др.]. В этих же работах рас­ смотрены пути ее дальнейшего развития и модификации. Здесь лишь отметим, что замена огибающих кругов напряжений прямыми линиями вряд ли целесообразна, так как она приводит к значи­ тельному занижению расчетной прочности в широком диапазоне напряженных состояний (см. рис. 45).

Объединенная теория прочности Я- Б. Фридмана, являясь большим шагом в развитии теорий прочности, имеет существенные недостатки, значительно сужающие круг материалов, на которые она может быть распространена. К таким недостаткам прежде всего следует отнести приближенный характер положенных в ее основу критериев прочности. Еще Людвиг, предложивший кривые Tmax — Утгх как абсолютные характеристики материала, подчеркивал их приближенный характер [372]. Об этом же говорят работы и других исследователей. Критерий, постулирующий постоянство максимальных удлинений, как уже отмечалось, также не подтвер­ ждается опытом. Поэтому объединенная теория Я. Б. Фридмана представляет скорее научный, чем технический интерес [61, 64, 66, 235 и др.].