книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfпишется следующим образом: |
|
|
|
|||
I |
_а_ |
|
|
1 |
ъи_ |
2 |
Г |
«(«■» с,л?) — |
( 1 + ей) |
Ъф |
—— Ф, |
||
Э* |
|
|
I |
Г |
||
|
|
|
|
|
|
(4.42) |
« ? - 7 * Л |
М |
Л < ч>*1, | $ - | . |
ц . Ь - . |
^ . |
(4.43) |
|
Эффективный радиус какала Ь определим формулой |
|
|
||||
1 |
] |
2п |
] |
|
|
(4.44) |
- |
= ------ |
/ |
— |
|
|
Ь2тг о 1С
где (с - расстояние от точки С (рис. 2.15) до поверхности стержня в на правлении а л плоскости селении. Граничные условия (4.40) с учетом обозначений (4.41) перепишем следующим образом:
V = 0 на дуге А'ЛГ, |
|
(4.45) |
|
Ы/ |
= 0 ия отрезках |
КС и йМ, |
(4.46) |
------ |
|||
Ъу |
|
|
|
ъ а |
1 ъи |
на отрезке СО. |
|
------сот \р = ----------5т^> |
(4.47) |
||
|
Б д* |
|
|
Дифференциальное уравнение (4.42) будем аппроксимировать конечно-
разностным уравнением. Для лучшего описания поля скорости в пристен ном слое ячейки введем и*равномерную сетку со сгущением координатных линии у поверхности стержня. Маелпабм турбулентности I и /.* вычисля ются в соответствии с формулами (4.44) и (2.1) по квадратурным форму лам Гаусса |70]
(■' = (■■= [ т - |
0 ) с е - |
= |
(4.4») |
где (*(^) - радмальиан |
координата |
гранним СО. Для |
эффективного |
Рис 2.16. Расчетные профили средне!) скоро?™ в треугольная решетке и зави симости от Ф:
Л 2 ,1 4 . 3 ,6 - А = I,
1.7$. 3.0 соответственно
81
Рис. 2.17. а) Сопоставленкс
расчетных профилей Ц 0ячей к а решетки и о круглой тру* бс при фиксированных значе ниях * = 200 (/), 1000 (2), 25000 ( Л соответственно. 5) Расчетный относительный коэффициент сопротивления X. - $ /1тр ° -ичелках трсутоль» ной решетки стержнеП при различных числах Яе <{-1р _
коэффициент сопротивления для круглой трубы):
2. 2 — Я« = юч, то*,
10е соответственно
радиуса ячейки А используем формулу (см. § 1.5)
Ь = * |
Р |
- 1 |
(4.49) |
|
з 1 |
+ (Ч Ь Ж № г) |
|||
|
||||
2 |
Н, |
2 |
со^от/л |
|
— |
Щ к) = / |
*/\ - * 381П*Л 5-(—О* |
||
Ь = — |
А, |
|
||
у/3 |
|
® |
Были проведены расчеты палей скорости в ячейках треугольной решетки стержней при различных значениях к и Ф. Результаты расчета средних ско ростей в решетках с шагом А = 1,0 * 2,0 представлены на рис. 2.16 II 2.17. Из рис. 2.17 видно, что в гидравлическом отношении наиболее близкими х трубе являются решетки с шагом А - 1,3 -г ],4. На рис. 2.18 представ лены вычисленные для ячеек значения коэффициента сопротивления
С
№ |
|
|
|
|
4 6 8№ 4 |
2 |
4 |
Г ? П5 |
2 Кв |
Рис, 2.18. Коэффициент сопротивления Г о треугольной решетке стержнеЛ; |
||||
I, 2, 3 - рм яетд/и ячеек с Ы = |
1,0, 1.1, 1,2; |
4 —экспериментальные данные [41| |
||
аы кучка стержней е й - 1,0} 3, б - |
>х<п*рнК(слталы1ьк данные [Т1| длч пучков |
|||
ей = 1,0 ■ Н * 1,15 |
|
|
|
|
82
Иэ сопоставление результатов расчета и экспериментов следует, что с точ ностью до погрешностей последних результаты расюта коэффициентов сопротивления хорошо подтверждаются опытными данными. На рис, 2-19 и 2.20 приведены расчетные профили касательных напряжении по пери метру стержня и решетках с шагом Л = 1.0к 1,05. Вычисленные профили касательных напряжений в решетках плотноулакованных стержней хорошо согласуются с экспериментом. Таким образом, использование при расчете полей скорости в решетках, стержней анизотропной модели турбулентного обмена приводит к хорошему согласию результатов расчета с экспери ментом как по средней скорости, так н по профилю касательного напряже ния но периметру стержня.
Рассмотрим стационарное поле температуры в сечении ячейки (включая и стержень) при постоянном тепловыделении ко сечению стержня. В этом случае уравнение теплопроводности внутри стержня в используемой нами цилиндрической системе координат имеет вид
|
] |
д / |
Э г \ |
|
1 |
д / |
Ы \ |
|
||
|
т^Ьтг)*7 |
ъ{к- ^ ) ' е=0' |
(4.51) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Хе - |
теплопроводность стержня; 0 тепловыделение в единице объема |
|||||||||
Рис. 2.20. Профили касатель |
|
|
|
|||||||
ного |
напряжения |
из поверх |
|
|
|
|||||
ности |
стержня |
в |
решетке |
с |
|
|
|
|||
й |
= 1,05: |
3 — расчет при 4» = |
|
|
|
|||||
|
/, |
2. |
|
|
|
|||||
= |
300. |
ЮОО. |
5000 |
(Ко |
= |
|
|
|
||
= 4*45-10’ , 2,97-104, 1, 8-10* |
|
|
|
|||||||
соответственно); |
4 - |
экспе |
|
|
|
|||||
риментОпиые |
данные |
[ 4 1 ] |
|
|
|
(Во = 0,61-10*)
63
стержня. Уравнение переноса теплоты в турбулентном потоке жидкости запишется в виде
а* |
I |
А |
|
и |
| |
I Г |
и I 3 / |
с р * — |
г(К« + сре, ( ) — |
| |
* - | ( Х ж + с р е „ ) - — |
||||
Ъг |
г |
Эг |
| |
|
|
|
|
где с - теплоемкость» Хж = ерк и среЦ |
|
— коэффициенты |
молекулярной |
и турбулентной теплопроводности жидкости соотвотстиенио. На границах
0 С ,0 0 к С О |
(см. рис. 2.15) выполняются условия |
|
||
ал |
|
|
|
(4.53) |
|
|
( у поверхности стержня имеют вид |
|
|
У ровня для температуры |
|
|||
м = ° , |
[ х |
~ ] |
= « . |
(4.54) |
причем символ [Л |
означает разрыв ф ункции/на границе раздела. |
|
Для коэффициентов турбулентной температуропроводности еЦ примем локальную аппроксимацию (3.5). Для исключения из уравнения (4.52) производной Ъ1/Ъг используем уравнение баланса, являющееся результа
том интегрирования уравнений (4.51) и (4.52) с учетом |
(4.53), (4.54) |
|
по всему сечению ячейки: |
|
|
с /ш |
= 0Т,. |
(4.55) |
|
Ъг |
|
Здесь *, - площадь сектора ОКМ в сечении стержня,®, - площадь оБластп
КС&М в сечения потока жидкости (см. рнс. 2.15)» тТ - средняя скорость течения жидкости в ячейке. Кроме того, перейдем к безразмерным велнчп им
*ж (^~ ^о) |
и = — , |
До, |
0Й 1 |
— >(4.56) |
|
|
V |
тле /о ~ температура в центре течения ячейки (в точке С), Ь - эфф екте*
ным радиус |
канала, |
о. — масштаб |
скорости. С учетом (4-55) и |
(4.56) |
||
исходные уравнения |
(4.51)» |
(4.52) |
и граничные |
условия (4.53), |
(4.54) |
|
перепишутся следующим образом: |
|
|
|
|||
{ »* V |
Э |/ |
* |
* * ) |
= - I при |
* < 1, |
(457) |
|
|
|
|
|
|
+ |
* 1 _ |
А |
* |
ц |
I \ |
к / а н |
с |
ъ* |
ЛР« |
< > |
I. |
|
|
|
ая |
|
= 0 |
на отрезках КС и ОМ, |
||
— |
|
||||
Ъ^р |
|
|
|
|
|
гв |
|
|
| о<? |
|
|
— |
Сол* ----------- 51шр на отрезке С Д |
||||
34 |
|
|
% Ъ*р |
|
|
н
хг й
(4.58)
(4.59)
Результаты |
расчета |
величин |
|
- 0^ |
|
|
Таблица 2.4 |
|
|
№ |
в ячейке |
реш етки |
с А = 1,0, |
||||
Рг = 0,825 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
{/ |
Яе^РВ |
Асг/Аж |
дСС |
йст |
Ни |
||
|
|
|
|
|
|
“ щ и " вго1п |
|
|
40 |
5,85 |
4,7 -10’ |
|
0,2 |
0.670 |
0.613 |
||
|
|
1.17 |
10 |
|
1.0 |
0,210 |
1,22 |
|
|
|
|
|
|
5,0 |
0.0524 |
2.05 |
|
|
|
|
|
|
15,0 |
0.0201 |
2.40 |
|
200 |
11*8 |
4,7 -10’ |
|
0.2 |
0.637 |
0.716 |
||
|
|
1,18- 10* |
|
1.0 |
01204 |
1,46 |
||
|
|
|
|
|
5.0 |
010506 |
2,59 |
|
|
|
|
|
|
15.0 |
0,018$ |
3.10 |
|
1 ООО |
|
3.01104 |
|
0.2 |
0,458 |
1,23 |
||
|
|
7,58- |
10* |
|
1,0 |
0.163 |
2,31 |
|
|
|
|
|
|
5.0 |
О10П6 |
4,57 |
|
|
|
|
|
|
15.0 |
0.0150 |
5,88 |
|
5000 |
18.2 |
1,80- 10* |
|
0,2 |
0.201 |
3,55 |
||
|
|
4.55 • 10* |
|
1.0 |
0.100 |
4,07 |
||
|
|
|
|
|
5.0 |
О.ОЭ24 |
9,55 |
|
|
|
|
|
|
15,0 |
0,0125 |
13,9 |
|
25000 |
20,7 |
1.04 |
10* |
|
0.2 |
0,0422 |
14.7 |
|
|
|
2,6 - Ю4 |
|
1,0 |
0,0354 |
16,1 |
||
|
|
|
|
|
5,0 |
0.0196 |
22,8 |
|
|
|
|
|
|
15,0 |
0.009ЭЭ |
34.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Го&цца 2,5 |
Результаты |
расчета |
величин |
Оршс |
и N4 |
а ячейке |
решетки -с Л = 1,06, |
||
Ь = 0,025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4> |
а |
«е/р* |
АогУАаг |
я ст |
я ет |
Ни |
||
"т а к ” у т |
1л |
|||||||
40 |
5.43 |
4,32 |
10* |
0.58 |
0,1565 |
|
2,85 |
|
200 |
11.22 |
1,09 |
Ю |
14.1 |
0.0140 |
|
4.41 |
|
4,5 • 10* |
0,58 |
0.1188 |
|
4,48 |
||||
1 ООО |
|
1.12 - 10* |
14.1 |
0.00982 |
|
6,69 |
||
15.29 |
3,1 • 10* |
0.58 |
0.07121 |
|
8.59 |
|||
|
|
7.64 • 10* |
14.1 |
0,00716 |
|
12,1 |
||
5000 |
17,93 |
1.8 - 10* |
0,5В |
0,0250 |
|
25,5 |
||
|
|
4,48 • 10* |
14.1 |
0.00497 |
|
32.5 |
||
25000 |
21,72 |
1,1 • 10* |
0,58 |
0,00557 |
|
92,5 |
||
|
|
2,72- Ю4 |
14.1 |
0.00274 |
|
101 |
85
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 |
Результаты |
расчета |
величин |
к |
Ми |
д |
ячей ках |
реш ет кн с И = 1 ,1 . |
|||
Рг = 0,015 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
и |
Ке/Ие |
*ст/*ж |
Л«г |
Йсг |
Ии |
|||
|
*»пвх - и |л |
1п |
||||||||
40 |
5.67 |
4.5- |
10’ |
0.2 |
|
0.14м |
|
4.01 |
||
|
|
|
1.13 |
10 |
1.0 |
|
0.0706 |
|
4,63 |
|
|
|
|
|
|
5.0 |
|
0.024 7 |
|
5.27 |
|
|
|
|
|
|
15.0 |
|
0,0105 |
|
5.47 |
|
200 |
11.8 |
4,7 • Ю1 |
0,2 |
|
0,104 |
|
6.44 |
|||
|
|
|
1,1а • 10* |
1.0 |
|
0,055 В |
|
7.31 |
||
|
|
|
|
|
5,0 |
|
0.0171 |
|
7.98 |
|
|
|
|
|
|
15.0 |
|
0.0066 |
|
8,26 |
|
1000 |
15.7 |
3,1 • 10* |
0,2 |
|
0.0499 |
|
12,5 |
|||
|
|
|
7.85 • 101 |
1,0 |
|
0,0316 |
|
13,3 |
||
|
19.2 |
|
|
$.0 |
|
0.0113 |
|
14.4 |
||
5000 |
1.9 |
10* |
0.2 |
|
|
0,212 |
|
35.2 |
||
|
|
|
4.8 |
10* |
1.0 |
|
|
0.0106 |
|
35.7 |
|
|
|
|
|
5.0 |
|
0,1)0582 |
36,8 |
||
|
|
|
|
|
15,0 |
|
|
0.00276 |
|
|
25000 |
22.9 |
1.15 • 10* |
0.2 |
|
|
0.00206 |
|
120 |
||
|
|
|
2.9 |
10е |
ко |
|
|
0,00196 |
|
121 |
|
|
|
|
|
5.0 |
|
|
0.00158 |
|
121 |
|
|
|
|
|
15,0 |
|
|
0.00108 |
|
122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Та&шца 2.7 |
Результаты |
расчета |
величии <?таж ~ ®т1л ■ |
Ми |
0 |
ячейках |
решено! с А = 1,2, |
||||
Гг = 0,025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Ке/Р« |
|
л ст |
я ст |
|
|||
|
|
|
|
|
|
■ |
" '« - * т |
1л |
|
|
40 |
|
5.85 |
4,7 - М 1 |
0,2 |
|
0.0543 |
|
Т.65 |
||
|
|
|
1.1710 |
1.0 |
|
0,031 В |
|
7.66 |
||
|
|
|
|
|
5.0 |
|
0.0118 |
|
8,07 |
|
200 |
|
12.6 |
5,02 • 10» |
0.2 |
|
0,0338 |
|
10.3 |
||
|
|
|
1,26’ 10* |
1.0 |
|
0,0200 |
|
10,4 |
||
|
|
|
|
|
5,0 |
|
0.00659 |
|
10.5 |
|
1000 |
|
17,1 |
3,4 • 10* |
0.2 |
|
0.0168 |
|
16.8 |
||
|
|
|
8.55 • 10* |
КО |
|
0.0116 |
|
17.0 |
||
|
|
|
|
|
5.0 |
|
0,00459 |
|
17.1 |
|
5000 |
|
20.6 |
2,06 • 10* |
0.2 |
|
0.00359 |
|
42.2 |
||
|
|
|
5.15 ■10» |
1.0 |
|
0.00306 |
|
42,9 |
||
|
|
|
|
|
5.0 |
|
0,00175 |
|
43.2 |
|
25000 |
|
23,6 |
1.18 * 10* |
0.2 |
|
0.00106 |
|
138 |
||
|
|
|
2.95 • 10* |
1.0 |
|
0.00101 |
|
139 |
||
|
|
|
|
|
5,0 |
|
0.00080 |
|
139 |
К
причем |
|
|
|
|
|
Э V I |
|
V |
Р |
Эп' I |
(4.60) |
|
|||
Из анализа уравнений |
<4.57) -(4 .60) следует, что решение для беэрммер- |
||
ион |
температуры 0 в |
ячейке решетки определяется пара метра мн Ф. Рг, е |
и шагам решетки Л. Уравнения (4.57), (4.58) решаются канечпораэност* ным методом. Соответствующая, система линейных уравнений вместе с граничными условиями решается каким-либо итерационным методом. Опыт решения задач Неймана показал, что систему конечно разностных уравнений лучше решать без закрепления функции Од в какой-либо точке. Необходимо лишь через определенное числоитераций из ноля 01к вычи тать среднее значение этой функции но всей области. Заметим, чю функ цию 0 можно записать также в виде
М Г - У в ) |
(4.61) |
|
|
2<1& |
|
|
|
|
где Ц |
среднее по периметру стержня значение теплового потока. Число |
|
Нуссепьи |
1Ми, традиционно используемое для оценки соотпоше1гия между |
|
тепловым |
потоком на стенке канала и перепадом температуры стелка - |
|
жидкость, связано с безразмерной температурой 6 соотношением |
|
|
N0 |
2Ы/ |
(4 .6 2 ) |
|
где 4 , л 0Ж средние значения безразмерной температуры 0 на поверх* пости стержня и в потоке жидкости соответственно, Ь - эффективный радиус канала (см. (4.49)) ,р = Ь[К. В табл. 2 4-2-7 и на рис. 2.21-2.23 приведены рассчитанные зависимости числа Ми н максимальной нсравно-
Рис. 2,21. Расчетная зависимость чисел Миот числа Кс дли пьюков жидких металлов с Рг е 0.025 о пучках стержней, с = | ;
/. 2. 3, 4, 5. 6. 7 -результатырасчета мля И = |
т.о. 1,05, 1,1, 1 ,2, 1,5,1 ,75, а,«шот- |
|
■ дчлтл111|| |
* |
* |
87
Рис. 2.22. |
графики функции |
мерности |
температуры |
по периметру стержня |
в случае течения |
жидких |
металлов |
в решетках с шагом й - 1,0 +■ 1,2. На рис. 2.21-2.23 прсдставлс- |
|||
лы зависимости чисел |
Ми и неравномерности |
температуры 0 " * |
- 0 ” 1п |
от числа Ке в случае течения жидкого металла с Рт = 0.025 в лучках стерж ней с А = 1,0 т 2,0 при: е = 1. Данные для Ми при А > 1,4 получены методом
эквивалентного кольца* На |
рис. |
2.23,а |
нрсдстаилена |
зависимость нерав |
номерности температуры |
- |
0 ^ |
о* параметра |
7\сг А * ДЛЯ ячейки |
решетки с шагом А = 1,0 при фиксированных значениях динамического параметра Ф (числа Ке). На рис. 2.23, 6 показана зависимость от параметра
\ СГ/ЛЖ перепада температур 0<ж - 0Ж |
для |
тон же ячейки. На рис. 2.24— |
|
2.27 рассчитанные С я * - |
и числа |
^ |
для ячеек с шагом А = 1,0-г 1,1 |
оопоогввлены с имеющимися |
экспериментальными данными. В случае |
Н = 1 результаты расчега неравномерности температуры по периметру стержкл, полученные с использованием модели турбулентного обмена 17], хорошо согласуются с экспериментальными данными [72, 73). В случае же
и
Рис. 2.24. Неравномерность температуры по пери* метру стержня в. треугольноЛ решетке нпотно упакованных стержней:
Л 7. 5. 4 - А-еДтя = 0Д7. 0.68. 1.6». 6.35 соответственно; штриховые линии - эксперимент глпьнме ленные ( 731
±
<ч.
■ X
V
к
N .
4 *
Рис. |
2.25. Зависимость чисел Ыи |
от числа |
Кс |
для потоков с Рт *■0.025 в решетке |
с Л |
= 1,0 при е - 0.27 (У). 0,68 |
(2 ), 16,0 |
(5); |
4 , 5 , 6 - экспериментальные данные |
1.1 [72,671
Ни
с / Г м м . 3авиа,м ост ч,,осл Ми ог ч,,сла Йв АЛЯ потоком с П - 0.025 в решетке
1 , 2 -Ш =8,58,14,1, Л 4 - экспериментальные двинь» [72, 671
Зависимость неравномерное» температуры 6тях - в„,|а |
от Яе в решена |
|
СА = 1,1, Рг = 0.025: |
г |
|
* ~ |
|,6,в 1^*-гЬ (*'» 2*) ~ результаты расчета в по ||эо-тро|июАи аниэо- |
|
троив* моделям соответственно; л. я —зкоиришиияыил»^«ми^ |
|67,ТЗ| |
А =1,1 (рис. 2 .2 5 ) анизотропная модель турбулелпюго обмена существенно исправляет результаты расчета неравномерности температуры 0^Т|Щ - 0**п при больших числах Ке по сравнению с моделью, турбулентного обмена в первоначальном варианте. При Ке > 1000 ошибка расчета уменьшается наполовину. Оставшееся расхождение, по-вндимому, связано с межканаль ным массообменом* обусловленным различными технологическими факто рами. Заметим здесь, что анизотропия коэффициентов турбулентного
переноса теплоты еЦ, вычисляемых но формуле (3.5), для ячейки решетки с шагам /г = 1.0 в пристенной области составляет примерно 2,5, а дня решет к и с А " 1,1 по всему сечению ячейки б л и зк а к 2 ,6 .
§2.5. Уточнение трехмерной модели турбулентаого -обмена
Сиспользованием модели турбулентного переноса в улучшенном вариан те ("анизотропной модели") были получены установившиеся доля ско рости н температуры в прямолинейных каналах различных форм: в круг* лой трубе, в кольцевых и плоских зазорах, в каналах с прямоугольным сечением и в ячейках решеток стержней - путем решения исходных урав
нений движения н уравнения притока теплоты дня турбулентных течений. Результаты расчетов полей скорости и температуры во всех указанных каналах в целом хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Недостаточное согласие отмечается но абсолютным значениям среднеквадратичных пульсаций скорости (во всех рассмотренных каналах) и по неравномерности температуры на поверхности тепловыделяющего стержня в решетке с относительным шагом А = 1Д прн больших числах Ке. В частности, вычисленные среднеквадратичные пульсации в потоках жид кости получаются завышенными примерно на 50 -=■80 %.
2,5.1. Корректировка весовой функции. Завышенные значения среднеквадратна их пульсаций скорости могут быть связаны прежде всего с завы
шением |
эмпирического коэффициента |
входящего в формулу (1-2), |
а затем |
в (1.7). Значение д тесно связало |
с выбором весовой функции |
90