книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfу»(М. Л/<>) (1.Ю ), содержащей длину пробега моля А ~ а1,0. Согласно фор муле (1.14) эмнирические коэфф1гциенты Д и а связаны соотношением
Д ^ |
- 0 , . 1 . |
(5.1) |
я |
3 |
|
При желании уменьшить ц следует увеличить а . В принятой же формуле для ф 1 , Д/о) нельзя брать а > 0,42, так как при этом область интегриро вания в (1.7) -(1 .9 ) сильно выходила бь| за пределы потока, т.е. функция у(М, М0) становилась бы существенно нснормпровашюй. Чтобы получить возможность уменьшить д, изменим структуру весовой функции у (см. [74]). Прежде всего будем считать, что турбулентный обмен представляет собой процесс смешения масс жидкости внутри неупорядоченно возникаю* 1Ш1Х и быстро исчезающих вихревых возмущении с поперечным размером ЦМъ). Поэтому у должна бьиь отличной от нуля лишь в пределах сфери ческой облает» с поперечным размером порядка двух длил пробега моля в окрестности точки М$. Кроме того, весовой функции не обязательно иметь особенность вида х~3 в точке АТ*, так как моли, а отличие от моле кул или нейтронов, имеют большие поперечные размеры. С учеюм при веденных. замечаний введем простую функцию
= - А - |
( | - т М |
. |
(5.2) |
\ |
^5 0 |
/ |
|
где \,о - величина порядка двух характерных длин пробега мопн в направ лении ^ в окрестности точки Л/0 . Условию нормировки эта функция удов летворяет. Запишем теперь формулу, аналогичную (1.8) :
=д/Г|Тр(Л /,4Гв)С051(1,ХГ)</т =
о
=д / /'^51у>созай $'твйм1<р<10 =
I)
2*1 А,о |
13( » - 1 Ы ) * * 1 . |
(5.3) |
где ь = к г - |
1*п> 1)Д/о. Я/ ~ А/0Ри, |
|
10, |
если у , < со, |
(5.4) |
|
|
=I ЭУ I
Ц Т “ |
/о(< ?г1Ы )/|(< М Ы ). если 7 . > со, |
оп |
I |
остальЕшс обоэпачения те же, что и в (1-14). Если в в е с т нормированную весовую функцию
< ? « ) - Ю Н 13( 1 - Ш ) |
(5.5) |
и полагать Хга = 0& ~ чскоторан констаща), то полученную формулу можно перетесать в виде
« « (" •> = 7 |
М А 10 /# )С « ,)< П ,. |
(5.6) |
5 |
- I |
|
91
Формула вида (1.11) для нормальных напряжений с учетом (5.2) запишется следующим образом;
31г(«.) |
|
Д4 |
1 ~ |
|
( Ы </{,. |
(5,7] |
» — / |
Я, ( Ш |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
0. если |
г . |
< |
<о, |
|
Й К г) |
|
Ц | " ^ |
- | |
/о («?г I Е/1)» если у* > |
(5-8) |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
* « > - < Ч 6 |» ( 1 - Ш ) . |
|
|
||||
Формула для |
суметом (5,2) будет отличаться от (5.6) лишь аргументом |
|||||
функции |
: |
|
|
|
|
|
« " ( « . ) |
= |
^ М * ,о _ /Я ,< М С < * (М Ь . |
(5.9 ) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
О, если |
7 # |
< |
и , |
(5.10) |
- |
|
ЬГ |
|
|
|
|
|
|/ о ( « г и ( 0 Л ( Н 1 ? ( 1 ) . с а ,“ т . > «• |
|||||
|
|
|
||||
Согласно |
эмпирическим данным для коэффициента |
в к р у т о н трубе, |
||||
следует принять |
|
|
|
|
||
- ^ 4 = |
0,18. |
|
|
|
(5.11) |
Теперь уже можно значение коэффициента д существенно уменьшить но сравнению с принятым ранее. Вели принять
э| |
= 0,72, |
д = 1,25, |
|
|
|
|
(5.12) |
то формула (5.5) дает весовую функцию С({), |
близкую к использованной |
||||||
в (1.11 )-(1 .1 Э ). Введение |
в модель новой |
весовой |
функции |
повлекло |
|||
за собой и изменение эмпирических коэффициентов |
к Ь2.которые были |
||||||
отработаны в |
результате сопоставления |
полей скорости и температуры |
|||||
с экспериментом. Бьшн приняты значения |
|
|
|
|
|||
д |
= 1,25, |
I] ■ 0,72, |
V *'' |
|
|
6,24, |
(5-13) |
С| |
= 0,18. |
= П Щ |
Ч , ♦>! |
104. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
ДЧ Вариации параметра со от О до 25 на расчете поля скорости не сказываются.
На рис. 2.28 л 2.29 показаны профили коэффициента е\\ к среднеквад. ратнчной пульсации скорости И] в уогаковнишемся потоке в круглом трубе с использованием в модели турбулентного обмена формул (5.6) и (5.7) с уче
том (5.12). Профили коэффициента |
в канале при различных значениях |
||
( |
ло. |
а 1др\ |
\ |
|
о |
- радиус трубы) полу- |
|
|
|
92
Рис 2.28. (^счетные профили радиального коэффициентатурбулентной вязкости |
е” |
|
в круглой трубе |
= I -г/а}\ |
|
Ф/Ке = 200/6 • |
10* ( / ) . 1000/3,8•• 10* (2). $000/2,3 • 10* (3 ), 10 000/5 • 10* |
(4 ]; |
ш триховая кривая - данные [ 18]
РиС 2.29. Расчетные радиальные среднеквадратичные пульсации в потоке в круглой труОс ( у = I -г[д)\
1 - Ф = |
3200 (К * = 1 .5 > 1 0 ')с р (М .М о> и » гл . I ; 2.3 - Ф=ЗЮ 0 (И« = 1,5- 10*> и |
|
200 (Не |
= |
6- 10*} с &М. АГ6> по (2 .2 ); 4 - экспериментальные данные [22 | при |
Ке = 5 • |
10* |
|
чнлисьтакими же, как к ранее. Кривая 4 на этом рисунке (для Ке= 5 • 10*) находител нс только в качественном, но н в удовлетворительном количест венном согласии с опытными данными Лауфера и Нуниера [29,30]. Рассчи танные же кривые для 0)/о, снизились примерно на 50%, что существенно приблизило их к соответствую т1М экспериментальным кривым. Остался только завышенным наклон кривых для о ,/у, на интервале радиальной координаты 0 < г < 0,9 а.
2.5.2.Корректировка уравнений взаимодействия молей с окружающей
жидкостью. Найденные на основе модели поля температуры в потоках с 14 = 0,01 -г 10 достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными. Д ля жидкостей же с Рг > 100 числе Ми получаются сильно занижен ными, что связало с занижением коэффициентов турбулентной температу ропроводности вблизи канала в области вязкого подслоя. Твкой результат свидетельствует о недостатке модели применительно к потокам с Р г > 1. В дел их отыскания дальнейших пуюн развития модели обратимся к ана лизу использованных исходных гипотез о взаимодействии движущегося молл с окружающей жидкостью.
Взаимодействие движущихся молей с окружающей жидкостью опием васгсл уравнениями
|
(5.14) |
^ Л г(Т - Г )(1 2 , |
(5-15) |
п
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
/* \- < М э |
(5.16) |
|
2Л |
- |
01,, |
Ьу - й 1.1-— у |
б , , Ь1гд4 = сопз1. |
|
Здесь и* |
- |
составляющая скорости движения мопя в направлении оси х1г |
|||
Г* - |
температура движущегося объема, й г и 7 - значения этих функций |
||||
в окружающей жидкости, Л - |
радиус моля. Коэффициенты &,, |
, Ьг , Ьл, |
вообще говоря, должны быть функциями безразмерных локальных пара метров й/ р н 1.У1/ и. Об этом говорят эмпирические формулы типа
|
|
|
<5.П) |
ддя теплообмена на поверхности |
мелкой жидкой |
капли, |
движущейся |
в газе, или шара, движущегося |
в различных жидкостях |
(см., напри |
|
мер, Р 5 ] ) . Однако в 5 1.2 ради простоты было принято |
|
||
|
|
|
(5.18) |
Попробуем теперь ввести в турбулентную, модель |
зависимость коэффи |
циентов Ь{ от параметров к(*>н ЬУ'!». В связи с этим отмстим следующее. Механизм н интенсивность обмена импульсом и теплотой между дои* жущнмся молем и окружающей жидкостью нужно полагать различными, т е зависимость коэффициентов Ь ,, Ьг и Ь ,, Ь4 от параметра ^.И'/инужно полагать различной. Дело в том, что в движущемся твердом сферическом объеме можно представить себо какой-то усталовившийся профиль темпе ратуры но радиусу. Можно сыпать, что профиль температуры существует и в моле (представляющем собой "бурлящий ком ок"), и потому к нему в. какой-то мере применимы написанные выше формулы теплоотдачи. Однако нереалистично представлять себе моль движущимся как целое, у которого скорости различных частей изменяются в направлении радиаль ной координаты. Поэтому ист оснований при выборе структуры коэф фициента /4» строго опираться ха формулу (5.17). Принимая во внимание, что с использованием модели поли скорости получаются вполне удовлетво рительными, в существенные погрешности в расчею поля температуры возникают лишь в случае жидкостей с большими числами Рт, введем в мо дель зависимость коэффициентов Ь, от к/1>и ЬУ'1» лишь в схеме расчета ноля температуры, оставив без изменения весь алгоритм расчета поля скорости. При этом будем стремиться, чтобы для потоков с Рт < 1 и форму ла дня Л7 не претерпела существенных изменений, в соответствии с обще
принятым понятием коэффициента |
теплоотдачи |
коэффициент срЛ7ч |
|
+ |
ЬА - |
, есть коэффициент теплоотдачи |
|
на поверхности моля. Поскольку |
а « |
яЫи/(2Л), то |
в случае отсутствия |
Таблица —8
Результаты расчета (7 и N0 в потоке жмдкостк а круглой трубе с использованием модифицированной модели |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Рг- 0.01 |
Рт- |
1 |
Рг-' 10 |
Р г- |
100 |
Рг = 1000 |
|||
|
|
|
Ф |
Му |
Ф |
Ми |
Ф |
|
ф |
Ми |
Ф |
Ми |
20 |
4.98 |
199 |
0,091 |
4.37 |
9,03 |
4.43 |
80,3 |
4,98 |
490 |
8.14 |
2540 |
15.8 |
30 |
7.1 |
426 |
0.134 |
4,48 |
12,7 |
4,73 |
89,9 |
6,67 |
424 |
14,1 |
2200 |
27,3 |
50 |
9.67 |
967 |
0.208 |
4.82 |
16.6 |
6.03 |
82.8 |
12.1 |
359 |
27.9 |
1970 |
50.8 |
100 |
12,5 |
2,5 ■10* |
0.371 |
5.39 |
19.3 |
10,4 |
73,4 |
27,3 |
318 |
62,9 |
1810 |
110 |
200 |
14.8 |
5.92103 |
0.67 |
5,97 |
20,5 |
19.5 |
68.3 |
58,6 |
294 |
136 |
1720 |
232 |
500 |
17.3 |
1.73 * 104 |
1.44 |
6.92 |
21.8 |
45.8 |
66,2 |
151 |
285 |
350 |
1650 |
606 |
ЮОО |
19.1 |
3.82-10* |
2.43 |
8,24 |
22,9 |
87,4 |
66,1 |
303 |
282 |
709 |
1700 |
1170 |
2000 |
20.8 |
8.32 - 10* |
3.72 |
10.7 |
24.1 |
166 |
66.9 |
598 |
283 |
1415 |
1800 |
2215 |
5000 |
23,0 |
2.3010* |
5.71 |
17.5 |
25,9 |
386 |
68.4 |
1460 |
289 |
3460 |
1800 |
5320 |
1.6000 |
24.6 |
4,9210* |
7,29 |
27.4 |
27.3 |
732 |
69,7 |
2870 |
298 |
6710 |
1800 |
11000 |
20000 |
26.3 |
1.05-10* |
8.88 |
45.0 |
28.8 |
1390 |
71.5 |
5590 |
308 |
13000 |
1800 |
23100 |
рассс нинн моля можно записать:
к _ № |
к |
|
N4 |
|
|
|
|
3 Л " |
2 Л |
Ьг |
Т |
|
|
( 5 1 9 ) |
|
Долее, первое |
слагаемое а |
(5.17) является, малым. |
Поэтому |
аил |
н Д>4 |
||
использовалась |
аппроксимация |
(5.18). В случае |
потоков |
жидкостей *,с |
Рг > 1 весь перепад температуры между стенкой и жидкостью прак л 1ческк сосредоточен в пределах вязкого подслоя, поэтому уточнения коэффи циентов. А, нужно вводить лишь в тонком подслое. В схеме расчета иояН
температуры эти коэффициенты будем обозначать символом А/. С учетом аовго сказанного выше коэффициенты в схеме расчета е// принимаются следующими:
д = 1.25, Ч = 0,72, № ) 'Ь , = ш , |
Ш ) 'ь , |
(5.20) |
|||
|
[ /1, у ?, если |
у , |
< Я, |
||
Ы пШ )г = ь * Ш г |
[ » ху1 |
|
|
|
|
I пг , <если |
у, |
> |
0. |
|
|
|
|
Формула,аналогичная (5.6), запишется при этом так:
е"(м.) = |
1Ю |
УжШоЫЫ>/.иыыи;ц,)<п(. (5 21) |
|||
т с = СХ| —\Х |0 I )/(П ^ о ). |
=Д !)/5 = 0,18, |
|
|||
|
Сг |
1*4 0 |
Л2 |
М * /И 0,6Т**4 |
|
Р1----------. I |
\ = |
|
|
||
|
у. |
|
Л | |
Ьх + |
Ь2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(5.22) |
С1 = 1 2 |
^ У |
^ . |
(;( $ )= |
10 Щ 2(1 |
- 1 4 1 ) , |
\ . / э / |
м |
|
|
|
|
|
0, |
|
если- у , |
< ы , |
|
ъ ш
ЧЗ- »•>ы-
Пробные расчеты ноля температуры в потоке жидкости и круглой трубе но* каэдлн. что в (5.20), (5.21) следует принять
т = 1,62, л , = 0.72, |
«2 в в, |
Р а 0.75, |
0 - 25. |
(5.23) |
В табл. 2Я прниедены значения средней по сечению безразмерной темпера
туры |
Г /Г , (7\ =<1*?{сри,)) и чисел № * 2 Ф Р г / ^ в потоках раэлич- |
Л с 2.Ш . 1\ туи маты расчоп чисел Ми для жпцкисгн с Г»! = 1 (Г, /*), Ю (2, 2 ‘), 1001/, 2 'I
100С <■/.•/'); сняитныс /шнии - расчетные кривые, нприховыс липли - эмпирически формула Г1сгулова 1561
шик жидкостей II 1рубс при указанных значеиннх эмпирических коэффи
циент» /»/ и при а) = 0 и гипотезе ( 1 .2). Параметр и> был введен л мо дель, чтобы чи н и т, резкий переход турбулентного течения в ламинарное при уми'11м1кнни параметра «Р, а именно для понучеиня излома л кривых
лил чисел |
Ми в кошках с 1*г 5* 1 при критических числах Кс. Как показа |
||||||||||||||
ли |
последующие |
расчеты, |
удовлетворительные злаченля |
N0 дня нотокон |
|||||||||||
с |
I*» |
Ш-ЧО3 |
при |
Кс |
= |
Ю4 МО6 получаются |
лри |
ы - |
0, а если |
||||||
ко- < 104 |
то при ь> = |
|
10, |
3 расчетах для |
потоков жидкости с Рг |
< |
1 |
||||||||
изрэмстр |
ы |
можно принять |
равным кулю. Результаты расчета величин |
^ |
|||||||||||
листаточно хорошо согласуютсн с эмпирической формулой |
|
|
|
|
|||||||||||
|
С« С'КРг) |
= |
ф (4 \ I) |
+ |
12,7 |
(Рга/3 - 1 ) , |
Ф > |
100, |
|
(5.24) |
|||||
тождественной |
формуле |
Петухова для чисел |
Ми, |
приведенной |
в |
[56). |
1Га рис. 2.30 показана зависимость Ии от Кс дня потоков с Рт =0,01-ИОСЮ при использовании модели турбулентного обмена в подправленном настоя щем варианте. Наклон кривых с использованием схемы ($.20), (5.21) получается более реальным.
Поскольку во всяком потоке жидкости вязкий подслой является тон ким по сраписиию 6 характерным поперечным размером канала, то в ок рестности любой точки периметра канала этот слой можно считать плоским, а потому полученные здесь аппроксимации турбулентных характеристик будут пригодны для расчетов течений жидкости в каналах произволь ных форм.
»7
§ 2.6. Расчет стабилизации турбулентного потока на входной участке круглой трубы
С использованном модели, от работа иной на установившихся турбулент ных течениях, проведен расчет участка гидродинамической стабилизации
в канале произвольной формы. Проведены пробные расчеты попел ско |
|
рости и температуры на участке гидродинамической стабилизации а пото |
|
ках в круглой трубе и в кольцевом зазоре при симметричном относительно |
|
оси профиле продольной составляющей скорости на входе и нопиий гидро |
|
динамической стабилизации на выходе |
[ 7 $ |, Аппроксимации компонент |
тензора турбулентных напряженно дни |
произвольного течении жидкости |
имеют вид |
|
|
(6 1) |
Здесь р У ,* - турбулентный аналог статического давления, |
- элементы |
тензора турбулентной вязкости. Формулы тина (6-1) в цилиндрической системе координат по аналогии с тензором вязких напряжений и с учетом лишь главных компонент тензора запишем в виде
(6 .2)
Будем полагать далее 5*. Тогда система уравнений движения с уче том формул (6.2) н условии симметрии примет вид
'дсжх ди _ Ь€хя ^ Э(гц)'
+
к Эг Ъх |
Ьх г Ьт л |
Эи |
|
3|/ |
Эи |
|
|
|
|
С63) |
|
— ■+ и — |
) — |
|
|
|
|
||||
3* |
|
Ъх |
|
3г |
|
|
|
|
|
|
I |
0 п |
3 |
|
ч 01» |
1 5 |
|
Эи |
|
= - |
- |
— |
+ — |
( ^ + е хх ) — + |
т Ъг |
- ( * + е гг) — |
- |
||
|
р Вг |
Ъх |
|
Эх |
|
0г |
|||
|
|
|
|
4» |
/ 0 * г г |
04» |
Ъ с гг |
д ( г \ |
|
- ( , * 2 е „ , - е „ ) |
* ( — |
— ♦ — |
— ) . |
|
|||||
5(1»/) + Э(ыО = 0 |
|
|
|
|
|
||||
Эх |
|
|
Ъг |
|
|
|
|
|
|
= |
Р + Р ^ - |
|
|
|
|
|
|
||
Граничные условия: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Эи I |
|
Л. |
Эи I |
|
0Ц |
1 |
I дс я о |
Эх I х я о |
0, |
|
|
|
|
|||
э Г 1 * = * = э 7 1 х ^ |
|||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
— |
|
= VI |
|
о, |
" 1 , . |
■ |
и [ |
= 0. |
|
Ъг | , с о |
• г = о |
|
Ь - я |
Для получения коэффициентов турбулентной вязкости €ц используем уп рошенную (локальную) аппроксимацию:
*п |
ЪУ\ |
»0 .1 *М ч)/.'(п )Ь ? | — |
П = — |
, |
/□ (* )= * \ |
*)'*■ |
7 . |
V | к |
|
|
Масштабы турбулентности |
Ьь [. вычисляются по формулам (5.6) гл. 1 , |
( 2 .3 ) - (2-5). Задача решается методом проектировании в переменных
''скорость-давление'1 [77, 78]. |
Гидродинамический |
оператор переноса |
аппроксимируется монотонным |
*-> |
типа Самарского, |
оператором ЛгЦ-§ К ) |
используемым в работах [78, 79). Гасчст течения проводятся методом уста новления но разностной схеме, предложенной в (77]. Б млн рассчитаны по ля скорости для потоков жидкости в круглой трубе с числами Ко, равны
ми 2* 10я , 2,85 |
• 101, 4,5-10 1, и для иотоков в кольцевом канала с числами |
Кв, равными 7 |
- 101. 7-1П4. |
П
Рис. 2.Л . Р-кпршопенис коэффициента тур- булеИпшй вяэкосте в коиыкнум канале (Кс =7 10*) в различных пошрсчпых ю- чепннх
Рис. 2.32. Радиальное распределение каса тельных напряженки в различных попереч ных сечениях потока в круглоП трубе (Кс = 2В500):
I, 2, 3 - */К =9,78. 41,4, 190; у |
рас- |
стояние от стенки трубы; •, а. о - экспери ментальные данные м» | В11
В случае ламинарного течения (при с = 0) результаты расчета хорошо со гласуются с известными аналитическими решенинми и экспериментальны ми данными. Найденные в расчете изменения осевой скорости, г|хадиснта скорости и касательного напряжения на стенке вдоль трубы хорошо согла суются с данными работы [ДО]. Максимальное отклонение расчетных значе ний скорости о выходном сеченни канала от стабилизированного профиля скорости, получаемого точным интегрированием одномерного уравнения движения (течение Пуазейля), не превышает 2%. Изложенное выше описа ние развития турбулентного потока качественно согласуется с имеющейся экспериментальной информацией: правильно описывается трансформация профилен скорости нг(г) и касательных напряженп". наглядно прослежи вается развитие турбулентных пограничных слоев у стенок канала, если точку максимума коэффициента в поперечном сечении канала отож* дестоить о серединой пограничного слоя. На рис. 2.31 для примера показано распределение коэффициента турбулентной вязкости егт в кольцевом ка нало в потоке жидкости с числами Не - 7 - 104. Однако а результатах расче та для входного участке получается более быстрая стабилизация ноля ско рости, чем л эксперименте, Гасчстныс значении напряжений ои„ в централь ной части потока жидкости (где они малы) на расстоянии 10-г20 "диамет ров" капала ог входа могут получиться завышенными ла (0,30 *0,15)и* , т.е.на 10 -г 133>огнапряже)гняна стенке (рис. 2.32).
1К