книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

В этом случае уравнение теоретической работы турбины записы-

)сгся в виде

Используя треугольники скоростей компрессора и турбины, сказанные на рис. 2.5, и применяя теорему косинусов, получим

.Заменяя в выражениях (2.21) величины си и их значениями из (2.24), юлучим также следующие выражения для удельных теоретических >абот компрессора и турбины:

# т =

(2.25)

L u =

Теоретический напор компрессора Н т и теоретическая работа тур­ бины Lu определяются разностью квадратов абсолютных с, перенос­ ных и и относительных w скоростей. Для осевых турбомашин, у ко­ торых и & const (на входе в венец и на выходе из него) теоретиче­ ский напор компрессора и работа турбины определяются по урав­ нениям (2.25), учитывая, что вторые члены близки к нулю.

2.3.4. Уравнение сохранения энергии и обобщенное уравнение Бернулли

При выводе уравнения энергии в лопаточных машинах будем исходить из общего уравнения энергии (2.4), записав его для выделенного нами контрольного объема (см. рис. 2.7). Рассмотрим для него изменение внутренней и кинетической энергий. Поскольку рассматривается стационарное течение, изменение по времени вну­ тренней и кинетической энергий жидкого объема равно потоку этих величин через неподвижную контрольную поверхность.

Вычислим этот поток (обозначая скорость через с):

Мощность сил давления определяется следующим образом. Сначала определим работу сил давления:

41

Разделив и умножив члены этого выражения на плотность р, пере­ ходим к мощности и получим

Удельная тепловая мощность складывается из двух частей: из внешнего теплоподвода QBII и из тепла, которое выделилось внутри объема в результате преобразования в тепло мощности трения QTp: Q = QBH + QTpОчевидно, что вторая часть удельной тепловой мощности (QTp) в точности равна удельной мощности работы тре­ ния, т. е. QTр = LTp, где Lrp — N rp/G. Учитывая известное термо­ динамическое соотношение i = U + pv = U + р/р и переходя в (2.28) к средним по сечению (знаки осреднения опущены), получим

где L =-= N I G .

Уравнение энергии (2.29) часто называют уравнением теплосодер­ жаний. В теории неохлаждаемых турбомашин, как правило, пола­

Используя известное понятие об энтальпии по параметрам за­

Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями энергии в форме теплосодержаний для простейшей модели лопаточной ма­ шины.

Учитывая, что i = срТ , а также соотношения ср — cv ~ R и р/р -- R T , уравнение теплосодержаний

где k =

Рассмотрим теперь механическую форму уравнения энергии, называемую также обобщенным уравнением Бернулли. Вернемся снова к уравнению энергии (2.28) и запишем его для струйки тока,

42

|На сечения которой расположены на бесконечно малом расстоянии

I полное количество тепла, приобретенное рассматриваемым эле­ ментом в единицу времени,

Напишем выражение первого начала термодинамики (для покоющегося элемента среды),:

Подставляя выражения (2.38) и (2.39) в формулу (2.37), получим

Интегрируя (2.40), получим уравнение, которое называется урав­ нением энергии в механической форме (обобщенным уравнением Бернулли)

Pi

Втаком виде уравнение Бернулли используется при расчете про­ цессов в компрессоре (для турбины в правой части выражения (2.41)

надо изменить знак перед L).

В теории турбомашин рассматриваются также идеальные процессы в компрес­ сорах и турбинах. В этом случае уравнение Бернулли записывается для идеаль­ ного или изоэнтропического процесса в компрессоре и турбине (без потерь LTp = 0 и без внешнего теплообмена). Очевидно, что

43

По формуле (2.44) вычисляется изоэитропическая работа компрессора, для вьн числения изоэнтропичсской работы турбины надо в формуле (2 .44) изменить знак L и будем иметь

Используя газодинамические функции приведенной скорости X, соотношения (2.44)

Из приведенных выражений видно, что совершаемая газом работа прямо пропорци­ ональна температуре газа на входе. Это важное свойство технической работы лежит в основе работы тепловой машины. Работа, расходуемая на сжатие холодного газа, меньше той, которую он производит, расширяясь до первоначального давления. Из разности этих работ получается полезная работа, совершаемая двигателем вну­ треннего сгорания.

Вернемся к реальному компрессору и турбине. Значение уравне­ ния Бернулли, т. е. механической формы уравнения энергии, напри­ мер, для компрессора заключается в том, что оно связывает вели­ чину работы сжатия (LK) с величиной, характеризующей изменение давления в компрессоре {dp), величиной потерь механической энер­ гии потока (потерь на трение) на участке от в до к (см. рис. 2.3)

и изменением кинетической энергии потока.

Обратим прежде всего внимание на то, что в уравнении (2.41) отсутствует член, непосредственно характеризующий величину внеш­ него теплоотвода. Эта важная особенность процесса сжатия будет

44

4iena, так как при вычислении J — " необходимо принять опреде­

лите условие связи между давлением (р) и плотностью газа (р). Как известно, из термодинамики процессы сжатия и расширения газах принято характеризовать величиной среднего показателя

юн теплоемкости процесса (сп) непосредственно связана с величи­ ной отводимого или подводимого тепла.

Тогда искомая величина интеграла, называемого политропиче-

о политропе торможения с показателем /г*, политропическая работа сжатия по параметрам торможения вычисляется так:

* ...................< 2 - 4 9 >

I *

где Лк p*Jpl — степень повышения полного давления в компрес­ соре. Отметим еще несколько особенностей уравнения энергии в ме­ ханической форме:

т. е. затраченная работа в компрессоре расходуется на политропическую работу сжатия, на преодоление потерь и на изменение кине­ тической энергии рабочего тела.

В литературе по компрессорам и насосам величина затраченной работы (LK) и связанные с нею величины (LI{. пол и др.) часто име­ нуются напором компрессора (политропическим напором и др.). Происхождение, а в целом ряде случаев и целесообразность термина «напор», объясняется тем, что в ранее используемой механической

ние Бернулли.

45

Запишем теперь по аналогии уравнения энергии для простейшей модели турбины. Предварительно заметим, что в то время как в ком­ прессоре практический интерес представлял лишь случай с внешним отводом тепла (при охлаждении компрессора), в турбине могут иметь места оба случая: с внешним теплоотводом — при охлаждении, и с внешним теплоподводом — например, в случае догорания топлива при расширении газа в проточной части:

численно равна разности полных энтальпий (энтальпий торможе­ ния) потока и однозначно характеризует снижение полной темпера­ туры (температуры торможения) в турбине.

оперирования с положительными величинами L T при ее вычислении рассматривается разность между энтальпиями в исходном и конечном состояниях, а не в конечном и исходном как в компрессоре. Для этой же цели будут сменены пределы интегрирования при вычислении политропической работы расширения в механической форме уравне­

Политропическая работа расширения газа в турбине

жению (2.49) вводится понятие о политропической работе расшире­ ния в турбине по параметрам торможения. Поэтому уравнение энер­ гии записывают также в следующем виде:

L T. п о л = LT L Tр -| g • (2.56)

46

ной ступени. Под потерями в элементарной ступени обычно понимают потери пр^ обтекании профиля (профильные потери). К ним обычно добавляют долю вторичных потерь, возникающих на радиальных границах межлопаточного канала и распределяемых равномерно по его высоте, т. е. по всей высоте лопатки. Более подробная классификация потерь энергии в лопаточных машинах будет приведена в заключи­ тельном разделе настоящей главы, где будут также установлены зависимости, свя*

Из уравнения энергии в механической форме следует, что изменение кинети­ ческой энергии в НА (энергия торможения потока) расходуется на политропическую работу сжатия (на повышение давления) и на преодоление потерь энергии.

Для того чтобы получить уравнение энергии в относительном движении в РК элементарной ступени компрессора, сопоставим уравнения (2.59) п уравнение (2.25)

Из уравнения энергии в относительном движении в тепловой форме следует, что полная температура (торможения) в относительном движении, т. е. температура торможения относительных скоростей в РК элементарной ступени осевого компрес­ сора не изменяется (если и2 — и1 и (?0тв~ 0)- Это является логическим следствием того, что в относительном движении колесо рассматривается как неподвижное, а значит, и не сообщает потоку механическую энергию. В уравнениях (2.60) отсут­ ствует член, соответствующий подводимой работе. Уравнение же в механической

43

Для того чтобы получить уравнения энергии для РК в относительном движении

В РК осевой турбины, как и ранее в колесе осевого компрессора, температура торможения в относительном движении не изменяется, так как колесо рассматри­ вается неподвижным (невращающимся) и, следовательно, не отбирающим мощность от протекающего через него газа. Приращение же кинетической энергии потока

вколесе (разгон потока) происходит при расширении потока (уменьшения давления)

иравно политропической работе расширения за вычетом потерь в колесе.

Если использовать уравнение (2.25) при их Ф и2, то установим, что, например, в колесе центростремительной турбицы происходит снижение температуры тормо­ жения в относительном движении, так как газ, расширяющийся в колесе, затрачи­ вает энергию и на преодоление центробежных сил, направленных против направле­ ния движения. Это понижение температуры

Завершая рассмотрение основных уравнений, подчеркнем еще раз, что оперируя некоторыми средними по шагу (и радиусу) значениями скоростей давления и плот­ ностей в расчетных сечениях, можно получить простые выражения, связывающие энергетические параметры ступени: напор, работу расширения, изменение давления и температуры с ее кинематическими параметрами, определяемыми треугольниками скоростей элементарной ступени.

2.5. Классификация потерь в ступени лопаточной машины

Рассмотрим прежде всего связь параметров элементар­ ной и полной ступеней турбомашины. Расход рабочего тела через ступень осевой лопаточной машины в общем случае определяется соотношением:

г ие р

г кор

где са (г), р (г) — зависимости изменения осевой составляющей ско­ рости и плотности по радиусу в соответствии с принятым законом профилирования, т. е. типом лопатки.

Для практических расчетов часто используют приближенную зависимость, в соответствии с которой суммарный расход через ступень определяется по параметрам элементарной ступени на сред­ нем радиусе проточной части:

50