книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfПоскольку соотношений для коэффициентов системы (4.8). (4.9) бу дет лять, а вхего коэффициентов в этой системе семь, то два из них могут быть взяты произвольно. Примем дм и у** такими, чтобы в левой части уравнения (4.8) члены с Ф7_ ^ * + | и у5/* !,* -! взаимно уничтожались. Тогда
0 « (0 ) |
= огЛДЛкР/-Э1*+1 |
+ ${к»1,к-\Ч>1*1,к-2' |
(4-11) |
|||||
Компенсатор Я д (^)и регул лрнэатор |
возьмем в виде: |
|
||||||
+ (Ы'Г.Лс-ОйГЬ |
|
|
|
(4-12) |
||||
<2<к&) - 9(а1* + ЙмХйЖ- |
I,* “ в/Лг9У,**1 |
- |
||||||
- |
|
|
,Лг—т) +■ *(*№+Д »)й*' |
|
(415) |
|||
Тогдр |
|
|
|
|
|
|
|
|
(I - |
*Ф|-1 ,*) *д - Д/„*_ 101к = 0м7а> |
(4.15) |
||||||
- |
У(- 1гка№+ (] |
|
= * а 7а . |
|
||||
Б/* |
- |
Н(о,ч + Ак№* = 7лсй , |
|
^ |
||||
б/* |
“ |
Я(©« + &1к)Ь(к = У1к^1Хш |
|
|
||||
1 * |
а Г*6( - 1.* + Рлкб^ - 1 |
+ 0 (*№№-!,* + Д ь ^ к - » ) - ^ (О ц + 0/* ) - |
||||||
|
6(Од + Р/Яс) ~ ЪкР1к- |
|
|
(4.17) |
||||
& раэрешенном относительно неизвестных коэффициентов виде |
формулы |
|||||||
(4.15)-(4.17) запишутся следующим образом: |
|
|||||||
7/* |
= |
и{Рт ~ Дк(1*'1.к + 6Р{-1,* ~ 9 - 0 - |
|
|||||
—^ л (б /,ь _1 + бц/>* _ | |
— ч — е)>, |
|
( 4 .1 8 ) |
|||||
“ Г* |
|
|
Р/Ц-УнЬ/кз |
|
( 4 .1 9 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
7гА |
(4.20) |
|
|
|
|
|
|
|
-9 (« л к + 0 « ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- |
[«а О - * ^ ,к - |) + ^лД 4к - |] |
д /л\ |
|
|||
|
|
= |
[Лд(1 “ 'ФТ-Цк) * <4*^-1.*)*!»• |
(421) |
||||
Л« |
= 0 - |
К ^ -м Н * |
|
|
|
|
||
Уравнение (4.8) относительно од решается методом прогонки: |
|
|||||||
”7* |
= М (^Д г^+ 1Д- 1 |
* ЕльЯн-!,* + 6мЮг.**| * гд ), |
(4 2 2 ) |
|||||
Л а- * |
Р а НкЛ - ) .»♦ I |
♦ ,17*. |
|
|||||
|
|
|||||||
где |
Р « в ( 1 |
- * |* Д г * м - |Р а |,к - |) “>- |
|
|||||
291
Если границы о б д ас т, в которой решается уравнение (1.5) гл. |,и с парад, пспьиы координатным линиям сетки» то разностные аппроксимации гранич ных условий записывание я ка трехточечном шаблоне и рассматриваются как самостоятельные уравнения. Далее область рсшс1шя дополняется до параллелограмма, причем в дополнительно появившихся при этом счет* ных у м ах исходное уравнение записывается к виде у [К = 0 . Теперь ироведсм исследование пространственной устойчивости схемы (4.В), (4.9) с
учетом (4.12), (4.15). |
Из |
соотношения |
(4Л7) |
с учетом (4.15). |
(4.16) |
||||||
1 + |
|
1 ,к + |
5Г.к- |
1 |
" |
“ |
ЩкРё- 1 |
,к — |
I |
+ А* ~ |
|
|
|
“ |
* « •'!-1,*1+ $ « 0 |
-Т # » )+ в л (1 -Г/Дг) + |
|
|
|||||
+ 71к<?№ - Р(в 1*Р*-1,а + |
|
|
ш) + т1Ь |
* Г1Л- |
|
|
(4.23) |
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т«с = т){<Ък +Д/*>, Л1* = *(°/к + % )• |
|
|
|
(4-24) |
|||||||
Используя |
соотношения для |
*1(ки |
уйк (4.14), |
можно |
переписать |
(4.22) |
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I |
- Т « ) ( 1 |
- й ;* |
- | 1|* - Н ^ ) = 0Г^ (1 |
|
-/*!_ !.* - |
||||||
- |
■>-*,*) |
- $1.д- 1 |
|
—81.*-1 - 1Члг- 1 _ | 7 .* -т) + |
|
||||||
♦ 7*9/* |
+ Гд + ( I - к - (?) [огл и _ , ,* + |
|
11 |
|
(4,25) |
||||||
В дальнейшем на параметры к к 0 накладывается условие к + 0 = 1 , тогда методом индукции получим неравенство
2 /* = Ьк . * |
+ »йк + (1 - 1У*)"1 \Ч(кЯм * г,А] < I, |
(4.26) |
|
Составим теперь выражение (ЕД1) (огг-ь + 0{к). Используя (4.19) и |
(4.26), |
||
получил* |
|
|
|
°Уа + Р(к _ |
О - |
т1к) (в[к 4 &[*)_____________________________ |
(4-27) |
2«с |
( с (к + |
| ,* ■+Ь( к 5 1 к_ ]) +Чнс + €пс(а,к + Ь№) |
|
или
^+ **{ к ______________________________
*1к |
М |
+ <?/* * [V * 5 Г- 1.* + «]й* + к + .к- 1 * с]Ь,* |
(4.28) Из структуры неравенства (4.28) следует, чю выбором параметров п н * всегда может быть обеспечено выполнение условия
4* + й* < 1 - |
(*29) |
Таким образом, схема (4.8), (4.9) обладает пространственной счетной
устойчивостью.
При решении системы (4.8), (4.9) дли улучшения сходимости итера ционного процесса имеет смысл рассмотреть вид регулярна втора без диаго нального преобладания в главных, членах. Вместо (413) возьмем
0 |»*<<Р) = ПТ/*[<*/*(№ - Д А -]) + *Гк(Ч>1к -< й н ,к )] * |
|
+ Г[0Г/дЙ,_|,к№* - « - 1 Д * |) + Л *^,*-10й*г“ Й**1,*-|)1 + |
|
+ 1 м >№ ‘ |
(430) |
|
202
Не основании (4.10) запишем связь между коэффициентами факторизо ванной и исходной систем:
Ъ к = О |
-г)а,*б,_м . |
= (| +г№ *5и-ь |
||||
й* |
= 0 |
+ 0 |
* « 7 д . |
|
(431) |
|
|
= (1 +г)а,куГкт |
|||||
1 + «Дг1н - 1 |
.* |
4 Р г * Ч * - 1 “ |
0(Л1Ни[_ 1Н + |
|||
- |
Ф г * 5 *-!.* |
4 |
- |
е(ог,А * д ,А) я |
||
= |
П А РИ |
+ |
П7*(<7* |
+ 4 й ) . |
<4.32) |
|
(1 -кр /-1 ,л )Л /* - |
Д/,% -|0г* |
= 0/к7/а. |
||||
- ^ |
- 1, аО|* |
4 |
(1 |
|
(4.33) |
|
|
а Л «Г«- |
|||||
В разрешенном виде формула для у1А запишется следующим образом:
Т№ |
= |
4 4(сга + 4 * ) |
4 влСгй#.,, |
|
-® |
/,/ - 1, а) |
4 *л (г$л * - | |
+ * - & ,.*_, - |
<4.34) |
а,к и Лд вычисляются из соотношении (4.21). Коэффициенты системы (4.8), (4-9) с учетом (4.31)-(4.34) удовлетворяют условиям:
2«г = Ък 4 &<к 4 Ък 4 *7* 4 7/*4га 4 «/*(<*г* 4 0м) < >. <435)
“ I* 4 0м <
^ ___________________________ *1к 4 Ь<к____________________________
( I 4 г )(с№ +</Л ) + Г<1 4 ') & г - ц * * е ] в № + [ 0 + |
+ * |$ А М /* |
(4.36)
Выбором параметров 0, я, г, г, е всегда можно обеспечить пространствен ную счетную устойчивость схемы (4.8), (4.9), (4.30). Сходимость итера ционных схем типа (4.8), (4.9) исследовалась экспериментально на мо дельных задачах Дирихле и Неймана. Оптимальным набором свободных параметров в схеме (4.8). (4.9) с учетом (4.13) оказался
1 * 1 , |
6 = 0 . |
П = 0,4, |
е = |
0, |
(4.37) |
|
а в схеме |
(4.8), (4.9) с учетом |
(4.30) |
|
|||
х = I, |
0 = 0 , |
г = 0,4. |
г |
= |
0,1т 0.2, е = 0. |
<4.38) |
Параметр е следует принимать отличным от пулю при решении задачи Неймана без закрепления искомой функции в какой-либо точке. Ско рость сходимости итерационных схем оценивалась по затуханию суммы модулей решения в однородной задаче Е|р< д1 и по затуханию суммы
модулей невязки 1 \у (КА {к(у) - ЪкЛк 19 неоднородной задаче. При
/к
решении плохо обусловленной однородной задачи сумма модулей реше ния на первых итерациях может подскакивать, но после 1 0 -2 0 итераций наступает быстрое затухание згой величины.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.3 |
Ни»днородкакзадан Неймана (21 Х 21),к = |, д |
= 0 ,г = 0,4,.' = 0,2,г = О, |3 = 441 |
|||||||||||||
л |
|
|
|
та |
23 |
|
24 |
|
2$ |
|
26 |
|
17 |
2в |
5я |
|
95.9 |
63.5 |
|
41.2 |
26,7 |
|
17,2 |
11,3 |
7.62 |
||||
ап |
|
0,672 |
0,660 |
0.652 |
0.646 |
|
0.647 |
0,655 |
0,674 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблице 4.4 |
Одно родим илам Н«Яи1ка <15 х 15) ,х= 1, 9 = 0 • т= 0,4, г “ 0,1,в “ 0, |
1225 |
|||||||||||||
п |
|
|
|
ев |
69 |
|
1 ’ * |
, |
71 |
|
72 |
|
73 |
7 А |
|
|
|
о.оп |
О.ОП |
0,007 |
0,005 |
0.003 |
0.002 |
0.001 |
|||||
|
|
|
0,677 |
01660 |
0.662 |
0.654 |
0.635 |
0.590 |
0.495 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.5 |
ОднороднаязадачаНейшна (21 X 21>, 5о = 4 4 1 ,* = 1 .й = г= 0 |
|
|
||||||||||||
т = 0,6. га 0.1 |
т “ 0.4, |
г= 0 ,| |
г = 0,4, |
/ - |
0.2 |
|
т = в.6. г = 0 |
|||||||
л | |
|
* ? 1 |
Xя |
п и м |
X? |
|
|
Т |
Х'1 |
|
м ' |
К1 |
||
|
|
|
|
Х> |
Л _ | |
« . |
||||||||
36 |
34,1 |
|
0,672 |
2В |
4.94 |
0,582 |
25 |
24,0 |
|
0,624 |
36 |
14.1 |
0.674 |
|
37 |
9,32 |
|
0.659 |
29 |
2.00 |
0.567 |
26 |
14.7 |
|
0.6П |
37 |
9,31 |
0,661 |
|
38 |
6,01 |
|
0,641 |
30 |
1,54 |
0,550 |
27 |
8.77 |
|
0.598 |
38 |
(.03 |
0,(47 |
|
39 |
3,77 |
|
0.627 |
31 |
0.81 |
0,529 |
28 |
5,13 |
|
0,585 |
39 |
3.80 |
0.(30 |
|
40 |
2,27 |
|
0,604 |
32 |
0.41 |
0.501 |
29 |
2,93 |
|
0.571 |
40 |
2,31 |
0,609 |
|
41 |
1.30 |
|
0,572 |
зэ |
0.39 |
0,460 |
30 |
1,63 |
|
0,555 |
41 |
1.34 |
0.5 ВО |
|
42 |
0,6В |
|
0,523 |
34 |
0,07 |
0.391 |
11 |
0.87 |
|
0.537 |
42 |
0.72 |
0.53В |
|
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Л* |
= |
2 |
| 71* >•;*(*”) - |
7 « /» 1 . |
|
|
|
|
|
|
(4.39) |
|||
X" |
= |
8п/5 п ~ \, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.46) |
||
|
|
|
(к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4-41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 , = 1 1 ^ |
1. |
/* |
|
и е |
1 .-Г |
(4.42)
(4.43)
В тебя. 4.3 - 4.5 приводятся зависимости нормы очередного приближения 5п или §\ от номера итераций л и коэффициенты X" или Х". Решалась зада
ча |
Неймана для уравнения Пуассона и квадратной области (-1 |
^ .т ^ |
I. |
1 |
1) . Аналитическое решение выбиралось в виде |
у(х, у ) |
= |
=(| ♦ со|»*)(1 + С 05Я .У). Область решения разбивалась координатными
линиями У - 0,5)Д*. у к ~ (к - 0,5)Ау, причем Дх = Д>\ Счетные узлы
204
располагались на пересечении координатных линий. Расчеты проводились для количества узлов 21 X 21 л 35 X 35 при различных наборах свободных
параметров. |
|
|
|
||
Для |
задач с постоянными |
коэффициентами сеточных уравнении |
|||
(1.3) |
гл. ] |
более эффективном является схема (4.8) - (4 .9 ) . (4.30). В зада* |
|||
чах |
же с сильно меняющимися коэффициентами уравнении предпочтигель* |
||||
ней |
является |
схема (4 .8 )-(4 .9 ), |
(4.13), ввиду того, что в схеме с (?т*(у?) |
||
но формуле |
(4.13) т/к = Ц|*(Опк * |
и регуляриза тор в этой схеме хоро |
|||
шо соизмерим с итерируемыми выражениями и поэтому ке замедляет итерационна™ процесса. В отличие от других схем с малой нормой, а имен
но |
(4.1) "(4.4) и (3.10) гл. |
2, |
в схемах, основанных на системе |
(4.8). |
(4 |
.9), координатные оси * и |
| |
равноправны. Кроме того, условия |
прост |
ранственной устойчивости здесь менее жесткие, а оптимальные значения (ырамстра г в рС1у/1Ярмэаторе горазда меньше, чем в схеме (4 .1 )-(4 .4 ).
ГЛАВА 5
РАЗВИТИИ МЕТОДА НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИИ НЕЙТРОНОВ ИЛ ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ
§ 5.1. Явная схема неполной факторизации на треугольной сетке
Решение много г |
рунповои |
задачи, описывающей |
распределение плот |
ности потока (или |
ценности) |
нейтронов о ядерпом |
реакторе, сводится |
к последовательному решению одиогрупповых неоднородных уравнений
ВНДа
—УОШу т- |
= / |
( Ы ) |
||
с краевым условием па границе области |
|
|||
3 ^ |
Л |
|
|
|
Д > — |
4 — |
= 0. |
( 1 . 2 ) |
|
Эл |
2 |
г |
||
|
||||
Наиболее мощным и универсальным средством приближенного решения таких уравнений является метод конечных разностей. В итоге миогогрупновая реакторная задача сводится к многократному решению больших систем линейных уравнений -с разреженными матрицами коэффициентов
- Р. |
( 1 .3) |
В ряде случаев одногрупповой расчет необходим и сам по себе вне рамок многогруппового.
В вычислительной математике для решения задачи типа (1.3) предложен ряд итерационных алгоритмов, которые непрерывно совершенствуются, так как повышаются требования к быстродействию расчетных методов
и |
программ. Особенно важно использование эффективных алгоритмов |
в |
расчетных исследованиях многомерных моделей реакторов с помощью |
обобщенной теории возмущений. Это объясняется необходимостью опе ративного решения нескольких однородных н неоднородных прямых
205
и сопряженных уравнении, количество которых определяется исследуемы ми функционалами. Под эффектная остью расчетного метода будем пони мать скорость нахождения решения с заданной точностью. Важным фак тором при выборе того или иного алгоритма является также объем оперативной памяти» занимаемой в' процессе расчета.
Во многих случаях действующие и проектируемые реакторы набираются из шестигранных кассет., твэныв которых расположены в узлах треуголь ной решетки. Для расчета таких реакторов лучше использовать треуголь ные или гексагональные коисчнораэлосгнме сетки [60]. Теоретическое обоснование итерационных методов решения получающихся при этом
1-1К ИКЧ 1+1КЧ1А с+КК
Рус. 5.1. Расположение СЧС1НЫХ узлов мэ треугольноП сотке
1-1 ( *>/ '
больших систем уравнения (1.3) значительно более слабое, чем для случая прямоугольной сетки. Численный анализ эффективности различных мето дов решения подобных систем проведен недавно в работах |4 3 ,4 4 ]. В част
ности, исследовалась эффективность явных схем неполной факторизации |
||||||
(АГЛ-методы). Явные схемы неполной |
факторизации, |
как |
отмечалось |
|||
в |7 ] , отличает |
простота. Рассмотрим двумерное |
разностное |
уравнение |
|||
на треугольной сетке (рис. 5.1) |
|
|
|
|
||
~ |
сГк<Р141.* |
- А » ? * ,* -1 |
- |
М-1 - |
Ь к 'Р 1 - \,к - I - |
|
*?1кЧ> * + |
+■Ригф{* |
= |
|
|
|
О-4) |
Рис = *нс + с1* + Ьцс + с/,* + 1м + V/* + гм, |
Ък > |
О- |
|
|||
Будем полагать, |
что при составлении системы (1.4) граничные условия |
|||||
для функции у» уже использованы, так что коэффициенты уравнеиля (1.4), соогветотвующне точкам, нс принадлежащим области решения, раоны
нулю. |
|
|
|
|
|
Следуя |
идеям |
работ |4 , б, 7], заменим исходное уравнет из (1.4) |
систе |
||
мой вида: |
|
|
|
|
|
2 /* = « Л 2 / - ] , А + |
* / „ * - ] + Р ( к Ч - 1 . к - 1 + Ъ к / п + |
|
|||
+ О ц |
М + */*<*>> + г<ой |
♦ 0 ,х * |
0-5) |
||
Щ* = (ц ц р т .л * |
|
* г« ' |
Л-б) |
||
/ = 1.............. |
к = |
I , . . . |
. п, |
|
|
п е |
5 д» У№. |
- некоторые пака неопределенные коэффициенты; |
|||
°1*&) - линейная форма, не содержащая искомой функции с основного семиточечного шаблона; //^ ( ^ ) - линейная форма, которая служит для компенсации выражения />/*(^) в узлах основ кого шаблона,
ради простоты примем сначала |
|
|
Я |к(р) |
" -*1кФ№> |
О -7) |
где хц - |
пока произвольный коэффициент. |
|
Такую компенсацию будем называть диагональном. |
|
|
Разрешим уравнение (1.6) относительно глк н подставим его |
в уравне* |
|
кие (1.5). Из требования тождествеиласш полученного уравнения исход ному уравнению (1.4) следует:
|
|
= а Г*®Г-!,А0 / - М +1 |
+ |
|
0 М-1 .Я - 1 1 |
О*®) |
|||
|
- Д ]* б | - 1 ,* - | = 7 / * « « . |
|
|
|
|
||||
&1к - |
РТА& Г-|,*-1 ~ |
71*1>/к |
|
|
|
|
|||
Ь к ~ ЩкЧ-Х.к ~7ГА^№« |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 в 7ГА<7А. |
|
|
|
О'®) |
|
Щк |
- |
|
|
»1к а |
7 г*? /*| |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 ,* - 1 |
= |
|
= ТуА Гм - |
*<к+ |
+ Р/к + ^*> - |
|
|
|||||
Примем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*{к |
- |
0<«Г*$Г-1 .к * |
РгАг&,*-|)« |
|
|
(М О ) |
|||
где 0 - |
пронэооиьный параметр, О< 0 < 1. Введя обозначения |
|
|||||||
*ГА |
в |
<*1к + |
I ,(к_ 1 1 |
|
|
|
(1 .П ) |
||
Р(к |
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« « |
= |
ТмгХ/*» |
Рта = 71кР(к1 |
|
|
|
|
||
ЙГА |
■ У1к(а(к |
+ & |*>'/-|>к)* |
|
|
|
(1.12) |
|||
Ьк |
= У1*(с1к + Рм *<,*-■). |
|
|
|
|||||
Рп = |
7/А ^А► ^А = У/кЪк |
|
|
|
|
||||
71А |
" |
|/>М |
+ |
*/*(*<* |
“ 0 * Г - 1 ,* |
$ / - ! , * ) |
+ |
|
|
+ Д»(^д - |
^Ь.А-1 |
- |
+ *«(Г1А- |
■'/-1.А —з)Г1- |
|
||||
Таким образом, определены |
все |
коэффициенты системы |
уравнений |
||||||
(1.5) - (1 .6 ) . Решение этой системы находится методом итераций, причем при прямом проходе уточняется 2/*, а при обратном - адк.
Методом |
индукции |
нетрудно доказать, что |
коэффициенты системы |
||
( 1 .5) - ( 1.6) удовлетворяют услови ям |
|
||||
°1к = |
|
+ ®»а + Чк + УмЪк + (1 — |
+ 0« 1 / . * - 1 ) + |
||
+ Па(«га + |
+ Ы |
^ |
|
||
®Г* + 03* + Р/к < |
|
|
|||
< (Т,Ь |
4- |
+ |
ОД^А [Г/Лс +^А + <71А * О* |
|
|
+ (I - |
0)(0,*6,_1. к * *ГА Ь. А - 1) + Ч к (вМг + Ь » |
4 °1к Ы ] “ '1 > |
|||
20 7
где сгд а I + 5 [ _ 1 1к_ | + |
Выбором параметров в и 17* всегда |
можно обеспечить условие |
+ д** < I, |
Аналогичная схема с параметром 0 = 0 и применением ускорения была предложена в (4$). Можно предложить и другое варианты компонсиругощен
люсениок функции НГк |
аналогичные исиользов энной в работе [8] для |
|||||
прямоугольных сеток. |
|
|
|
|
|
|
Примем |
|
|
|
|
|
|
= аль&<-1.* ( 0фМ; |
“ |
КУ (-1,к - |
- <*>*М-1 |
.* +1) |
+ |
|
+ Э|к IГ»* —1 С^^ГДг - |
* & |
. * |
- I “ 1?Ф|«1.В - |
ЫФ1+ 1. Ар♦ I ) > |
|
(1 1 3 ) |
где Я, к, т?, и> - параметры, связан ныо соотношением 1 + 0 “ « + 1] + <о + в, причем 6 - малая величина или нуль. Такую компенсацию будем называть периферийной.
В этом случае |
|
|
|
||
*№ = (-**!-!,*) аТг*^«гэ |
Рг* = ( 1 - * Ъ |
, к - 1)~*У(кР1к» |
|||
|
= |
7Яг<*« |
+ °7аОгТ -11* |
+ ^ 1- 1. й). |
|
$Г* = |
УШ*ГА |
+ ЭцнСКг.*—1 |
+ |гё|| * - |)> |
(Ь14) |
|
№ |
= |
71кЬк1 |
*1к ш У1кЯ?к + |
■+ 0м $ Г ,А -|). |
|
У(к = |
1Р\к + С1 “ К**-1,*)'% *(*!* |
_! .* “ 6г - 1.*) + |
|||
+ 0 |
- < ^ , е - 1 ) " 1Р«СТгА + в 1 г ,А - Т “ ^ к _ , ) + 4 * 0 7 * - Р г - 1 , » - | ) Г 1- |
||||
Для того чтобы обеспечить вычисление функций гл и р,д во всех уэлвх сетки, необходимо приметь со = 0 в тех узлах, где 4 г* = 0 и 1? ■ О, слк -
== О.
Сходимость итерационной схемы (1-5), (1,6) с компенсациями вида (1.7) и (1.13) исследовалась экспериментально нрн решении задачи Ди рихле для диффузионного уравнения:
-В (ьр + оу» * |
5 , |
(1.15) |
где О = 0,64, о - |
0,21, 5 = 0,003 с областью решения в виде правильного |
|
ш есту голышка со стороной, равной б, 12 или 24 шагам сетки. |
|
|
Для обеспечения большей устойчивости вычислений итерации по методу неполной факторизации чередовались с обычными итерациями ГвуссаЗендсля. Было установлено, что оптимальные значения параметра 0 для схемы (1.5), ( 1 .6) с диагональной компенсацией (1.7) лежат в интервале 0,7 * 0,2 н слабо зависят кок от числа точек сетки, так и от коэффициентов ■сходного уравнения. На рис. 5.2 показан график зависимости нормы не вязки (сумМы абсолютных значений невязок обозначены буквой К ) от па раметр* 6 при шаге сеж и Л = яг/ 1 2 (<г — сторона шестиугольника) после 9 итераций. Аналогичные зависимости имеют нормы невязки и для А=о/24. Одна итерация по методу неполной факторизации (1 -5). (1 -6) с компенса цией (1.7) эквивалентна примерно 25 -г 30 обычным итерациям ГауссаЭенделя и 7 т 10 итерациям Гаусса-Зейделя с ускорением.
Схема (1.5), (1.6) с периферийной компенсацией (1.7) имеет большую скорость оходнмости. Одна иге рация по этой схеме эквивалентна примерно 40 т-50 обычным итерациям Гаусса-Зейделя и 12 т 15 итерациям Гаусса-
20В
Рис, 5,2. Характер зависимости нормы нсважи Л , ог параметра 0 о итерациях по схеме (1.5)-<1.7)
Рис. 5.2. Эыкснмосп. нормы невчзк«/?^ ог числа итераций в раэшгшыл. схемах
Эейделя с ускорением. На рис. 5.3 приведены для сравнения графики за висимостей нормы невязки на сетке с Л = о /12 от числа итераций. Кривая / соогиетстнуст обычным итерациям Гаусса-Зейделя, кривая 2 - итерациям Гаусса-ЗеПделя с оптимальным ускоряющим умножителем, кривая 3 —
итерациям по схеме (1.5), (1.6) |
с компенсацией (1.7), кривая 4 - по схе |
ме (1.5), (1.6) с компенсацией |
(М 3 ) и набором параметров к = т? = 0,8, |
40= 0,05, « = 0,1, т = 0. |
|
Следует замеппь,что вторая схема является весьма критичной к выбору параметров л, ч, со, е. При небольшом отклонении зш х параметров от оп тимальных значений схема с компенсацией (1.13) теряет свои преимущест ва по сравнению со схемой (1.5), ( 1 .6) с учетом (1.7).
В-табл. 5.1 приведены начальные невязки Л 0 и невязки после девятой итерации Л9 пля наиболее характерных наборов параметров к, ч» со, е (т - 0) лрн различном числе узлов сетки.
На ослопании проведенных исследований по применению метода непол ной факторизации для решения двумерных разностных уравнении диффу зии на треугольной сетке можно сделать следующие выводы:
Значения нормы мсвяэкн по схеме {!•$)» (1.6), |
|
|
Га&ица5.1 |
||||
|
|
|
|||||
«ул |
к |
/1 |
иг |
е |
Я, |
|
Л* |
б |
0,8 |
0,8 |
0,4 |
0,05 |
207 |
0.14‘ Ю‘ т |
|
б |
0.8 |
0,8 |
0.1 |
0.05 |
207 |
0.3110'’ |
|
б |
1.0 |
1.0 |
0.1 |
0,05 |
207 |
0.86' 10-1 |
|
12 |
О* |
0,8 |
0,05 |
О |
3.85 |
0,17 |
-10’ * |
12 |
0.8 |
О.В |
0,05 |
0,1 |
зде |
0,47 |
-1 0 ' * |
12 |
О* |
0,8 |
ода |
0.3 |
3,85 |
0.15 -]0*> |
|
12 |
0.7 |
0.7 |
ода |
0 |
3,85 |
0.87* 10-» |
|
12 |
0.7 |
0.7 |
ода |
0.2 |
3.8$ |
0,82 - Ю-« |
|
12 |
0.7 |
0.7 |
ода |
0.3 |
3,85 |
0.19 |
* 10'* |
и |
0.7 |
0.7 |
оде |
0 |
4.0$ |
КО |
|
и |
0.5 |
0.5 |
0,01 |
0 |
4де |
0.54 |
|
24 |
0.4 |
0.4 |
0,01 |
0 |
4.0$ |
0.5 |
|
209
М$тод позволяет существенно сократить время решения по сравнению с методом Гаусса - Зейд&ля с ускорением и без ускорения (в некоторых с л у ч а я х Ю раз).
При многократном использовании метода для решения однотипных задач целесообразно использовать схему (1.5), (1.6) с периферийной ком пенсацией (1.13), выполнив предварительно оптимизацию парамет ров К, I], <*>,€.
В случае однократного использования метода следует применять схему (1 .5), (1,6) с диагональной компенсацией (1.7).
$ 5.2, Неявные схемы неполной факторизации. Общие положения
В роботах' [7, 8] были введены в рассмотрение неноные схемы неполной факторизации, которые в последнее время широко используются в различ ных облвегях ьитеьвщческой физики. В работе [33] показана их высокая эф ф ектн о сть при численном решении разностного уравнения диффузии нейтронов в и г-геометрии. Поэтому интересно получить такие ехсмы
идня треугольной сетки.
Внастоящей главе рассматриваются неявные схемы неполной фактори* эацки дня решения разностных уравнений диффузии на треугольной сетке. Приводятся квк стационарные, так и нестационарные схемы метода непол ной факторизации.
Исходное уравнение
и = Р |
|
(2 . 1) |
представляется в вида |
|
|
(2 + * ) * = /? + ^ . |
л л |
(2 .2) |
Матрица В выбирается такой, чтобы [* + В могла быть представлена в виде произведения
АА ЛА Л
(1 + Л )= А Л ,5 * . |
(2.3) |
|
Л |
л |
А |
где 5 | |
и |У| - матрицы |
более нростой^сгрукгуры, чем Ь, с единичными |
элементами на главной диагонали, а К — диагональная патрица. Тогда уравнение (2.1) можно заменить системой уравнений:
5 , -I (/г + йр{* -1)] ( (2.4)
которая решается методом последовательных приближений.
Ошибку в Лг-й итерации, получаемой по схеме (2.2). можно выразить
формулой |
|
|
|
||
5<*> = 75 (* -» ). |
|
а (2.5) |
|||
Здесь 5 ^ |
= |
п р и ч е м т о ч н о е |
решениесистемы (1.1); |
Г —ите |
|
рационная матрица, имеющая вид |
|
|
|||
А |
Л |
А - А |
. |
а |
|
т = |
с ь |
* в |
г ' в |
|
(2.6) |
АЛ л А А
Матрица В может быть представлена в виде В = О * Нк где Р - матрица, структура которой определяется выбором вида матриц 5» н $ 1 , а И выби-
21»