книги / Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии
..pdf8. Исследование поверхности отклика. Решение задачи оптими зации. Уравнение регрессии второго порядка, адекватно описываю щее почти стационарную область, исследуют для определения коор динат оптимума. Кроме того, представляет интерес изучение свойств поверхности отклика в окрестности оптимума. При этом обычно переходят от полинома второго порядка, полученного по результа там опыта, к стандартному, каноническому уравнению:
У — У$ ==^11^1 + ^22^2 |
(V.88) |
где ys — значение выхода в центре поверхности; Хи Х2, |
, Xh— |
канонические переменные, являющиеся линейными функциями фак
торов х\, х2, , Xk\ Ли, Л22 , |
, %hh— коэффициенты канонической |
формы. |
|
Первый этап канонического преобразования — перенос начала координат в особую точку поверхности отклика — центр поверхно сти. Координаты центра S определяются решением системы урав нений
ду |
О, ду = 0, |
ду |
= 0 . |
(V .8 9 ) |
дх\ |
д х 2 |
dxk |
|
|
При аппроксимации |
поверхности |
отклика |
полиномом |
второго |
порядка приходится решать систему k линейных уравнений. Если определитель этой системы равен нулю, то поверхность не имеет центра. В этом случае можно или перенести начало координат в точку с наилучшим значением выхода, или совсем не переносить центр. При этом для нецентральной поверхности оптимум будет лежать на границе области определения факторов. Если поверх ность имеет центр, то в него переносят начало координат. При этом в уравнении поверхности исчезают члены, содержащие линейные эффекты и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и -взаимодействиях инвариантны относительно переноса. Второй этап — поворот координатных осей в новом центре таким образом, чтобы исчезли члены с эффектами взаимодействия; сво
бодный |
член инвариантен относительно |
поворота. В результате |
|||||
получим уравнение вида |
(V.88). |
Поверхности |
второго |
порядка |
|||
классифицируются по их каноническим формам |
(рис. 33). |
|
|||||
1. Все коэффициенты |
канонической |
формы |
имеют одинаковые |
||||
знаки. |
Поверхность — эллиптический |
параболоид (рис. |
33, а). |
||||
В центре поверхности |
максимум |
при |
Лгг<0 |
и минимум — при |
Л«>0.
2. Коэффициенты имеют разные знаки. Поверхность — гипербо лический параболоид, «седло» (рис. 33, б). В центре поверхности —г-
«минимакс».
3. Один или несколько (но не все) коэффициентов близки к ну лю. При этом центр лежит далеко за областью экспериментирова ния. Поверхность такого типа называется «возрастающим возвы шением» («гребнем»).
4. Возможен еще вырожденный случай параллельных прямых, который не представляет практического интереса (рис. 33, в).
При ^ 2 2 = 0 (рис. 33, г), перенеся начало координат в точку S (обычно вблизи центра плана), получаем уравнение параболы:
y - y s = * и*1 + *2*»- |
(V.90) |
Перейдем от уравнения регрессии второго порядка для &= 2, полученного по экспериментальным данным
у = Ьо + Ь\Х\ - f - 62*2 4 “ b\2X\X2 4 " ^11*1 4 “^22*^2 » |
( V * 9 |
Рис. 33. Канонические поверхности и их сечения для k—2
к каноническому уравнению |
(V.88). |
Определим |
координаты точки |
|
S — центра поверхности. Для этого |
необходимо |
решить систему |
||
уравнений: |
|
|
|
|
ду |
= О, 2^11*1 4- 6 12 * 2 4- Ь\ — 0; |
|
||
дх\ |
(V.92) |
|||
ду__ |
|
|
|
|
= 0, |
6 1 2 * 1 4- 2622*2 4- h = о. |
|
||
дх2 |
|
|
|
|
Решение системы (V.92) дает координаты центра х\8 и x2s• Под ставив их в уравнение регрессии (V.91), получим значение выход ной величины в точке S—у8. Перенесем начало координат в точку
верхность отклика представляет собой эллиптический параболоид и Л„<0, Яг2 < 0 в центре поверхности — максимум. Параметр опти мизации при Лц>0 и Л.2 2 > 0 максимальное значение имеет на гра нице области исследования.
Если поверхность отклика — гиперболический параболоид:
V ~ У з = *и*1-Х22*1 |
(V. 107) |
и определяются условия, обеспечивающие максимальное значение
параметра оптимизации, |
задаются значениями y > y s при * 2 = 0 и |
осуществляют движение |
вдоль канонической оси Хи имеющей по |
ложительный канонический коэффициент. При этом проверяют вы
полнение ограничения X j = ± a , |
подставляя значения |
|
* i = ± у |
у* ; * 2 = 0 |
(V.108) |
вформулы (V.96).
Вмногомерных задачах поиск оптимальных условий процесса ведут на ЦВМ, используя обычно один из методов нелинейного программирования.
Пример 6 . Получено уравнение регрессии степени разложения флотационногоконцентрата фосфорита Каратау от температуры и содержащихся в фосфорной кислоте примесей:
у = 35,4 + 4,51*3 — 1,3*5— l,5*i +2,66*2*—l»47*g + 1,61*1*4.
Требуется определить условия, соответствующие максимальной степени разло жения ([/max)» при ограничениях, накладываемых сферой с радиусом, равным звездному плечу (табл. 47).
Реш ение. Для определения условий максимальной степени разложения переменные, характер влияния которых ясен из уравнения регрессии, принимаем равными: лг2= + 2 [ х5 = —2 . Влияние концентрации SO3 в фосфорной кислоте представлено в уравнении положительным линейным и отрицательным квадра тичным членами. Оптимальное содержание этой примеси, равное 1,533%, опреде ляем из условия экстремального значения у по *з. При этих значениях факторов *2, * 3 и х5 уравнение регрессии примет вид
^=52,12 — l,5 *i + 1 ,6 1 * 1 * 4 .
Приведем это уравнение к каноническому виду. Координаты центра поверх ности S равны
ду |
|
— 1,5-2*! + 1,61*4 = 0, |
||
дх\ |
||||
|
|
|||
jду_ |
l,61*i = |
0, |
||
6 x |
4 |
|||
|
|
* 1 5 = 0; * 4 5 = 0; ys = 52,12.
Таким образом, центр поверхности совпадает с центром плана. Характеристический полином
РиЫ = |
- 1,5— X |
0,805 |
|
0,805 |
0 - Х |
||
|
P k (X) = Х2 + 1,5Х — 0,64 = 0.
Корни полинома %i= +0,35, Я2= — 1,85. Уравнение в канонической форме:
у — 52,12 = 0,35.Y? — 1,85Х \.
Поверхность отклика — гиперболический параболоид. В сечениях поверхности отклика плоскостями у = const — гиперболы (рис. 34). В центре поверхности — минимакс. Линейное преобразование задается системой:
Xi = 0,920*1 + 0,39*4,
* 4 = — 0,39*i + 0,92*4.
Для определения максимальной степени разложения выходим из минимакса по оси Х\ (коэффициент канонической формы положительный), приравняв Х4 нулю:
ь = ± \ / |
у — 52,121 |
*4 = 0. |
||
0,35 |
, |
|||
|
|
Рис. 3 4 . Гиперболы равного вы- |
Рис. 35. Поиск экстремума при нали- |
|||||
хода |
|
|
чии ограничений |
|
||
Увеличивая у, проверяем при этом |
выполнение условий |
XI = *4^ 2 . Макси |
||||
мальная величина степени |
разложения |
получилась |
равной |
53,5% |
(xi— ± 1,82; |
|
±0,795). |
|
|
|
|
|
|
При увеличении # до 54%.значение Х \ > 2 . В полученных оптимальных усло |
||||||
виях (*i= +1,82; х2= +2; |
х3 =1,533; |
х4 = |
+0,795; |
х5= —2 ) и |
(*1 = — 1,82; |
|
х2= +2; х3= +1,533; х4 ——0,795; х5= —2) |
были поставлены* контрольные опы |
ты. Степень разложения получилась соответственно равной 55,8 и 53,7%. Таким образом, расхождения с расчетными (у=54,7%) лежат в пределах ошибки экс перимента (sv= У 4,466= 2,1).
Если процесс описывается несколькими уравнениями регрессии, приходится решать компромиссную задачу — определять экстре мальное значение одной функции отклика при ограничениях, на кладываемых другими функциями отклика и границами области исследования (рис. 35). Пусть требуется найти экстремум функции
y = f{xi, , Xk), которая зависит от k переменных |
Xj ( /= 1 , |
k), |
|||
связанных в свою очередь соотношениями |
|
|
|
|
|
xk) = 0t |
и = 1, . . . , |
т. |
|
|
(V.109) |
Экстремум, который достигается функцией /(*i, |
, хи) |
с учетом |
|||
выполнения соотношений (V.109), |
обычно |
называется |
условным |
||
или относительным. Аналитически |
эта задача поиска |
условного |
экстремума решается с применением множителей Лагранжа. Фор мально задачу отыскания условного экстремума функции /'можно свести к определению безусловного экстремума функции Лагранжа:
т |
|
Ф {х , X) = / (X) + 2 К<еи (*). |
(V. 110) |
Ы-1 |
|
рассматриваемой как функция k + m переменных, где %и — неопре деленные множители Лагранжа. Примером применения неопреде ленных множителей Лагранжа может служить решение такой ком промиссной задачи. В широком диапазоне изменения параметров исследовали процесс конверсии нитрата кальция и фосфорной кис лоты в твердый монокальцийфосфат и азотную кислоту в присутст вии ft-бутилового спирта [2 2 ]. Был реализован ротатабельный план второго порядка и получены уравнения регрессии вида:
у\ = 60,9 4~14,5*1 “Ь 3,83*з — 4,09*4 4~ 2,14*х*з + 2,71*1*4 +
+ 2,21* 1 * 5 |
4-1, 28*2Х3 — 2,48*з*4 4- 0,6 8 * 2 + 0 |
» х\ + М * 5 , |
(V . 111) |
|
*/2 = 1,682 — 0,85*1 + 0,261*з 4- 0,062*4 |
— 0,041*1*4 — |
|
||
- |
0,034*1*5 + О',032*з*4 — 0,024*2 |
— |
0,015х\, |
(V. 112) |
где у\ — степень конверсии; уч— отношение питательных веществ в
удобрении в пересчете на Р2 О5 |
и N (азот); х\ — концентрация ис |
ходной фосфорной кислоты; |
* 2 — продолжительность контакта; |
х3— норма фосфорной кислоты в растворе; * 4 — объемное отноше ние кислота : спирт; * 5 — температура конверсии.
С учетом ограничений на независимые переменные, наклады ваемых первой стадией процесса — кислотного разложения фосфа тов: Х \ = —2; * 5 = 0, и необходимостью работать с высокой произво дительностью * 2 = 0 имеем:
JJji = 31,9— 0,45*3 — 9,51*4— 2,48*3*4 + 0,68*J;
(V. 113)
1/2 = 2,1-+- 0,2722*з 4- 0 ,144*4 - 0,0235*!* — 0,015*| 4- 0 ,032*3*4.
На соотношения питательных веществ в удобрении по агробио логическим соображениям накладываются ограничения. Необходи мо было получить удобрения с одним из следующих соотношений питательных веществ:
Р205 : N = 1 1
P20 5 :N = 1,5:1
Р205 : N = 2 : 1
Причем предпочтительнее всего получить уравновешенное удоб рение с соотношением 1 1. С применением неопределенных множи
телей Лагранжа решалась задача определения значений хзопт и х40ПТ, обеспечивающих максимальную степень конверсии с ограни чением по соотношению питательных веществ в удобрении. Функ ция Лагранжа
Ф = У1 + 1у2. |
( V . 115) |
Система уравнений для определения оптимальных режимов:
Яф
|
---- = |
— 0,45 + 2,48*4 + х (0,2722 - 0,047дг3 + 0,032дг4) = 0 , |
|
|
|
дх3 |
|
|
|
д Ф |
— 9,51 + 2,48лг3 + * ,36*4 + X (0,144 — 0,03*4 + 0,032*3) = 0, ЧV. 116) |
|||
---- = |
||||
дх4 |
|
|
|
|
|
- ^ - |
= 2 ,1 + |
0 ,2 72 2*3 + 0 ,1 4 4 *4 — 0 ,0 2 3 5 *3 — 0 ,0 1 5 * 4 + |
|
|
|
|
+ 0,032*3*4 -—/(/2 = 0. |
|
Система |
(V. 116) |
решалась на ЦВМ при ограничениях на *з и |
||
х4у накладываемых |
областью исследования: *3 = ± а = ± 2 и |
х4 = |
||
= ± а = |
± 2 ; |
1 ) у2 = 1 |
1; 2 ) у2 = 1,5:1; 3) у2= 2:1. Оказалось, |
что |
внутри исследованной области можно получить только удобрения с
соотношением питательных веществ |
1,5:1 и 2 : 1 . В результате |
расчета имеем: yimax= 61,3% иу2 = 2,03 |
при *30ПТ= 1,7 и*40ПТ = —2,0; |
^тах--4 9 ^5 8 о/0 и ^2 = 1,54 при *з0ПТ = —0,9 и *40ПТ = —2,0.
При определении оптимальных условий процесса иногда воз можна некоторая экстраполяция за границы области исследования. Во всех случаях требуется экспериментальная проверка найден ных расчетом оптимальных условий процесса.
9. Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, ха рактеризующихся несколькими откликами, обычно сбодят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и ха рактера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нели нейного программирования, ридж-анализ [1 0 ] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычис лительные трудности. В частности, при описании поверхности от клика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к. необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним'из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обоб щенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функ ции желательности D. Для построения обобщенной функции жела тельности D предлагается преобразовать измеренные значения от
кликов в безразмерную шкалу желательности d. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значе нием отклика у и соответствующим ему значением d (частной функ цией желательности), является в своей основе субъективным, отра жающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам.
Для построения шкалы желательности удобно использовать ме тод количественных оценок с интервалом значений желательности
от нуля до единицы, хотя возможны |
и другие варианты шкалы. |
||
Значение d = 0 (или D = 0) соответствует абсолютно |
неприемлемо |
||
му значению данного отклика, a d= l |
(D = 1 )— самому |
лучшему |
|
значению отклика, причем дальнейшее улучшение |
его или невоз |
||
можно, Или не представляет интереса. |
Промежуточные |
значения |
желательности и соответствующие им числовые отметки приведены в’табл. 48.
|
Т а б л и ц а 48 |
Базовые отметки шкалы желательности |
|
Количественная отметка |
Желательность значения отклика |
на шкале желательности |
|
0,80=1,00 |
Очень хорошо |
0,63=0,80 |
Хорошо |
0,37=0,63 |
Удовлетворительно |
0,20=0,37 |
уПлохо |
0 ,0 0 = 0 , 2 0 |
Очень плохо |
Такой выбор числовых отметок объясняется удобством вычисле ний, поскольку
<* = 0,63 а <* = 0,37 (V.117)
Построенная в соответствии с табл. 48 шкала d представляет собой безразмерную шкалу, при помощи которой любой отклик может быть преобразован так, чтобы его можно было интерпрети ровать в терминах полезности или желательности для любого спе цифического применения.
^Простейшим типом преобразования служит такое, в котором существует верхний и (или) нижний пределы спецификации, при чем эти пределы являются единственным и не допускающим изме
нений критерием качества. Вне этих пределов |
значение с? = 0,0, |
||
между ними значение d —1. Частная функция |
желательности при |
||
одностороннем ограничении (рис. 36, а) имеет вид |
|||
(0. |
У < Ут\а |
(V. 118) |
|
U. |
У>Ут\а- |
||
|
Аналогичным образом получается частная функция желатель ности, если спецификация задает ограничение сверху. Если для
данного свойства существует двустороннее ограничение, то (рис. 36, б)
^ _|0 . |
У ■< Ут\п и У > Ушах |
U , |
tfmln < У ^ Уmax- |
Всегда желательно, чтобы значение отклика находилось не толь ко между пределами спецификации, но и на определенном расстоя нии от них, чтобы противостоять присущим производственному про цессу случайным колебаниям. Кроме того, довольно трудно бывает провести точную пограничную линию между приемлемой и непри емлемой продукцией. Поэтому в общем случае преобразование у
Рис. 36. |
Простейший случай |
Рис. 37. Функция желательно- |
задания |
частной функции |
сти для двустороннего ограни- |
желательности |
чения |
в d осуществляется по более сложным законам. Для двустороннего ограничения вида
tfm ln К у ^ Уmax
преобразование измеренного отклика у в шкалу d рис. 37 произво дится при помощи выражения
д = ехр[ — ( | у' | )"], |
(V.120) |
где п — положительное число (0<п<оо), не обязательно целое;
У > |
^ У |
(.Уm a x ~Ь Уш1п) . |
^ у |
Ута% Ут\п
показатель степени п можно вычислить, если задать некоторому значению у значение d (предпочтительно в интервале 0,6<d<0,9) по формуле
In In l !d
(V. 122)
in I у' I
Задавая при помощи контрольной точки крутизну кривой жела тельности, можно учесть особую важность отдельных свойств; для