книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

причем знак перед последним членом нужно выбирать в зависи­ мости от знака скорости (направления движения). Пусть, напри­

мер, движение начинается в мгновение t = 0, когда х = ао, х —0. Тогда в первом интервале движения скорость отрицательна и в уравнении должен быть принят знак минус.

Обозначив а = k : с и р2 = с : м, получим уравнение

х — — (а0— а)р sin pt.

Когда аргумент pt становится равным я, скорость вновь об­ ращается в нуль, т. е. система достигает свего крайнего откло­ нения по другую сторону от начала координат; это отклонение согласно уравнению (71)

ах = (а0— a) cos тс + a = — а0 + 2а,

т. е. по абсолютной величине оно меньше начального отклонения на 2а.

Если абсолютная величина а\ удовлетворяет неравенству с\а\\> k (или |a i|> а), то сила упругости больше силы трения, и система начинает двигаться в сторону положительных значе­ ний х. Теперь уравнение движения запишется в виде

х + р2х + р2a = 0.

Смещая начало отсчета времени, примем начальные условия: t = 0; х = а,\\ v = 0. Тогда решение запишется в виде

х = (ax + a) cos pt — а.

Рассуждая, как и выше, получим для следующего отклонения

аг = — ах— 2а

или, выражая а\ через а0,

а2 = Яо — 4а.

Таким образом, за один период амплитуда уменьшается на одну и ту же величину 4a = 4k : с, т. е. последовательность ам­ плитуд образует арифметическую прогрессию и огибающая кри­ вой x{t) представляет собой прямую линию. Тангенс угла ее на­ клона с осью t равен 4k : сТ. Вычисления, подобные приведенным, можно продолжать лишь до тех пор, пока соблюдается неравен-

62

ство |а<| > a. Как только отклонение а* станет меньше, чем а, движение полностью прекращается, так как сила упругости сагбудет недостаточна для преодоления силы трения.

График колебаний дан на рис. 37. Он состоит из отрезков си­ нусоид с одинаковым периодом, но различной амплитудой. Две горизонтальные прямые х = ± а определяют зону «застоя»: если скорость обращается в нуль в пределах этой зоны, то дви­ жение прекращается (точкам).

Те же результаты можно было сразу получить, рассматривая силу сухого трения как частный случай силы R в выражении (54), если п = 0:

В самом деле, произведение и|о|-1 равно +1 или — 1 в зави­ симости от знака скорости v. Поэтому найденный результат (69) для /г = 0 непосредственно относится к данному случаю сухого трения. Этим и объясняется, почему найденный здесь тангенс угла наклона огибающей Ak:cT совпадает с выражением (70).

Свободные колебания при внутреннем трении

Выше было пояснено, что рассеиваемая за цикл энергия не за­ висит от темпа процесса циклического деформирования и опреде­ ляется формулой (55). С другой стороны, та же энергия выра­ жается формулой (61). Приравнивая эти два выражения, полу­ чаем дифференциальное уравнение для верхней огибающей

.кривой затухающих колебаний

63

Как и в случае неупругого сопротивления, пропорционально­ го п-й степени скорости, решение этого дифференциального урав­ нения не дает подробного описания процесса затухающих коле­ баний, но зато позволяет легко найти огибающую.

k

Если обозначить b = — , то придем к уже решенному диффе-

сТ

ренциальному уравнению (65), но с другим значением парамет­ ра Ь. Окончательный результат в данном случае имеет прежнюю форму (68); в частности:

cT

Огибающие, соответствующие этим случаям, схематически представлены на рис. 36. Важно заметить, что одинаковые вибро­ граммы затухающих колебаний могут получиться при действии сил неупругого сопротивления различной природы.

Обобщение понятия о логарифмическом декременте колебаний

Данное выше понятие о логарифмическом декременте можно распространить на любые процессы затухания колебаний, пола­ гая, что логарифмический декремент б есть натуральный лога­ рифм отношения двух последовательных амплитуд. Обычно это отношение переменно, так что логарифмический декремент не является постоянным числом для всего процесса колебаний, а по­ степенно меняется; исключениями являются случаи вязкого со­ противления и гистерезиса (при п — 1), когда для всего процесса колебаний 6 = const. Итак, примем

6 = In ———

ai+l '

Если ai— мало отличается от единицы, можно принять а/+1

64

следовательно,

а

Этому выражению можно дать иное толкование. Энергия, рас­ сеянная за один цикл, определяется формулой (59); максималь­ ная потенциальная энергия

П = саг

~2 ’

Составляя отношение этих энергий, получим величину, вдвое большую, чем (73):

ДП __g Ад

п“

Отсюда вытекает следующее определение: логарифмический декремент есть отношение энергии, рассеянной за один цикл, к удвоенной максимальной потенциальной энергии цикла.

При учете выражения (60) формулу (73) можно записать также в виде

Для всех рассмотренных выше случаев справедливо диффе­ ренциальное уравнение (65); пользуясь им, получаем следую­ щую зависимость логарифмического декремента от амплитуды колебаний:

Так, в случае п = 1

б= Ь7\

т.е. логарифмический декремент постоянный.

При сухом трении (п = 0) логарифмический декремент воз­ растает с убыванием амплитуды:

б

ЬТ

а

В случае п = 2

б= ЬТа,

т.е. логарифмический декремент убывает с уменьшением ам­ плитуды.

Соотношение (75) может быть положено в основу экспери­ ментального способа определения параметра п.

6. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ НЕУПРУГИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛЕ

Некоторые типы нелинейных характеристик

Примером упругой нелинейной связи может служить задняя подвеска автомобиля (рис. 38, а), если, кроме основной рессоры, имеется дополнительная рессора (подрессорник). При малых перемещениях кузова концы подрессорника не касаются упоров и работает только основная рессора; зависимость между давле­ нием Р на рессору и ее прогиб у можно считать линейной (уча­ сток ab) .

При больших перемещениях кузова концы подрессорника упираются в кронштейны рамы и общая жесткость рессоры ста­ новится большей (участок Ьс). Таким образом, общая характе­ ристика рессоры Р(у) оказывается нелинейной.

На рис. 38, б показаны схема, принципиально эквивалентная схеме подвески автомобиля, и соответствующая ей характеристи­ ка. Положение нулевой точки, около которой происходят коле­ бания, зависит от статической нагрузки; при увеличении статиче­ ской нагрузки нулевая точка последовательно смещается в поло­ жения 0 1 , Ог и т. д., а при уменьшении нагрузки — в положения Оз, 0 4 и т. д.

На рис. ,38, в показана нелинейная муфта, служащая для соединения двух частей вала. Выступы 4, имеющиеся на полумуфтах 1 и 3, перевиты зигзагообразной стальной лентой 2. При возрастании передаваемого крутящего момента М лента на­ тягивается и муфта становится все более жесткой. На этом же рисунке показана связь между углом ф взаимного поворота полумуфт и крутящим моментом М.

Сходные характеристики имеют системы, показанные на рис. 38, г. Постепенное возрастание жесткости выражается в ро­ сте крутизны характеристики.

Схема нелинейной пружинной муфты с первоначальным натя­ гом показана на рис. 38, д. При малом крутящем моменте взаим­ ный поворот полумуфт равен нулю. Когда крутящий момент до­ стигает значения М0 (определяемого величиной первоначального сжатия пружин), начинается деформация пружий и полумуфты получают возможность взаимного поворота. Характеристика та­ кой муфты содержит вертикальный участок, совпадающий с ча­ стью оси ординат.

На рис. 38, е 'показаны муфта с зазорами До и ее характери­ стика. В пределах угла фо = До: 2г полумуфты свободно враща­ ются одна относительно другой, и только при больших углах по­ является возможность передачи крутящего момента.

На рис. 38, ж приведена пружина с нелинейной характеристи­ кой. При сжатии пружины малыми силами (меньшими, чем Pi)

66

Рис. 38

«7

осадка почти пропорциональна силе сжатия Р. Нагрузке Р\ со­ ответствует начало соприкосновения витков. При дальнейшем увеличении силы Р все большая часть витков постепенно выклю­ чается из процесса деформации и жесткость пружины возраста­ ет. Полной посадке пружины соответствует сила Р2 .

Чаще всего надежные упругие характеристики могут быть получены только экспериментально, статическим испытанием, но для простейших схем их можно построить расчетным путем.

Рассмотрим построение характеристики для системы, пока­ занной на рис. 38, в. Сначала будем считать, что когда груз на­ ходится в среднем положении, натяжение пружины отсутствует.

При отклонении груза на расстояние х пружина удлиняется на величину У х2+ I2— / и соответствующая сила натяжения пружины

N = с(У х 2 + Р — /).

Горизонтальная составляющая этой силы, определяющая упругую характеристику системы,

Р= N — х — сх

У12+х*

Полагая, что перемещение х мало сравнительно с длиной /, можно записать

и, следовательно, восстанавливающая сила чисто нелинейная:

Если пружина обладает первоначальным натяжением N0, то при отклонении груза на величину х полная сила натяжения составляет

N = N„ + c ( y P T * - i ) ,

и ее горизонтальная составляющая

Это выражение отличается от выражения (76) наличием ли­ нейного слагаемого. Отсюда видно, что начальное натяжение может существенно влиять на упругую характеристику системы.

68

Построим характеристику для муфты с натягом (см. рис. 38, д). Если при нагружении муфты крутящим моментом на каждую пружину действует сила, меньшая усилия первона­ чального обжатия Ро, то взаимный поворот полумуфт невозмо­ жен. Обозначая число пружин через п и радиус пограничной окружности через г, можно записать, что пока крутящий момент меньше, чем М0 = пРог, угол взаимного поворота равен нулю

одной пружины при сжатии). Этому соответствует угол взаим­ ного поворота полумуфт

V пг

Отсюда находим, что при М ^ М0 М — спг2(р+ пР0г;

эта зависимость показана на рис. 38, д (участок ab)\ на рассмат­ риваемом участке жесткость муфты равна спг2.

Аналогично можно построить характеристику для муфты с за­ зорами (рис. 38, д). Момент не возникает, если угол поворота меньше, чем фо = Ао : 2г (участок Оа на рис. 38, д). Лишь при Ф > Фо происходит передача крутящего момента. Крутящему мо­ менту М соответствует сила сжатия одной пружины М : пг и сжа­ тие пружины на величину Д = М : спг. Следовательно, дополни­ тельный угол поворота (оверх угла фо)

_д _ М

гспгг

Полный угол поворота, считая от среднего положения,

М

Ф = Фо + саг2 ’

отсюда находим уравнение упругой характеристики при ф > ф0:

М — спг3 (ф — ф0)

(участок ab на рис. 38, д).

Точное решение

В дифференциальное уравнение свободных колебаний нели­ нейной упругой системы с одной степенью свободы нужно вместо линейной восстанавливающей силы —сх вводить нелинейную

69

восстанавливающую силу Р {х) ; конкретное выражение послед­ ней определяется упругой характеристикой. Основное дифферен­ циальное уравнение задачи получает вид

тх + Р (.х) = 0.

Для систем, совершающих крутильные колебания, в эту фор­ мулу вместо массы т следует подставить момент инерции /, вме­ сто перемещения х — угол поворота <р и вместо восстанавливаю­

Ввиду сложности решения уравнения (77) обычно ограничи­ ваются определением частоты свободных колебаний, не выясняя деталей протекания процесса колебаний; этого оказывается до­ статочно для многих практических приложений.

Выразив ускорение х в виде

(v — скорость), получим вместо уравнения (77)

Разделяя переменные, находим

vdv = — f(x)dx.

При интегрировании выберем за начало отсчета времени мгновение наибольшего отклонения, когда перемещение х максимально (хтйХ = а), а скорость равна нулю (о = 0). Тогда

будет

V X

ИЛИ

х а

О*

J f(x)dx = j* / (х) dx\

2

это соотношение выражает закон сохранения энергии: в левой части стоит кинетическая энергия, накопленная в процессе дви­ жения от крайнего положения (х — a, v = 0 ) к текущему поло­ жению (х, и), а в правой части — потенциальная энергия, поте-

70

рянная в процессе того же движения [эта энергия на графике не­ линейной характеристики восстанавливающей силы (рис. 39) выражается заштрихованной площадью]1, Извлекая корень,

находим

f(x)\

dx

2 J f(x)dx

Если вести интегрирование в пределах от х = 0 до х —а, то для системы с симметричной характеристикой будет найдено время четверти полного колебания (четверть периода)

а

эта формула дает возможность найти точную зависимость перио­ да свободных колебаний от их амплитуды.

Остановимся на случае симметричной характеристики, опи­ сываемой законом

Последовательно находим

J f{x)dx = -^ -(a 2n — x2n);

X

1 Обе энергии отнесены к единице массы.

71