книги / Моделирование на ЭВМ дефектов в металлах
..pdfгде aik — направляющие |
косинусы, переводящие базисf 1,%т, п |
|
в лабораторный базис х, |
у, |
z; р — локальная деформация любого |
рассмотренного выше |
происхождения. |
7. Эффективное поле
Расчет по вышеприведенным соотношениям не всегда дает хорошие результаты, так как в его процедуре не полностью учи тывается взаимодействие различных микрообластей между собой. Как показано в 12], подобное взаимодействие удовлетворительно отражается, если вместо напряжения aik во всех выражениях
(кроме закона Гука в (17)) использовать эффективное напряжение
|
°lk = (Jik — Pik> |
<24) |
гДе |
Pik — эффективное дальнодействующее поле. |
Оно, согласно |
[2 ], |
при отсутствии релаксационных процессов |
дислокационной |
природы может быть рассчитано с помощью простого соотношения
Рik = V “* ’ |
(25) |
где hf — постоянная; |
— деформация, обусловленная мартен |
ситной неупругостыо (см. (21)).
Из (23) и (24) вытекает повсеместная необходимость замены х.к
на х*к |
с помощью |
выражения |
|
^ ik ~ |
a p P q k iPpq |
Ppq) ~ ^ p p q k i^pq ^p^pq ) * |
(2®) |
8. Краевая задача
Для решения краевых 8адач механики материалов со свой
ствами пластичности превращения и памяти формы выписанные соотношения необходимо дополнить уравнениями равновесия для напряжений о.к (напряжения р,л не должны нм удовлетворять)
ViOife = potfft, |
(27) |
уравнением теплового баланса
v fy {T = xrf - - M i ф„, |
(28) |
С
условиями сплошности
e ksreq m t ^ f i r m = eskreq m t^ s ^ t |
(erm erm) |
(29) |
|
и краевыми требованиями для температуры, напряжений и де формаций. Здесь у,. — оператор Набла; е.кг — тензор Леви—Чи-
101
Рис. 2. Результаты расчета петель термомеханпческого гистерезиса для гппо' тетического материала.
1 — охлаждение; г — нагрев; з — охлаждение после нагрева ниже Ав; 4 — нагрев
□осле охлаждения ниже Мк. В процессе термоциклпрования постоянно действует сдви говое напряжение о1г=100 МПа.
Рис. 3. Петли полного и неполного термомеханического гистерезиса в усло виях сложного напряженного состояния для гипотетического материала при нагружении растягивающим напряжением о33= 80 МПа и сдвиговым папряжением а12= 30 МПа, постоянно действующими в процессе термоциклнроваипл.
виты; ху — коэффициент температуропроводности; с — удельная теплоемкость; р — плотность; и,. — смещение элементов среды; е?к —
упругая деформация; еТА— тепловая деформация.
9. Некоторые результаты расчета
Некоторые результаты аналитических расчетов представлены на рпс. 2—5 для гипотетических материалов, аналогичных по свой ствам никелиду титана. На рис. 2 показаны петля термомеханпчес-
Рис. 4. Сверхупругость для гипоте |
Рис. 5. Ферроупругая гнстеревпсная |
||
тического материала в условиях на |
петля для гипотетического материа |
||
гружения при 100 °С {1) и при 200 °С |
ла |
в условиях механоцнклпроваппя |
|
(2). Лп= Л /„ = 80 °С; |
Л/ь.=40 °С, |
при |
60 ®С. Л/„=55 °С, Л/к=40 °С, |
A K= i 2 0 °С. Упругая |
составляющая |
>1„=70 °С, Лк=85 °С. Цифры на кри |
|
деформации не отложена. |
вых означают последовательность на |
||
|
|
гружения. Упругие деформации не |
|
|
|
|
отложены. |
кого гистерезиса и характер «схода с нее» прн неожиданном изменении режима нагрева нли охлаждения, т. е. со стадии вос становления деформации пли ее накопления вследствие эффекта пластичности превращения. Рпс. 3 иллюстрирует характер гисте резиса в условиях сложного пагруженпя, а рис. 4 — в режиме проявления сверхупругости. Наконец, на рис. 5 показана типич ная ферроупругая петля.
Хорошо известно, что механическое поведение реальных объек тов в точности соответствует изображенному на рпс. 2—5. Отсюда можно сделать вывод о хорошей предсказательной силе развитого теоретического анализа.
ЛИТЕРАТУРА
1.Лихачев В. А., Кузьмин С. Л., Каменцева 3. П. Эффект памятп формы Л., 1987.
2.Лихачев В. А., Малинин В. Г. // Моделирование на ЭВМ дефектной струк туры кристаллов. Л., 1987. С. 112—131.
М . С. Б л а и т е р
МАШИННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ И СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ РАСТВОРОВ ВНЕДРЕНИЯ
Твердые растворы внедрения с ОЦК-решеткой на основе a-Fe, металлов V п VI группы отличаются тем, что внедренные атомы (О, N, С, Н, D) создают в них сильные искажения и существенным образом влияют на механические и физические свойства. Две группы фактов: существование упорядоченных твердых растворов и наличие дополнительных максимумов Снука в спектрах внутрен него трения — свидетельствуют о сильном взаимодействии между растворенными атомами. Такое взаимодействие при низких кон центрациях приводит к ближнему порядку, при высоких — к даль нему. Это определяет две группы задач при изучении атомной структуры твердого раствора.
В случае упорядоченных твердых растворов атомная структура определяется дифракционными методами, но однозначная расшиф ровка структур затруднена [1—3]. Использование машинного мо делирования облегчает такую расшифровку и позволяет предска зать еще не изученные структуры. Информация о ближнем по рядке в этих растворах из-за малой растворимости и слабой рас сеивающей способности легких внедренных атомов отсутствует, поэтому использование машинного моделирования является по существу единственным средством изучения ближнего порядка.
Для решения этих структурных задач минимизируется конфи гурационная свободная энергия раствора как функция вероят ностей заполнения внедренными атомами межузлпй. Поэтому для машинного моделирования достаточно знать энергии W pq (R—R')
парного взаимодействия внедренных атомов между собой и не нужно прямо учитывать взаимодействие растворенных атомов с атомами металла-растворителя (р, q — номера подрешеток меж-
узлий, R и R' — координаты атомов металла, возле которых расположены эти межузлия). Такой подход затрудняет использо вание метода молекулярной динамики, и для моделирования ис пользуются пли метод Монте-Карло [4], пли различные варианты минимизации функции многих переменных [5—7].
Информация по блпжпему порядку может быть использована для моделирования сопротпвленпя движению дислокаций в твер_
© М. С. Глантер, 1090 |
105 |
{W pg (R -R ') < 0). Однако на близких расстояниях нужно также
учитывать экранированное кулоновское отталкивание заряженных внедренных атомов. Рассчитать его строго в переходных метал лах практически невозможно, но оценочные расчеты сделаны для Н и Nb [16]. В первом приближении для октаэдрических межузлнй вводится блокировка в первой координационной сфере [2, 17],
Рис. 1. Зависимость нормированных энергий парного деформационного взаимодействия внедренных в октаэдрические межузлпя атомов в тантале от расстояния между ними (в скобках указаны номера координационных сфер).
что согласуется с известными структурами упорядоченных твер дых растворов. После блокировки 1-й координационной сферы
максимальное притяжение получается в 3-й ^г — -^)ао)*
Для ряда растворов энергии максимального притяжения приве дены в таблице.
В случае взаимодействия внедренного атома с атомом замеще
ния необходимо |
учитывать п изменение химической энергии за |
||||||
|
Энергии максимального деформированного притяжения |
|
|||||
|
|
двух |
внедренных атомов (эВ) |
|
|
||
Раство |
V |
Nb |
Та |
Сг |
Мо |
W |
«-Fe |
ренный |
|||||||
атом |
|
|
|
|
|
|
|
О |
—0.25 |
-0 .2 4 |
—0.17 |
-0 .3 3 |
—0.39 |
-0 .3 7 |
_ |
N |
—0.25 |
-0 .3 7 |
—0.22 |
-0 .3 9 |
-0 .55 |
-0 .5 6 |
-0 .31 |
С |
—0.3S |
-0 .4 6 |
-0 .3 4 |
-0 .6 0 |
—0.71 |
—0.79 |
-0 .31 |
107
счет замены в окружении октаэдрической поры атома металларастворителя на замещающий атом. В работах [15, 18] такое хими ческое взаимодействие учитывали в первых двух координацион ных сферах по теплотам образования двойных химических соеди нений металл—металлоид.
Проведенный выше анализ потенциалов парного взаимодей ствия растворенных атомов в твердых растворах внедрения по казывает, что для многих растворов они вычислены достаточно корректно, однако требуется корректировка величин в ближайших координационных сферах. Кроме того, дальнодействующий и осциллирующий характер этих потенциалов усложняет процессы моделирования.]
2. Дальний порядок
В приближении «молекулярного поля» свободная энергия твердого раствора выражается через вероятности заполнения меж-
узлпй п (р, Р):
Р. q R, R'
+ kT2 |
{я(р, R) In [и (р, R)] + [I—n(p. R)] In [1 — n (p, R)J). |
(1) |
P, |
R |
|
Нахождение атомной структуры упорядоченного твердого рас твора сводится к определению величин п (р , R), минимизирующих F. Так как взаимодействие между внедренными атомами является дальнодействующим, минимум F нужно искать при учете взаимо
действия в неограниченном пли большом (до 20) числе координа ционных сфер. Для этого использовали две группы методов: метод «статических концентрационных волн» [1, 2, 5], в котором суммирование по бесконечному числу узлов R заменяется сумми рованием по волновым векторам к в первой зоне Бриллюэна; метод градиентного спуска [6, 7]. В последнем случае учет вза имодействия в неограниченном числе координационных сфер также достигается вычислением изменения внутренней энергии в ^-пространстве.
Расчет атомной структуры упорядоченных твердых растворов внедрения в a-Fe, V, Nb, Та с использованием деформационных потенциалов взаимодействия без блокировки 1-й сферы дает сверхструктуры составов МеХ, Ме2Х, Ме4Х в случае октаэдрических межузлий [2, 5, 6, 17]. Структура упорядоченного раствора за висит от одного параметра твердого раствора на основе данного металла — фактора тетрагопальности £. Расчет методом стати ческих концентрационных волн, выполненный для интервала воз можных значений £ от —0.5 до 0, показал, что в разных интерва лах значений | получаются разные сверхструктуры. Так, в Nb
108
при —0.5 <С i <С —0.24 появляется сверхструктура с числами за полнения (в полностью упорядоченном состоянии):
п (р, R)= |
|
0, |
р — 1, 2, |
|
(2) |
|
|
1, |
р —3, |
|
|||
|
|
|
|
|
||
а при —0.24 <С i <С 0 |
|
|
||||
п (р, |
|
|
о, |
р = 1, |
|
|
R) = |
| |
1 |
1 |
|
(3) |
|
|
|
|
~2 |
+ ~2~ехР Vя (У+ 2)Ь |
Р= 2> 3* |
|
где R = |
xaL-|- уа.2 -J- za3, alf |
а2, а3 — трансляции решетки. |
||||
Вторичное упорядочение при понижении температур дает сверх |
||||||
структуру Ме2Х с числами заполнения |
||||||
п{р, |
R) = |
| |
О, |
р = 1, 2, |
|
(4) |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
— |
+ -2-exp[tn(i/ + z)], |
р = 3. |
|
Методом |
градиентного |
спуска |
были рассчитаны структуры |
втантале при £ = —0.1, —0.2, —0.3. Для состава МеХ получены те же сверхструктуры, которые дает метод статических концентра ционных волн. Для состава Ме2Х, кроме структуры (4), получены
взависимости от температуры еще две сверхструктуры, а для со става Ме4Х числа заполнения имеют вид
п(р, R ) - [ Т |
+ Т со51л<Л: + г))+ Т со5 [ т <л; + г)]> |
(5) |
[о, |
р = 2, 3 |
|
При сравнении рассчитанных сверхструктур с наблюдаемыми экспериментально методами электронной дифракции необходимо учитывать то обстоятельство, что моделирование сверхструктур заключается в минимизации свободной конфигурационной энер гии раствора путем перемещения внедренных атомов по межузлиям ОЦК-рететкп и поэтому дает сверхструктуры тоже с ОЦКрешеткой. Однако упорядочение приводит к сложным смещениям атомов металла и при их достаточной величине — к изменению тппа кристаллической решетки [19]. Ыапрпмер, при относительно небольших смещениях структура (2) становится объемно центри
рованной тетрагональной (тппа мартенсита в стали), при боль ших — переходит в решетку NaCl.
В большинстве случаев предсказанные па основе расчета сверх структуры совпадают с наблюдаемыми экспериментально. Так, С в a-Fe дает ОЦТ-сверхструктуру, прп небольших концентра циях хорошо известную в сталях как мартенсит. В Nb и Та для всех трех элементов — С, N, О — искажения достаточны для пе рехода сверхструктуры (2) в структуру типа NaCl, которую и па-
109
блюдали экспериментально для всех этих растворов [2 0 ]. Струк туру (^) получили в системах Та—О, Nb—О, Nb—N, а (5) —
в сплаве Та—О.
Таким образом, полученные в рамках модели деформацион ного взаимодействия внедренных атомов сверхструктуры внедре ния по октаэдрическим межузлпям совпадают с наблюдаемыми экспериментально, что свидетельствует об определяющей роли дальнодействующего деформационного взаимодействия в этих твердых растворах. Однако есть одно противоречие: при факторе тетрагональности —0.1 , полученном по экспериментальным
данным, фаза (2) в Та, a-Fe и Nb не должна наблюдаться, что про тиворечит экспериментальным данным. Введение описанной в раз деле 1 блокировки в 1-й координационной сфере из-за кулонов
ского отталкивания устраняет это противоречие и тем самым под тверждает необходимость такого дополнения деформационного потенциала [2 ].
3. Ближний порядок
Определение параметров ближнего порядка — задача в вы числительном плане более простая, чем дальнего, так как мини мизация конфигурационной свободной энергии (см. формулу (1 ))
проводится для небольшого числа внедренных атомов. Простейший
вариант — моделирование кластеров при Т = 0 — был |
выполнен |
в [2 1 ] путем перебора всех октаэдрических межузлий |
и выбора |
такого межузлия, помещение в которое очередного внедренного атома дает наибольшее уменьшение конфигурационной свободной энергии. Были получены плоские кластеры, параметры которых использованы в рамках квазихимической теории твердого раствора внедрения для анализа начальных стадий распада раствора.
Для Т 0 может быть использован метод Монте-Карло в ва
рианте Метрополиса [22]. Моделирование выполнено для кисло
рода |
в тантале [4]. В модельный кристалл размером 1 2 х 1 2 х |
X l2 |
ао с периодическими граничными условиями, содержащий |
3456 атомов металла и 10368 октаэдрических межузлий, случай ным образом помещали от 3 до 15 внедренных атомов, взаимодей ствующих между собой. Использовался деформационный потен циал, дополненный блокировкой взаимодействия в 1 -й сфере.
Для нахождения равновесных конфигураций случайным образом выбирали последовательно внедренные атомы и для каждого из них также случайным образом — одно из четырех ближайших межузлий. Если оно свободно, то определяли измепение гамиль тониана АЖ (Ж — первый член в формуле (1 )) для такого пере хода. Если АЖ < 0, переход реализуется. В противном случае
выбрасывали случайное число 0 < |
х < 1 и |
переход осуществляли |
тогда, когда вероятность перехода |
iy=exp |
(—АЖ/кТ) х, т. е. |
когда эту вероятность можно считать достаточной. Процесс пов торяли многократно (от 20 до 160 тысяч попыток на один внедрен-
110