Из соотношений (10-11), (10-12) и (10-14) следует:
Я)2= —# 2 i, G12= —G2I; |
кроме того, согласно (10-13) |
|А| = 1, |В| = 1. Из соотношений |
(10-9) |
и (10-10) сле |
дует также, что |
|
|
|
|
Аг1= |
В,,, |
Л12 = |
В12, |
= |
Пассивный четырехполюсник симметричен, если пары |
зажимов взаимно заменимы, т. е. если |
|
Z, = Zii=Z22; |
У8=У„ = У22. |
(10-15) |
Отсюда согласно (10-9) и (10-10) |
|
|
Ац= А22, |
Ви= В22; |
|
согласно (10-13) |
|
| G| = 1. |
|
|Н | = 1, |
|
10-3. С О Е Д И Н Е Н И Я Ч Е ТЫ Р Е Х П О Л Ю С Н И К О В
Существует пять схем соединения четырехполюсни ков:
1. Последовательное соединение (рис. 10-4):
( |
l = [ z , + z 2] r / “ I. |
( 10-16) |
L ^ВЫХ 1 |
L*BHX J |
|
|
|
|
|
Выход |
Рис. 10-4. Последовательное |
Рис. 10-5. Параллельное соеди |
соединение четырехполюсни |
нение |
четырехполюсников. |
ков. |
|
|
|
|
2. Параллельное |
соединение |
(рис. 10-5): |
|
[ / “ |
| = (Y ,+ |
Y2][ |
1. |
(10-17) |
I *вых J |
L йвых |
-1 |
|
3. Последовательно-параллельное соединение (рис.
10-6), предполагается, что i\=i'\\
Рис. 10-6. Последовательно-па |
Рис. 10-7. Параллельно-после |
раллельное соединение четы |
довательное соединение четы |
рехполюсников. |
рехполюсников. |
Рис. 10-8. Цепочечное соединение четырех полюсников.
4. Параллельно-последовательное соединение (рис. 10-7):
Г “ |
1 = 1 0 ,+ 0,1 Г |
(10-19) |
I |
|
|
» ^ ВЫХ |
J |
5. Цепочечное соединение (D H C . 10-8): |
|
Г н“ |
1 = |
А,А2 Г |
м,вх 1. |
(10-20) |
I ^вх |
j |
I |
J |
|
10-4. МАТРИЦЫ ОТДЕЛЬНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Т-образное звено (рис. |
10-9): |
|
|
|
ч; |
Z |
т |
|
|
Z.+Z |
|
|
z |
z2+z J ’ |
у — |
1 |
ГУ.(У»+У) |
YJt |
^1 + У г + У I |
К,у2 |
У2 (У,+У) |
д _рЧ-2,у |
z,+z2+ z lz2y ■* |
I |
У |
1 + Z 2y |
|
П-образное звено (рис. 10-10):
|
|
|
|
|
|
|
7 ________ }______ Г 2 , (Z. -}- Z) |
Z ,z , |
_ |
2 , + |
Z2 + Z |
[ |
Z,Z2 |
Z2 (Z ,+ Z ) и |
у = |
Г У , + У |
У 1 |
|
|
L |
у |
к2 + Н |
|
|
А— Г |
|
X+ Y*z |
z |
Л |
|
L |
+ |
У2 - f y,y,Z |
1 + |
|
У |
Идеальный трансформатор (рис. 10-11): о 1
.
V
Последовательно включенное сопротивление (рис. 10-12,а):
|
м:>1 J |
|
(10-24) |
/ , 1 ,L 2 , |
1 |
|
2 |
|
с |
7. 7„ |
1 |
г |
|
|
Г М |
3г к |
|
Рис. 10-9. Т-образ- |
Рис. 10-10. П-образ- |
ное звено. |
ное |
звено. |
|
Параллельно включенное сопротивление (рис. 10-12,6):
Соединение двух сопротивлений, одно из которых включено последовательно, а другое параллельно, опре-
1 |
2 |
/ |
г |
о- |
О |
/' __ |
h |
|
|
|
|
~2' |
о- |
г* |
а) |
б) |
-о |
Рис. |
10-11. Идеаль |
Рис. 10-12. Последовательное (а) |
ный |
трансформа |
и параллельное (б) включение со |
|
тор. |
противлений. |
|
деляет неполное П-образное или Т-образное звено (так называемое Г-образное звено). Для Г-образного звена
At = A,A .= [ ' M ' l ' l |
<1° '26) |
Присоединяя к этому звену последовательно сопро тивление, получаем Т-образное звено. Для последова тельно подсоединенного сопротивления
а для Т-образного звена
Аг= А,А2А3,
что соответствует (10-21).
10-5. НАГРУЖЕННЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
10-5,а. Характерные сопротивления. Четырехполюс ник, приведенный на рис. 10-13, замкнут на сопротив ление Z2. Учитывая направление тока, запишем:
|
|
u2 = |
— Z 2i2. |
(10-27) |
|
Входное сопротивление |
|
|
|
ZВХ1 |
|
-Дц^2 ~Ь -^12 |
(10-28) |
|
*1 |
-^21^2+^22 |
|
|
|
Пользуясь соотношениями (10-9), выразим (10-28) через элементы матрицы сопротивлений четырехполюс ника:
|
^11^2 "4" ^11^22 --^12^2 |
(10-29) |
|
■^2 "4" ^22 |
|
|
Если входное сопротивление равно сопротивлению на грузки, то при Z2=ZBXI= 2 H
* „ = Ц - [ Z 2l- Z „ + IZ(Z11 + Z22) » - 4 Z I2Z2I]. (10-30)
Для соединенных по цепочечной схеме одинаковых четырехполюсников, нагруженных на сопротивление, рав-
/ |
г |
2 |
|
L |
0 |
0 JL |
|
Z*, |
%кг |
г |
D |
п~ Т |
|
|
г9 |
Рис. 10-13. Нагружен |
Рис. 10-14. К определению |
ный четырехполюсник. |
характеристического сопро |
|
тивления четырехполюс |
|
ника. |
ное входному сопротивлению четырехполюсника, Mi/t‘i= = —uz/i2. В этом случае собственное значение матрицы
четырехполюсника, называемое повторным сопротивле нием, будет равно входному сопротивлению всей цепи.
Если четырехполюсник со стороны 1 замкнуть на сопротивление Zif а со стороны 2 подать напряжение, то входное сопротивление
Z |
|
-^22^1 ~f~ ^21 ^ |
ВХ2 |
^12^1 "Ь* -^11 |
|
|
Характеристическими сопротивлениями четырехпо люсника называются нагрузочные сопротивления ZKi и ZK% при присоединении которых к зажимам 1 и 2 соот ветственно (рис. 10-14) входные сопротивления относи тельно соответствующих зажимов удовлетворяют сле дующим равенствам:
Z
‘'к 1— ^ВХ1»7 * 7^/<2— ^ВХ2*7
Отсюда следует: |
|
|
|
|
7 |
A2lA22' |
7 |
__ 1/^12^22 • |
|
|
У л .л ,’ |
7 |
7 _AI L : |
ZK1 |
Ли . |
^ KI |
к? |
Л21 |
ZK2 |
Л22 |
Если зажимы 2 разомкнуты (холостой ход), то Z2= = оо и входное сопротивление определяется выражением
Если зажимы 2 замкнуты накоротко (короткое замы кание), то Z2=0 и входное сопротивление будет:
(10‘34)
Отсюда
== \А^i3i.x^iK.3* |
(10-35) |
Аналогично
Z%2-V ^2Х.Х^2К.8«
|
Для |
с и м м е т р и ч н о г о ч е т ы р е х п о л ю с н и к а |
|
(Лц=Л2 2 ) справедливы соотношения |
|
г . = |
= г в = |
z y z \ |
|
где |
|
(10-36) |
|
ZS= Z, |
Z2a; Zm— Z12— Z21. |
|
|
Величину Z0 называют характеристическим или вол новым сопротивлением. Два несимметричных четырех-
Рис. 10-15. Симметричное со единение несимметричных четырехполюсников.
полюсника, соединенных по схеме, приведенной на рис. 10-15, образуют симметричный четырехполюсник, поскольку характеристические сопротивления относи тельно каждой из двух кратных пар зажимов равны ZKi-
10-6. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПРОЕКЦИОННЫЕ
МАТРИЦЫ ЦЕПОЧЕЧНОЙ МАТРИЦЫ
Собственные значения матрицы А равны:
К |
т (Л. . + |
А » ± |
V (Au - A |
„ y |
+ 4AttA tt). |
(10-37) |
В |
случае |
симметричного |
четырехполюсника |
Ац = |
—А22=А, и так как |
|А| = 1, |
то |
собственные значения |
будут: |
|
|
|
|
|
|
Хи2 = А ^ \ |
/ ‘А12Аг1= А ± У А а— 1 = |
_ |
e±g _ е± (а+1Ь) |
где А = ch g и ■)/Л2 — 1 = s h gf. Проекционные матрицы:
А “ |
( |
р |
__ A Х]1 |
Р . = X,—Хг |
’ |
2 |
х8- х , ' |
Проекционные матрицы симметричного пассивного четы рехполюсника:
Цепочечную матрицу симметричного четырехполюс ника на основании (10-38) и (10-40) можно выразить с помощью параметра g :
chg |
20shg |
А = 1 |
(10-41) |
7 sh t |
chg |
Коэффициентами передачи (зависимыми от частоты) симметричного четырехполюсника (при нагрузочном со противлении, равном характеристическому) являются собственные значения цепочечной матрицы. Так, коэф фициент передачи напряжения
(10-42)
а коэффициент передачи тока
е~*.
Результирующая матрица Аг для п одинаковых че тырехполюсников, включенных по цепочечной схеме, на основании выражения (10-20) с учетом свойства кано нической формы матрицы запишется в виде
Аг = А” = А" Р, -f- Р2-
На основании выражений (10-38) и (10-40) получаем:
cling |
Z.shng" |
А "= 1 |
(10-43) |
■ y - s h n g |
ch ng |
Коэффициенты передачи несимметричного четырех полюсника определяются при нагрузке, соответствующей характеристическому сопротивлению:
Ги |
{ / А Ж - / А Ж - 0- (10-44) |
Введем следующее обозначение:
chg = V А,Ж >
тогда, учтя выражение (10-32), получим:
Аналогично
10-7. ПОСТОЯННАЯ ПЕРЕДАЧИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Для симметричного четырехполюсника согласно (10-38) постоянная передачи определяется выражением
|
g = a-\-}b = In «а| + / (8i — 82)> |
(10-46) |
где 8 i и 6 2 — фазовые углы напряжений |
щ и и,г. |
Для |
четырехполюсника без потерь |
в |
соответствии |
с (10-9) |
коэффициенты А = Ли=Л22 — действительные |
числа, поэтому согласно (10-38) необходимо удовлетво рить следующим уравнениям:
|
|
|
ch a cos b= A; sh a sin 6 |
= 0. |
|
(10-47) |
Эту систему уравнений можно удовлетворить, если: |
а) а = |
0 |
; —1 |
< Л < 1 ; |
в этом случае sha = |
0 , c h a = l |
и cos b= А. |
|
1; тогда |
sin b ■= |
0 ; cos b= |
1 и |
ch a |
б) |
6 = |
0; А > |
в) |
Ь= |
|
А <[ — 1; |
тогда |
sin 6 = 0 |
; |
cos 6 |
= — |
cha = |
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
LS |
|
|
|
! |
|
IIcs |
|
|
|
|
|
1 |
л |
|
|
II |
Г |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
y L S |
|
Z |
J |
X |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10-16. |
|
Рис. |
10-17. |
|
Отсюда ясно, что на симметричном четырехполюс |
нике |
без |
потерь |
напряжение |
не |
уменьшается, если |
| Л | ^ 1 , и значительно уменьшается, |
если |
| Л | > 1 . |
Граничной частотой называется такая частота, при которой в случае нагрузки на характеристическое сопро тивление не происходит уменьшение напряжения.
10-7,а. Примеры. 1 ) Исследуем И-образное звено без потерь, показанное на рис. 10-16. Из выражения (10-22) получим:
А = 1 -|— LCs2*
Подставим s = ja>, тогда |
|
А = 1 — ^-ЬСш2. |
|
Граничная частота |
|
(А = — 1). |
(10-48) |
f l £ |
|
2) Исследуем П-образное звено без потерь, показан ное на рис. 10-17. Из выражения (10-22) получим:
|
А = !■' |
12 |
|
|
|
|
2LCs2 - |
|
Подставим s = |
/(о, тогда |
|
|
|
|
А = |
2LCco2 |
|
|
|
|
Граничная |
частота |
|
|
|
|
2 ^LC |
|
И = - 1 ) . |
(10-49) |
|
|
|
|
3) Исследуем один элемент обмотки идеальног трансформатора, показанный на рис. 10-18. Последова-
LS
р |
|
р |
-Р |
2 |
в |
г |
! |
4 1 |
- : |
Г5 |
" |
|
|
г |
т |
|
Т ** о0 |
|
|
Рис. |
|
10-18. |
Эле- |
|
Рис. 10-19. |
мент |
модели |
об- |
|
|
мотки |
трансфор- |
|
|
|
матора. |
|
|
|
тельно включенное реактивное сопротивление (состоя щее из индуктивности L, емкости с) запишется в виде
^Ls
1 + Lcs*
Подставив s= jсо, получим |
выражение |
для |
граничных |
частот: |
|
|
|
VL (С + |
[ = |
0. |
(10-50) |
4с) ’ |
|
|
4) Рассчитаем волновое сопротивление линии элек тропередачи с потерями, состоящей из последовательно соединенных П-образных звеньев, одно из которых по казано на рис. 10-19 (см. § 11-1).
На основании выражений (10-36) и (10-38) получим:
chg = l + - f Cs(R + Ls);
R -f- Ls |
(10-51) |
|
Cs + -i-C V (/? + Z,s) |
|
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ |
|
ЦЕПОЧЕЧНЫЕ СХЕМЫ |
|
11-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Индуктивности и емкости элементов системы (машин, трансформаторов, линий) при исследовании процессов, протекающих при промышленной частоте, обычно объ единяют в одно звено. Только для линий большой про тяженности (воздушные линии более 100—200 км, кабе ли более 10—20 км) необходимо производить деление на участки. Для исследования процессов, протекающих при частотах, на порядок величин больших, чем про мышленная частота, элементы системы обычно также необходимо делить на некоторое число участков, токи в которых не будут одинаковыми. Например, при рас пространении волны перенапряжения по обмотке транс форматора токи в разных точках обмотки будут различ ны. Распределение напряжения также не будет линей ным, как следовало бы ожидать в случае идеальной ин дуктивности. Поэтому для исследования коммутацион ных и атмосферных перенапряжений необходимо вы брать более подробную модель, полнее отображающую физическую картину.
Для исследования перенапряжений пригодна модель, приведенная на рис. 11-1, в которой элемент системы разделен на п равных участков. В соответствии с физи кой процессов между отдельными участками возможно индуктивное взаимодействие или непосредственная емкостная связь, как это имеет место внутри обмотки трансформатора. Эти связи учитывает модель, приве денная на рис. 11-2. Характерным для обеих моделей
