книги / Современные методы и средства балансировки машин и приборов
..pdfРис. 6.5. Функциональная схема ЛБС-3, обеспечивающая автомати ческую балансировку в заданных режимах
ской системой 3 со светово дом, системой подвески ро тора 4 и станиной 5.
Оказалось возможным как в этом станке, так и после дующих разработках, напри мер в станке марки ЛБС-4 (рис. 6.4), управление лазер
ным |
лучом с |
помощью неподвижной |
оптической системы, когда |
|||
луч |
отслеживает |
дисбаланс |
ротора |
безынерционно, а |
элементы |
|
отражателя луча |
расположены непосредственно на этом |
вращаю |
||||
щемся роторе. |
В схеме ЛБС-4 |
(рис. 6.4) балансируемое |
тело вра |
щается электрически независимо от измерительной и компенсиру ющей схем. Это позволило создать схемы станков без традиционных датчиков дисбаланса.
Сущность реализации принципа работы таких станков показана на примере функциональной схемы ЛБС-3 (рис. 6.5). Основными элементами станка являются балансируемый ротор 1, опоры 2, 3, оптические датчики 7, 8, автоматическая система управления энер гией излучения исполнительного лазера 10—12, исполнительный лазер непрерывного действия 6, неподвижная оптическая.система 5, блок слежения за углом дисбаланса 9. Запуск станка в работу осу ществляется с пульта оператора. При этом ротор 1 приводится во вращение, а с ним и поворотная оптическая система 4, отклоняющая луч по законам геометрической оптики. Лазерный луч проходит через центровое отверстие неподвижного сферического зеркала 5, а затем фокусируется на поверхности ротора, двигаясь вместе с ним синфазно и непрерывно, что и создает эффект непрерывной баланси ровки.
6.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ МЕТОДОВ БАЛАНСИРОВКИ ВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС
Воснове физических эффектов, используемых для электрофизи ческих методов балансировки, лежат квантомеханические явления, основанные на взаимодействии вещества с фотонами и электронами сильного электромагнитного поля [28], математическое описание которых приводится ниже.
Вкачестве излучателя энергии, воздействующей на поверхность уравновешиваемого тела, при электрофизической балансировке ис пользуется источник мощного электромагнитного поля [34]. В этом случае математическая модель основана на кинетических уравнениях [12, 27 ], решаемых на ЭВМ в предположении существующих локаль
ных ограничителей системы при достижении порогового зна чения.
Для единичного случая излучения электромагнитного поля вводятся коэффициенты следующего вида:
< 6 Л >
где К — коэффициент усиления излучения; Q — частота генерации; 0 — расходимость луча; /Си — коэффициент усиления накачки.
При этом форма линии люминесценции при излучении аппрокси
мируется функцией Лоренца |
[12] |
|
А |
2 |
1 |
q{Q0, Q) = "gf1Г [4 (Q0 - |
Й)а + (До/б)] * |
где q — коэффициент усиления в функции Лоренца; Дс — ширина люминесценции; 6£— порядковый номер уровня; Д0 — начальные условия уширения; £2 — текущее значение частоты излучения.
Рис. 6.6. Изменение коэффициента усиления оптического резонатора при раз личных параметрах активной среды, рассчитанных по уравнениям (6.1), (6.2):
а — в зависимости от коэффициента пропускания R среды; б — в зависимости от коэффи циента отражения F в свободном многомодовом режиме излучения
В случае непрерывного режима излучения используют классиче ские уравнения, на основании которых построены графики (рис. 6.6):
ё + |
è -(- ©ре = |
|
— |
— (р -)- рф) — |
■Ут0 ^Ссв^р^в! |
|
||||
|
P Н— ÿî— Р + |
CÜ2IP |
" |
2^21®21 |
ДТг. |
|
||||
|
п |
~ |
iyG' |
|
||||||
.. |
I |
I . |
|
, |
2 |
|
|
|
ЛГфе; |
( 6.2) |
Рф + |
~Т~2ф Рф |
г ш21фрф = |
|
|
|
|||||
|
|
N 4 |
|
N — N о |
|
Й<Й21 ре; |
|
|
||
|
|
|
|
TJ |
|
|
|
|||
|
|
N* |
Л^ф — Д'оф |
_ |
2 |
Рфб, |
|
|||
|
|
|
|
(1ф |
|
21ф |
|
где е, е0, еь — оптимальное, начальное и текущее значение энерге |
||
тического коэффициента связи; |
Тр, Т0— результирующее и на |
|
чальное значения температуры |
резонатора; Tlt |
Т2 — текущие зна |
чения температуры резонатора; |
юр — частота |
спектра колебаний |
резонатора; ш21— частота колебаний опор резонатора; р — коэффи
циент |
рассеяния |
активной |
среды резонатора; |
рф — коэффициент |
|||||
фазового рассеяния активной среды; Lp — активная длина |
резона |
||||||||
тора; |
/Ссв — коэффициент |
связи; |
d21 — диаметр |
зеркала; |
й — по |
||||
стоянная Планка; |
N, |
Ыф, |
N0 — инверсная, |
фазовая и начальная |
|||||
населенность уровней |
активного |
вещества. |
начальных условиях: |
||||||
Эти уравнения |
решаются |
при |
следующих |
е|/=0 — Дев Lp(ùp ею;
N |f=o "-С N пор!
Мф |/=о = Л^оф = — N йф,
где Nnoр — пороговое значение инверсной населенности.
Модель импульсного режима излучения (метод пинцетных функ ций). Рассмотрим кинетические уравнения [12] твердотельного ла зера с неоднородным уширением спектральной линии рабочего вещества, используемого в ЛБС в качестве инструмента устранения дисбаланса:
6) = <*(8) 7 (0 ) |
- л (Q, |
0) — « (Q, |
0)mo(0)/(Q, |
Пс) + |
+ Тс |
«(Q, |
0) dQ' - n (Q, 0) |
(6.3) |
|
|
|
|
] • |
|
ditto(в) — On |
n{Q, 0) / (£2, |
Qc)dO T- 1 |
(6.4) |
|
de |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
где Gm„ — неуравновешенная комплексная |
масса. |
|
Здесь и далее в выражениях для коэффициента усиления К (Q, 0) и формы однородности линии люминесценции f (Q, Q). Под Q будем понимать произвольную частоту, а не частоту рабочего перехода, как в выражении для n (Q, 0). Из контекста всегда ясно, какая ча стота имеется в виду. Иначе нужно было бы вводить дополнительную индексацию.
Назначение метода пинцетных функций состоит в приведении уравнений (6 .1), (6.2) к виду, удобному для аналогового моделиро вания. Для этого желательно перейти от системы дифференциальных уравнений (6.3), (6.4), содержащих интегралы по параметру Q, к системе эквивалентных дифференциальных уравнений.
Выражение
K{Qq, 0) = J n(Q, 0)/(Q, n c)d&,
0
входящее в уравнение (6.3), представляет собой безразмерный коэф фициент усиления рабочего вещества на. частоте генерации й с, опре деляемой одной из собственных частот селективного резонатора ла зера. Подобный резонатор, как известно, обеспечивает узкополосную генерацию с перестройкой частоты Йс.
На произвольной частоте Q по определению
оо |
|
|
K(Q, 0) = J |
t/(ü, 0)/(Й, ü)dQ' |
(6.5) |
о |
|
|
Вследствие эффекта «выжигания дырки» в распределении насе ленности п (й, 6) приближенное интегрирование в уравнении (6.5) некорректно, так как форма спектрального провала в функции п (й, 6) определяется однородной линией люминесценции / (й, й с). Однако эту трудность можно обойти, если ввести «обобщенные мо менты» спектральной плотности инверсной населенности
оо
КР(Й, 0) = J п(Й, 6) [g ; g j fP(й, й с) dQ"; р = 1, 2, 3,
(6.6)
и равновесной функции распределения числа активных микрочастиц по частотам переходов:
оо
5Р(Й01 й) = | д(Й0,Й) |
g j f»(Й, Q0)dQ'; р = 1, 2, 3, |
(6.7)
Тогда приближенное вычисление интегралов (6.5), (6.6) и (6.7) становится возможным, начиная с некоторого достаточно большого р вследствие появления «пинцетных» функций /р (й, Йс). Вычисление интегралов (6.6), (6.7) при этом не производится. Вместо этого они рассматриваются как дополнительные зависимые переменные.
Нетрудно видеть, что выражения (6.6), (6.7) при й = й с примут вид
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
Kp(Qe, 0) = |
J п (й, |
0)/р(й, |
Йс)сК2'( |
р = |
1, 2, 3, |
|
||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
Sp (^<ъ й) = |
J g (йр, |
й )fp(й, |
й е) dQ , |
р = 1 , 2 , 3 , |
|
|||
|
о |
рр для К'Р (Й, 0), |
|
|
|
|||
При достаточно больших |
5р (Й0, й) могут |
быть |
||||||
записаны приближенные |
выражения: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
Кр(Й, |
|
(йе, |
0) / (Ос, Й) J fp (Й, |
й с)dQ'; |
(6.8) |
|||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
(Й0, Й)«<7 (Op, |
Йс)f (йс, Й) J fp (й, |
йс) dQ'; |
(6.9) |
|||||
|
|
|
|
|
Ç |
|
|
|
!34
0
oo
Sp(Qo, Qe)*=q(Qo, |
ÛC) J F(Q, Qc) dQ' |
(6 . 11) |
|
о |
|
Для упрощения записи введем обозначение |
|
|
ос |
|
|
% ■ ■ = ] № |
$ c ) d Q ’ |
|
о |
|
|
Используя введенные понятия, преобразуем кинетические урав нения (6.7)—(6.11) в систему, удобную для решения на ЭВМ:
A(Qc, 0) = |
a (0) q (Q„, |
Qc) — n (Qc, 0) — m0(0) n (Qc, 0) -{- |
|||
|
|
+ Vcto(fio. Qc)N (Q )-n(Q c, 0)1; |
(6. 12) |
||
|
N (Q) = a (0) |
- N (0) —me(0) Ki (Qc, 0); |
|
||
Ki (Qc, |
0) = |
a (0) Si (Q„, |
Qc) - Ki (Qc. |
0) - гщ(0) K, (Qc, 0) +- |
|
|
|
+ Tc[Si(Q0, Qc)M (Q)-Ki(Qc, 0)1; |
|
||
A , (Qc. |
0) = |
a (0) Si (Q0, |
Qc) - Кг (Qe. |
0) - Щ (0) K , (Qc. |
0) + |
|
|
+ 7c [S2 (Q0, Qc) K(0) - |
K2(Qc, 0)]; |
|
+ Ye [5р (Q0, Ое) N(0) - Kv (Ос. 0)];
|
|
m 0 (0) = G„Io (0) [/Ci (Qc> 0) - |
11; |
|
|
ii(Q, |
0) ==a (0) <7(Q0, O) — n(Q, Q) — m0(Q) n(Q, |
&)f(Qc, Й)-f- |
|||
|
|
+ VeM Qo. Q)N(Q)-n(Q, 0)1; |
|
|
|
Ri (Q, 0) = |
a (0) (Q0l Q) - Ki (O. 0) - |
m0(0) K, (Q, 0) + |
|
||
|
|
+ Vc[5i(Qo, Q)N(B)-Ki(Q, 0)1; |
|
|
|
|
A P (Q, |
0) = o ( 0 ) S p (Q1Q ) - / C p ( Q > 0 |
) - т о (0)^|>P + |
|
|
+ |
n(Qe, |
0) / (O, Qc) + Vc [Sp (Q0, Q) N(0) - |
Kv (O. 0)]. |
(6.13) |
Число неизвестных равно пяти и совпадает с числом уравнений. Таким образом, эта совокупность уравнений является определенной.
Анализ процессов электрофизической балансировки в спектраль но-неоднородных средах, работающих в режиме одночастотной гене рации, начнем с исследования профиля коэффициента усиления
в стационарном режиме. Для этого воспользуемся уравнениями баланса в стационарном режиме [12]
О = a q(£2) — п (£2) — п (£2) m0f (£2, £2С) +
+ yc[<7 (£2) j п (£2') d£2' — п (£2)];
0 = G,, j п (£2')/(£2', £2c)d£2' - 1 j , (6.14)
где m0 — единичная расчетная масса.
Заметим, что для интегральной населенности N в стационарном режиме может быть записано уравнение
N = а — т0.
Решив уравнение (6.14) относительно спектральной плотности инверсной населенности п (£2), получим
„ Ю\ _ |
q(Q) ( 0 +V c)<*— Д»оУ«] |
(6.15) |
( ) ~ |
(1 +yc) + m0f(Q cQ) |
|
Уравнение (6.15) может быть преобразовано следующим образом:
о
Из этого выражения может быть найдена зависимость, связыва ющая интенсивность стационарной генерации с амплитудой накачки и интенсивностью воздействия:
а = ■ |
|
________ 1___________ |
Ус |
■т0. (6.16) |
|
|
q(Q) |
|
/(Qc. Q')_______ |
1 +Yc |
|
|
l + |
dQ' |
|
||
|
|
[m0/(l+Yc)]/(Pc, ft') |
|
|
При аппроксимации уравнения (6.16) равновесной формы линии люминесценции функцией Лоренца зависимость, связывающая т0 и а (рис. 6.7), имеет вид
\Г\ + АП./1 + ус J[ 4 (й„ - |
Qc)2+ ( 1+ - у ^ - ) ]*+ |
|
|
|||
а = ~^2 ( ' l f ) 2 [ 4(Q,~ |
QcJ8~ |
( 1+ |
Т |
^ у г ) ] + ( '^ L) l |
Ус |
т0- |
|
т0 |
|
+ |
1 + У с |
||
|
i + 7 с |
4 (£20 ~ Я с )2 + |
|
|
||
|
щ |
|
|
|
||
+ |
- V ' |
|
Ус Г |
|
|
|
|
1 + |
|
|
|||
& |
|
|
|
При генерации на центральной частоте линии люминесценции это выражение (при £2С = £2о) переходит в формулу, полученную Я. И. Ханиным Г12];
т0 = а — 1 -f- |
( ? - 1)3 |
( q - l ) Y |
« 7 - О3 |
g + |
Ус |
2 ( У с + 1 ) |
4 (ус — 1)2 |
У с + |
1 |
Рис. |
6.7. |
Зависимость |
коэффициентов |
|
||||
усиления |
Кл (Q) |
от значений |
массовых |
|
||||
параметров т0 и интенсивности воз |
|
|||||||
действия |
излучения а (£2): |
|
|
|
||||
/ — Ki (Q) == о,1; |
2 — ус, (П) = |
0.5; |
з — |
|
||||
Ki (Я) = 0,75; 4 — Ki (£2) = |
0,97 |
|
|
|
||||
В предельных случаях сильной |
|
|||||||
(YC > |
а) и слабой (ус < 1) кросс |
|
||||||
релаксации |
выражение |
для |
ин |
|
||||
тенсивности |
стационарной генера |
|
||||||
ции упрощается: |
|
|
|
|
||||
|
т0 = |
a |
— q; (ус > |
а); |
|
|
||
|
|
|
|
m0 = cx?j(q — I)2 — 1; (ув < 1; |
1). |
Эти выражения определяют зависимость интенсивности генерации от амплитуды накачки при различных параметрах неоднородности q, скоростях передачи отражения Fc и расстройках частоты селектив ного резонатора относительно центральной частоты линии люмине сценции (£2С = Q0).
Из анализа этих зависимостей следует, что пороговая накачка зависит от параметра неоднородности q, причем для любых q и Î20 =
= й 0 ссп° р = q.
Характер зависимости т0 (а) практически линейный за исключе нием небольшого начального участка (рис. 6.7). С увеличением ско рости передачи возбуждения зависимость линеаризуется и стремится к прямой.
Из графиков (см. рис. 6.6—6.8) видно воздействие на генерацию параметров неоднородности: рост пороговой энергии накачки и уменьшение стационарной интенсивности генерации с ростом q. Это говорит об ухудшении энергетических характеристик одноча стотного лазера с ростом параметра неоднородности.
Вернемся к выражению (6.16). Первое слагаемое в нем является коэффициентом усиления на частоте Qc. Нетрудно видеть, что выра жение (6.16), как и выражение (6.6) для коэффициента усиления на произвольной частоте Q, может быть записано следующим образом:
Ki = (Q) = [а(1+ ус) - отоус] J 7 (Q ')-/(Q , ST) dQ'. (6.17;
о (1+ * )+ У (0». O'Jme
Взятие интеграла в уравнении (6.17) весьма трудоемко даже при совпадении частоты генерации с центральной частотой £î„ и приводит к сложному выражению, неудобному для анализа [12]. Чтобы обойти эту трудность, возьмем интеграл в общем виде, воспользовавшись методом неопределенности коэффициентов для сведения его к та бличному интегралу. Расчет же самих неопределенных коэффициен тов заложим в программу для ЭВМ, просчитывающую частотный профиль коэффициента усиления.
Из соотношений (6.16), (6.17) следует, что коэффициент усиле ния Ki (й) может быть представлен в виде
Г |
<7(й0 |
, Q ' ) / ( й ' , |
Q ) |
J |
[H-m,/(l+Ye)l/(fle, |
Û') |
|
Ki (Q) = °- |
------------------------------------ |
. |
(6.18) |
Г<?(О0, G ')-/(Q ', Qç)
J [1 + трУ(1+Тс)1/(Ос. O')
Отсюда видно, что в качестве обобщенного параметра, влияющего на профиль коэффициента усиления, может быть взята величина / 0, называемая приведенным потоком фотонов и связанная выражением (6.18) с амплитудой стационарной накачки и величиной т0.
1й = тo/(l-j-yc), Ус — Fx,
где F — коэффициент отражения; т — время жизни верхнего рабо чего лазерного уровня.
Полученные кривые интенсивности помогают представить себе картину развития спектра генерации и зависимости его от параме тров F и q = (Д0 + ô;)/ôit где А0 — ширина распределения активных центров по частотам переходов (рис. 6.8). По мере роста интенсив ности стационарной генерации «крылья» профиля коэффициента усиления растут и максимумы их удаляются от центральной частоты
которая соответствует начальному q.
Модель непрерывного режима излучения. Для непрерывного режима излучения характерным математическим выражением можно считать уравнение (6.7), представленное в начале параграфа. При этом режиме происходит очень медленное изменение комплексных амплитуд как функций типа е (^), р (t), рф(t) за период колебания, т. е.
ё ~ |
6р(оё, |
ё ~ ôpCù2ë, |
где |
6Р < |
1; |
|
|
|
Р ~ |
бл'-ор, |
p~ô£co2p, |
где |
6Л « |
1; |
|
|
|
Гф Йл. ф®Рф, Рф |
~ бл. фЮ! Рл. ф, |
где |
6л. ф C |
l - |
|
|
||
|
|
Здесь I (/), |
р (t), |
рф (t) |
— ком |
|||
|
|
плексные амплитуды функций s (t), |
||||||
|
|
Р (0> |
рф (О: |
ÔP — величина, |
об |
|||
|
|
ратная |
добротности |
резонатора |
||||
|
|
лазера; |
бл — величина, обратная |
|||||
|
|
добротности спектральной |
линии |
|||||
|
|
Рис. 6.8. Зависимость обобщенного ко |
||||||
|
|
эффициента усиления / 0 от условий |
раз |
|||||
|
|
вития |
воздействия излучения, |
выража |
||||
|
|
ющих |
профиль |
коэффициента |
усиления |
|||
|
|
в значениях F и q |
|
|
|