книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

При пользовании формулой Верещагина необходимо разде­ лить длину стержня на такие участки, чтобы в пределах каждого

из них эпюра Мкбыла ограничена прямой линией. Напомним также о спра-

ведли'вости равенства = = б/it, составляющего содер­ жание теоремы Максвелла.

Уп = — тгУгдпх — пцу»ЬП1 — ... — тпупЬпп.

Входящие сюда коэффициенты т&имеют обобщенный смысл; так как в тех задачах, где одно из перемещений ун есть угол по­ ворота, под frih следует понимать не массу, а момент инерции k-ro

Подставляя выражение (135) в уравнения (134), получим од­ нородную систему алгебраических уравнений относительно не­ известных амплитуд

&1 (Шхбцр2 — 1) 4- а-ъМгЬхър1“Ь ••• аптпд1пр2= 0;

a im i6 21p2 + а2 ( т 2622р2 — ! ) + • ♦ • ^ т , гб 2ггр2 = 0; ( i 3g)

ахШхЬгар 4- я2ш2бп2р 4- • • • 4~ ^ni^n^nnP^ 1)

Эта система удовлетворяется тривиальным решением

Q x == Q-ч = . . . CLn = 0 ,

которое соответствует отсутствию колебаний, но не является един­ ственным. Амплитуды «г одновременно не обращаются в нуль, если определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений (136), равен нулю:

Развернув определитель (137), получим частотное уравнение п-й степени для квадрата частоты р2; напишем это уравнение в виде 1

эти корни вещественны и положительны, поэтому для частоты р

1 При такой расстановке знаков все коэффициенты Ь\ положительны.

104

или в развернутом виде

Уп = amsin (pi* + otj) + an2sin (p„( 4- «„) 4- - 4-0„n sin (p^ 4- «„)•

Таким образом, в каждом направлении i = 1, 2, ..., /г проис­ ходят многотонные колебания, причем число слагаемых равно числу собственных частот, т. е. совпадает с числом степеней сво­ боды системы п.

Сосредоточим внимание на вычислении собственных частот, оставив 'пока в стороне вопрос об определении амплитуд а,-.

В частном случае системы с двумя степенями свободы систе­ ма уравнений (136) принимает вид

Частотное уравнение (138) становится биквадратным и име­ ет следующие решения:

Пример 11. Найти собственные частоты колебаний консоли, показанной на рис. 54, а с учетом инерции вращения концевого груза. Эта система имеет две степени свободы и ее движение описывается двумя координатами уу (вер- тикальное перемещение груза) и у2 (угол поворота груза).

Строим эпюры изгибающих моментов от силы Pi = 1 и момента Р2 = 1 (рис. 54, б— д) и вычисляем по формуле Верещагина

105

Если, как обычно, отношение I : р велико, то последний корень можно при­ ближенно преобразовать так:

Принимая знак минус, получим квадрат низшей (первой) частоты:

106

Для определения единичных перемещений строим эпюры моментов от еди­ ничных сил Pi = 1, Рг = 1 и Р2= 1 (рис. 55). По формуле Верещагина нахо­ дим единичные перемещения

бц — 633 = 75fe; 622 — 243й; 621 — 6J3 = 632 = 6JJ = 117&; 6^3 = 83^ = 51fe.

Р

В этих выражениях к =

Теперь составляем определитель (141):

Развернув определитель, получим частотное уравнение, которое в данном случае оказывается бикубическим

77 760 {mkjPf — 12 096 (mjfep2)2 + 393/nftp2 — 1 = 0

и имеет три корня

(на операциях вычисления этих корней не останавливаемся).

Собственные формы колебаний. Если в систему уравнений (136) подставить какой-либо из корней частотного уравнения, то одно из уравнений станет следствием остальных, т. е. незави­ симых уравнений оказывается только п — 1. Эти уравнения связывают между собой п амплитуд ацуa2i, ...» ап* [второй индекс означает номер корня р ?, который подставлен в систему (136)]

и поэтому позволяют выразить все амплитуды через какую-либо одну, например, первую. Отношения ац-.ац, а3{:ац,... опреде­ ляют t-ю собственную форму колебаний. Таким образом, каж­ дой частоте отвечает вполне определенная форма колебаний; число этих форм совпадает с числом степеней свободы системы

ственных форм также равно двум..

Подставив данные задачи

m, = m; т г = « р > ; *u =

впервое уравнение системы (140)

а2 (тхбцр2 — 1) -}- О2/Я2612Р* — 0,

107

получим

Она иллюстрирована на верхней схе­ ме рис. 56 и характеризуется в основ­ ном линейным смещением концевого груза.

Для определения второй собст­ венной формы колебаний нужно при­

нять р- = р|; отсюда находим

эта форма иллюстрирована на нижней схеме рис. 56 и характеризуется глав­ ным образом поворотом концевой массы.

Для определения основной собственной формы колебаний в многомассовых системах мо­

жет быть использован способ последовательных приближений, по своему существу совпадающий с изложенным способом Стодолы. Достоинством этого способа является возможность вычис­ лений без всяких операций с определителями.

Представим уравнения (136) в виде

ап= Р2 (mi8niai + m26n2a2 + . . . + тпЬппап).

Задавшись произвольной системой амплитуд (fli)o, {0.2) 0, ...» (fln)o (нулевое приближение для формы колебаний), подставим их в правые части системы (143) и вычислим выражения, входя­ щие в скобки. Пусть полученные величины будут (6 1 ) 0, (&г)о, ...» (Ьп)о- Тогда

ai = Р2 Фг)0; а2= р2 (6 2)0; . . . ап= ра (&„)„•

Эти выражения можно рассматривать как новое приближе­ ние для формы колебаний. Без ущерба можно опустить общий множитель р2, так как масштаб формы колебаний не имеет зна­

108

чения; следовательно, первое приближение для формы колеба­ ний определяется амплитудами

(ai)i = Фх)ф (0 2 ) 1 = Ф Х ... (an)i = ф Х

Подставив эти величины в правые части системы (143), ана­ логичным образом получим второе приближение и т. д. Продол­ жая этот процесс, можно (и довольно быстро) дойти до прибли­ женного повторения результатов, когда система амплитуд

в(k — 1) -м приближении будет отличаться от системы амплитуд

вk-м приближении только общим масштабом, т. е.

Этим завершается определение основной формы колебаний. Затем сразу находим и основную частоту: так как

•Фдм = Р*Фдь- ь

то для квадрата частоты получим

2 e (g*)*

(g4 - 1 ‘

Колебания автомобиля

Будем рассматривать автомобиль как систему упруго связан­ ных жестких тел 1—5 (рис. 57, а). Здесь тело 1 схематически представляет собой кузов автомобиля, а тела 2—5 — колеса, мас­ сы которых примем сосредоточенными.

Движение такой системы в процессе колебаний характери­ зуется семью координатами:

Ух — вертикальное перемещение центра тяжести ку­ зова;

Распределение масс автомобиля и жесткостей упругих связей почти симметрично относительно средней продольной плоскости, поэтому в расчетах колебаний некоторую малую асимметрию иг­ норируют. При этом общий процесс колебаний можно рассматри­

(Уб) и попарно равными перемещениями обоих передних колес (Уг = У а ) и обоих задних колес (у3 = Уъ) ;

109

Потенциальная энергия состоит из энергии деформации рессор

2 ■ !£ ? .? -+ 2 -^ - = сп (Уг— ih 4- аУв)2+ с3 (ух — Уз — Ьуо)2

и энергии сжатия шин

2 С + 2 ^ - = с (у1 + у1).

Подстановка выражения (147) в систему уравнений (146) приведет к уравнению той же структуры, что и в задачах, рас­ смотренных выше, в частности, соответственно числу степеней

свободы обнаружатся четыре значения собственной частоты ко­ лебаний.

Считая шины недеформируемыми, рассмотрим упрощенную схему продольных колебаний (рис. 58); такая система обладает двумя степенями свободы, соответствующими координатам ух и Уе. Положим в выражениях (144) и (145) уз — уз —0. Тогда со­ ответственно для кинетической и потенциальной энергии получим

п = сп {Уг + ауву + сэ (ух — Ьув)а.

111