книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Из уравнений (364) находим

__________ S e nT sin р * Т ________

/лр„ (е 2пТ — 2 епТ cos р * Т - \ - 1)

(365)

S e nT ^ епТ — cos р*Т — — sin рлТ 'j

in (е 2пТ — 2 епТ cos р * Т -f-1)

Вычислив по этим формулам х0 и ^о, можно затем воспользо­ ваться решением, данным в формуле (57а).

Особенный интерес представляют резонансные режимы, когда период импульсов Т © целое число раз больше собственного пе­ риода колебаний Г*; обозначив это число буквой г, имеем:

Т = /Т* = — .

Р*

Тогда

и по формулам (365) находим

S enT

*о = 0; Щ

пг (е пТ— 1)

При малых значениях пТ можно положить

5

епТж пТ 1, т. е. vQ=

гппТ ’

и решение принимает вид

Наибольшее значение (резонансная амплитуда) приблизи­ тельно составляет

2птпг

т. е. оказывается обратно пропорциональным коэффициенту вязкого сопротивления (как и в случае гармонического возму­ щения). Коэффициент повторности при резонансе получим, раз­ делив Хтах на амплитуду колебаний, вызванных однократным

ударомш =

В = - Р —

Р 2кпг ’

232

т. е. с увеличением г (уменьшением частоты импульсов) резонанс­ ные амплитуды убывают.

На рис. 124 показана кривая, подобная изображенной на рис. 118, но построенная с учетом сил неупругого сопротивления (для случая п : р —0,1).

Действие произвольной периодической силы. Соответствую­ щие этому случаю выкладки в принципе не отличаются от сде­ ланных на стр. 224 для более простого случая, когда нет затуха­ ния. Окончательная формула (см. [40]) несколько более сложна, чем формула (356, а), но имеет ту же структуру; для определе­ ния перемещений достаточно выполнить операции интегрирова­ ния в интервале, равном периоду изменения возмущающей силы.

Подчеркнем, что эти формулы выгодно отличаются от зави­ симостей, которые получаются при разложении возмущающей силы в ряд Фурье, так как избавляют от использования беско­ нечных (часто медленно сходящихся) рядов.

Рис. 124

Действие силы переменной частоты. Выше (см. рис. 9) был дан пример возникновения гармонической возмущающей силы при вращении неуравновешенного ротора; при этом предполага­ лось, что угловая скорость вращения постоянна. Рассмотрим ко­ лебания, развивающиеся в процессе разгона машины, когда уг­ ловая скорость постепенно увеличивается от нуля до некоторого конечного значения. Особенно важен случай, когда в процессе разгона происходит переход через резонанс. Если переход совер­ шается не очень медленно, то возникающие колебания значитель­ но отличаются от колебаний при установившемся режиме. По­ этому было бы неверным оценивать опасность перехода через резонанс по тем амплитудам, которые могут быть вычислены при расчете установившихся резонансных колебаний.

Если принять, что угловая скорость увеличивается равномер­ но, и обозначить через е угловое ускорение, то угловая скорость

составит et, а угол поворота — et2. Соответственно центробежная

сила составит m r(st) 2, где тг — 'произведение вращающейся мас­ сы на эксцентрицитет; при этом вертикальная составляющая этой силы (возмущающая сила) будет

Р (t) = mr (е/)2 sin .

2

Колебания, вызванные такой силой, можно описать при помо­ щи общего решения (358). Однако получаемый при этом интег­ рал не поддается представлению в элементарных функциях; да­ же в искусственно упрощенной задаче, когда трение отсутству­ ет, а амплитуда силы принимается постоянной во все время

разгона, решение приводит к трансцендентным функциям, назы­ ваемым интегралами Френеля. Не приводя соответствующих до­ вольно сложных выкладок, приведем в окончательном виде основные выводы, которые относятся к случаю действия силы постоянной амплитуды на систему с вязким трением:

максимальные амплитуды колебаний достигаются не в мо­ мент совпадения частоты возмущающей силы с собственной ча­ стотой системы, а несколько позже; в процессе разгона максимум амплитуды смещается в сторону больших частот, а в процессе остановки — в сторону меньших частот;

максимальные амплитуды колебаний при переходе через ре­ зонанс меньше, чем в случае установившихся резонансных ко­

234

лебаний, причем отличие тем больше, чем быстрее происходит

переход.

На рис. 125, а показано изменение силы Р, следующее закону

р/2

Р = Ро sin

причем на аргумент принято «безразмерное время» z t : р. На рис. 125, б показаны кривые колебаний, соответствующие различ­ ным скоростям разгона; за меру скорости разгона принят без­ размерный параметр е : р2. Чем больше скорость разгона, тем меньше максимум амплитуды и тем правее он расположен.

Рис. 126

На рис. 126, а даны графики, определяющие частоту ш, при которой достигаются максимальные амплитуды © случаях прямо­ го и обратного прохождения через резонанс. По оси абсцисс от­ ложены значения характерного параметра 103е :р 2; здесь же можно определить соответственное число циклов N изменения возмущающей силы, после которого наступает указанный макси­ мум (кривые относятся к случаю 2п: р = 0,05).

По графикам на рис. 126, б можно определить отношение мак­ симального динамического коэффициента pmax> достигаемого при

235

8**

переходе через резонанс, к значению рт ах> которое соответствует стационарному режиму резонансных колебаний.

Влияние произвольно заданных сил неупругого сопротивления

Рассмотрим общий случай, когда сила неупругого сопротив­ ления является некоторой нелинейной функцией скорости:

R = R(x).

Ввиду сложности точного учета влияния такой силы ограни­ чимся приближенным, но удовлетворительным по точности про­

и определим коэффициент k из условия равенства работ, произ­ веденных силами R и R% за период колебаний.

При этом придется ввести еще определенное предположение о характере колебательного процесса. При действии гармониче­ ской возмущающей силы естественно предположить, что и в об­ щем случае сил неупругого сопротивления колебательный про­ цесс описывается законом (359).

Удобнее сместить начало отсчета времени с таким расчетом,

и потребовать равенства указанных работ за полупериод

в течение которого скорость (а вместе с тем и силы R и R*) со­ храняет постоянный знак.

Тогда элементарная работа эквивалентной силы R* опреде­ лится как

Подставляя сюда выражение (366), получаем

k%х2 dt = a2o)2£*cos2 Ы dt;

соответственно этому работа силы R%за период равна

т

j R^x dt = 7i:k%a2a>. (369)

о

Аналогично должна быть представлена работа, совершаемая заданной нелинейной силой неупругого сопротивления.

Положим, что указанные операции выполнены и определен эквивалентный коэффициент k* (как правило, его величина ока­ жется зависящей от амплитуды колебания а) .

236

Влияние гистерезисных потерь

В соответствии с формулой (53) и предполагая эллиптиче­ скую форму петли гистерезиса (см. рис. 31), получим, что силы неупругого сопротивления описываются формулой

Уравнение вынужденных колебаний, вызванных возмущаю­ щей гармонической силой Р0 sin ш£, запишется так:

Это нелинейное уравнение имеет весьма простое точное ре­ шение

при надлежащем подборе величин а и у. Подставим выражение (374) в уравнение (373):

Последний член в левой части записан с одним знаком плюс, так как нужная для уравнения смена знака (при из­ менении знака скорости) здесь автоматически обеспечивается

238

РО2

Из этой формулы виден неограниченный рост амплитуд при совпадении частот со = р.

Вдали от резонанса второе слагаемое под корнем, входящим в выражение (376), мало сравнительно с первым слагаемым; это позволяет построить процесс последовательных приближений для вычислений амплитуды при любом значении п. После определе­ ния амплитуды а, по формуле (377) может быть определен фазо­ вый угол у.

При любом значении п резонансная амплитуда определяется из выражения (376) в виде

20. СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ (ОДНА СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ]

Гармоническая возмущающая сила

Основное уравнение. Рассмотрим вынужденные колебания системы с нелинейной восстанавливающей силой при действии гармонической возмущающей силы, предполагая, что неупругие сопротивления отсутствуют. Соответст­ вующее уравнение имеет стандартную

форму

in т

где F(x) — нелинейная восстанавлива­ ющая сила (рис. 127).

Уравнение (378) в замкнутой фор­ ме не решается; излагаемые ниже спо­ собы решения являются приближен­ ными.

Графическое решение. Общий ха­ рактер решения можно определить, пользуясь простым, хотя и наименее точным приемом, предполо­

жив, что колебания в рассматриваемой системе описываются за­ коном

подобно тому, как это имеет место в линейных системах. Реше-

240

ние (379) является точным только в случае, когда характеристи­ ка линейна, но в общем случае подстановка решения (379) в уравнение (378) не обращает его в тождество. Потребуем, что­ бы уравнение (378) выполнялось хотя бы в те мгновения, когда сила P(t) и отклонение х достигают максимума:

Рmax — Ро> %тах ~ &•

При этом максимальным оказывается также ускорение

Величина F(a) представляет собой максимальное значение упругой восстанавливающей силы (рис. 128, а).

Соотношение (380) следует рассматривать как уравнение для неизвестной амплитуды колебаний а. Воспользуемся графиче­ ским способом решения этого нелинейного уравнения.

В той же системе координат, в которой уже построена кри­ вая F{a), проведем прямую

соответственно заданным значениям т, Р0и со. Положим, что ча­ стота со невелика; тогда прямая пройдет достаточно полого (рис. 128, а). Очевидно, что абсцисса точки пересечения кривой и прямой удовлетворяет уравнению (380), т. е. является единст­ венным вещественным корнем этого уравнения.

Произведение тсо2 есть угловой коэффициент прямой. Поэто­ му, если рассматривать большие значения со, то прямая (281) пройдет круче; наконец, при достаточно большом значении со прямая z коснется кривой F(a) в третьем квадранте (рис. 128, б). При еще больших значениях со прямая пересечет кривую F(a) дважды в третьем квадранте (рис. 128, в). В этих случаях обна­ руживается уже не один корень уравнения: для прямой, показан-

241