книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdf
|
|
|
|
И |
|
Рис. 2.2.9. Распределение Мо |
|
|
|||
вдоль |
чечевицеобразпого от- |
|
|
||
верстпя в кнадратпоп решетке |
|
|
|||
ПРИ |
<Л/|2> = 1. |
<ЛГц> — |
|
|
|
|
= |
<Л/«> = |
О |
|
|
|
|
|
|
II |
|
Ш и> = |
1, |
<MiZ> = |
<Л/22> = 0;- <Мп > = 1, |
<1ц> = <Mi2 > = 0 |
и |
<Л/12> = |
1. |
<Л/И> = |
<Мг2> = 0 приведены на |
рис. 2.2.4—2.2.6 |
со |
ответственно.
Кривые Мо вдоль чечевицеобразного отверстия в квадратной решетке (OJI = 2, ©2 = 2г)' даны на рис. 2.2.7—2.2.9.
§ 3. Иптегралыше уравпенпя двоякопериодической контактной задачи изгиба пластин
Постановка задачи. Рассмотрим изгпб решетки со впаянными в отверстия одинаковыми упругими шайбами из другого мате
риала1). Будем |
считать, |
что |
в структуре |
действуют |
средние |
|
(в смысле § 1) изгибающие и крутящие моменты <Мц>, |
||||||
и |
<Mi2 >. Относительно |
границ |
контакта |
Lmn s L(mod oi, ©2У |
||
оставим в силе предложения § 1. |
|
|
||||
|
Задача заключается в |
определении аналитических в |
области |
|||
2 |
функций <р (z) |
и TJ)(Z)> |
удовлетворяющих условиям групповой |
симметрии (1.1.7) и (1.1.8) соответственно, а также аналити
ческих |
в области |
занятой шайбой, функций <po(z), |
фо(г) по |
||
условиям сопряжения на границе контакта L |
|
||||
|
<р(t) + 1Ф(?)+ W ) = Ф1 (0 + *Ф7(i) + гй(0, |
|
|||
® (1 - |
v ){-ш р (0 + |
*Ф<7)+ ф(*)) - |
3>i(1 - |
vi) {-im p ,(t) + |
(3.1): |
|
+ 1ф7(0+1>Г(*У} + ^ |
+ С,, |
Im C = 0, |
|
Здесь Ф , v и £t>u vi — цилиндрическая жесткость и коэффициент
') Для простоты предполагаем, что в пределах каждой фундаменталь ной ячейки имеется только одно включение, коптур которого в пределах основной ячейки П0 обозначим через L.
71.
Пуассона материала пластины и шайбы соответствеппо. Ниже
положим Ci = 0.
Первое граничное равенство в (3.1) выражает непрерыв ность углов поворота при переходе через линию контакта, вто
рое — непрерывность нормальных изгибающих |
моментов и обоб |
||||||
щенных перерезывающих сил. |
|
|
|
||||
Искомые функции представим в виде |
|
|
|||||
|
|
L |
|
+ |
|
z |
s 2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) = 2й J{еЯО - Ь ' (0 + |
m qjfi) £(« — * ) * |
+ |
|
||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ i § P {t)$ >1(t — z)(lt + B z, (3.2) |
|||
|
|
|
|
L |
„ ,— V |
|
|
|
т |
|
1 Г^(0 dt |
|
|||
|
f i W - E u j T ^ r ' |
z e 2 ' ’ |
|
||||
|
^i(z) |
1 f |
Bjp (t) + и»,? (0 - V |
(0 |
Л |
||
|
2ni J |
|
t - z |
|
|
|
|
где |
3 + Vx |
|
|
|
|
|
* ± P |
Их |
|
P |
(1— V) Я> ’ |
|
|||
i - V |
|
|
P - l ’ |
||||
|
|
|
|||||
иг (* + "i)P |
. |
1 + ” |
m. |
|
1 + (Jiij |
||
|
1 - P * |
||||||
|
1 - P |
’ |
11 ” P - 1’ |
|
|
Функции p (t), q(t) и константы А, В подлежат определению, интегрирование ведется против часовой стрелки.
Легко видеть, что функции <р(л) и -ф(и) обеспечивают двоякопериодичность моментов и перерезывающих сил в структуре.
Подставив приращения функций (3.2) в статические условия (1.15), получим систему уравнений относительно постоянных А и В, решение которой имеет вид (2.3) при
a = ~ k jlP W dt-- b = |
dt + p (t)d i}. |
(3.3) |
Условие однозначности перемещений в области 2 |
|
|
|
Im Ь = 0 |
(3.4)! |
выполняется автоматически. Это легко показать, умножив первое краевое равенство (3.1) на d t, проинтегрировав по L и взяв за тем вещественную часть от полученного результата. Поэтому можно положить, что в (3.1) С — 0.
Интегральные уравнения краевой задачи (3.1). Подставляя предельные значения функций (3.2), на L в условия сопряже
72
ния (3.1), получим после преобразований систему интегральных
уравнений Фредгольма второго рода относительно функций p (t)
и q(t)
|
P (to )~ M {p(t)t q(t), |
to) = F i (to ), |
|
|
|
||||
|
Q {to)~ ■ M q (t),p (t), |
to ) = F 2(t0), |
to E Zf, |
(3.5>: |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M { p (t), j |
(!), U - S i f P (0 d Ь |
= |
= = |
[ |
- |
|
|
|
|
|
|
l |
* ( * - * o ) j |
|
|
|
|||
|
- d s J Ш * № - « |
|
|
- U f ^ h ) ) + |
|
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 § J |
= ^ } + ( j . + i 3 . ) t , + i B J „ |
|||||||
N {q ( t) ,p (l),t 0} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2S ^ ,f p W d { 1<T (« — ” 0)J |
|
||||||
Л М - |
_<".!> + < "„> |
1 + B, |
, |
|
|
|
|
|
|
22) (1 - v) (1 — и) |
с |
"Г |
: |
ie® |
(1 - |
v) |
' |
||
Л ( 0 - |
22) (1 — v) (1 — и) |
те1 |
|
|
|
|
|
|
|
Разрешимость системы |
(3.5) |
будет |
|
доказана в |
§ 5. |
|
|||
|
§ 4. Теоремы единственности |
|
|
|
Энергия деформации, накопленная фундаментальной ячейкой структуры, имеет вид [17, 22]
Э = 1 j j ( ^ v ( V 2u;)2 +
по
+ Ф (1 - v) [(d lw f + 2 (ЗДи;)0 + (9 ^ )2]} dx, dxv (4.1)
где интеграл берется по области фундаментальной ячейки По (включая и область, занятую шайбой).
Рассмотрим два решения w\ и ю2 первой основной задачи (1.7) или контактной задачи (3.1), обеспечивающие действие в решетке средних моментов <Мц>, Ш п> п <М\2 >. Очевидно их разность Wo является решением первой основной задачи (соответственно коптактиой задачи) при нулевой внешней на грузке.
73
В сплу (1.14) и положительной определенности функционала (4.1), заключаем
dlw0 = d\wQ= djd2w0 = 0. |
(4.2) |
Из (4.2), (1.3), (1.6), (1.7) и (3.1), приходим к следующим теоремам единственности.
1.Решеппе первой краевой двоякопериодической задачи из
гиба решетки (1.7) при нулевой нагрузке па контурах отверстий и нулевых средних моментах <Mih> имеет вид
ф0 (г) = iez + А, |
ф0 (z) = |
hv |
е — — |
|
|
А, = с, |
+ |
nh, |
(4.3) |
||
где с, |
ci — постоянные, |
фигурирующие в |
граничном |
условии |
|||||||
(1.7), А — произвольная комплексная постоянная. |
|
|
|
||||||||
2. |
Решение второй основной задачи |
(1.6) прп w = dwldn = 0 |
|||||||||
на контуре основного отверстия и нулевых средних моментах |
|||||||||||
<Mik> имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фо(z) = |
iez + |
А, |
фо (z) = —A, |
|
Im е = 0, |
|
|
(4.4)" |
||
где е и А — произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Решение контактной двоякопериодической задачи |
(3.1)’ при |
||||||||||
нулевыхсредних моментах имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
ф0 (z) = |
iez + А, |
Фо (z) = |
Ф1 (z) = ie,z + |
h v |
Ф? (z) = |
dv |
(4.5) |
||||
причем |
|
|
Im e = |
Im ei = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ( l - v ) (» + l) |
A -{- d = Aj -|- d^, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
nA = |
(5 (d1 - |
,h h}) + W {ll_ |
vy |
|
|
|
|||
Постоянные С, C\ фигурируют в граничном условии |
(3.1), ei, |
||||||||||
A, Ai и |
произвольны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. Разрешимость интегральных уравнений (2.10) и |
(3.5) |
||||||||||
Разрешимость интегрального уравнения первой краевой за |
|||||||||||
дачи об изгибе решетки. Очевидно, уравпение |
(2.10) |
при F (t) = |
|||||||||
= 0 соответствует первой основной задаче при /(f) = |
0 и <Мц> =г |
||||||||||
■==(М 22> = <М12> = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приписывая всем функциям и функционалам, соответствую щим решению однородной краевой задачи, индекс нуль, полу
чим на основании теоремы единственности |
(4.3) |
Фо (2) = f n lf “ о W £ (t — z) dt + A0z = |
iez + A, 2 e S . (5.1) |
L |
|
74
Сравнивая приращения левой и правой частей (5.1) при пере ходе от точки п ;2 + (й, (v = 1, 2), находим
а 0= О, Ао = |
ге. |
(5.2)’ |
Введем аналитические в области 2j функции |
|
|
7-ф !(2) = ^ J ® 0(OC(< — * ) Л — |
2 „ |
|
L |
|
|
f (z) = 2TTi f “о (<)* 1 (* - 2)dt + B 0z |
- Ах - |
(5 .3) |
|
|
|
— 2Is f K w |
+ |
(«)}£ (t—z)л. |
|
||
|
|
|
|
i. |
|
|
|
|
На основании |
(2.1), |
(5.3) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
Фо(9 — 7 Ф1 (0 = |
л + |
i40* - |
to0 (*)» |
|
|||
|
г|>0 (£) — - % |
(t) = |
Aj + |
/ о)0 (t) + |
t(a0(£). |
|
||
Подставляя сюда выражения функций <ро(£)* фо(£) из |
(4.3), |
|||||||
приходим к соотношениям |
|
|
|
|
|
* |
||
<Pi (*) - |
(*). |
“Фх ( 0 -----г [лМ О |
+ £®о (0] • |
(5.5) |
||||
Исключая из |
(5.5) ©о (О, получаем |
|
|
|
|
|||
|
—иф! (£)+ |
(£)+ т|3|(£)— 0, |
|
£<=£. |
(5.6) |
Таким образом, регулярные в 2| функции <pi(z) и фГ(х) ре шают первую основную задачу теории изгиба пластин при ну левой внешней нагрузке. Согласно теореме единственности для
конечной области, которая по существу совпадает с |
(4.3), |
эти |
|||
функции имеют вид |
|
|
|
|
|
|
<Pi(z) = /i*, |
i|y1(z) = nh*, |
(5 .7) |
||
где А* — произвольная комплексная постоянная. |
|
|
|||
Из (5.7) |
и (5.1) |
следует, что ©0 (£) = — /А*. Подставляя |
это |
||
значение в |
функции |
(2.1) и сравнивая результат с |
(4.3), |
на |
|
ходим, что |
Cl = 0. В |
силу (2.9) |
заключаем |
|
|
|
|
Л* = ©„(*) = 0, |
|
(5.8) |
что и требовалось.
Разрешимость интегральных уравнений контактной задачи. Очевидно, равенство нулю правых частей системы (3.5) равно сильно условиям (Mik> = 0 (t, А = 1, 2). Поэтому рассмотрим од нородную контактную задачу.
75
Соответствующие комплексные потенциалы имеют вид
|
Фо(*)=“ ай J PO (*)£(* — * ) * |
+ |
A z, |
z e S ' |
|
|
||||||
|
% (z) = 5 3 j |
~ |
*Po( 0 + |
n if l jT ) } £ ( t - z ) d t |
+ |
|
|
|
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 55 J ft <0*1 (» - « )* + *.*. |
<5'9> |
||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
n w - A f - ^ |
” |
+ ? 5 f ~ ^ (,) *■ |
|
|
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании теоремы |
единственности |
(4.5) запишем |
|
||||||||
|
Фо (*) = 2la I |
W С (t - |
z) Л + A 0Z = |
iez + h. |
(5.10) |
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая приращения в левой и |
правой |
частях |
(5.10), |
на |
|||||||
ходим с учетом (3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A 0 = ie, |
оо = |
0. |
|
|
|
(5.11)' |
|||
|
Так как в краевом условии |
(3.1) |
С = С\= 0, |
то |
на основа |
|||||||
нии (2.3), (3.4) и (4.5) заключаем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Во = 0, |
Ао = 0, |
Ь0 = 0, |
е — ei = |
0. |
(5.12); |
||||||
|
Введем аналитические в Si и 2 функции |
|
|
|
|
|||||||
|
7 (р* |
(*) = Ш |
(*.Ро (0 СУ - z ) d t |
+ |
т * л |
z <= 2„ |
|
|
||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
(г) = 2^ J |
(ерТЙ — tp'o (t) + mq0(*)] g(г — z)dt + |
|
|
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
JP o (0 |
(t — z)dt + |
mx, (5-13) |
||||
|
|
% *(z) = |
2i r |
j r |
r ^ ’ |
^ |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m* = - 2 h |
— 2 - , |
m? = — 2dx |
|
|
|
|
76
Разность между предельными значениями соответствующих функ ций из (5.9): и (5.12) на L такова:
|
|
Т Ф* (*)— Фо (0 = гп* + р0 (t), |
|
|
|
||||||
|
|
|
Ф? (О — г-фUt) = |
q0(t), |
|
|
|
|
|||
|
J Ф* (<) — Фо (0 = вро(0 — ip'o (t) + |
m q jj) + m*, |
(5‘14) |
||||||||
|
Ф° (0 — *Ф* (*) = |
е,р0 (i) — tq'o (t) + m a jt ) . |
|
|
|||||||
Подставляя |
сюда |
значения |
ф0 (t), |
фп (t), cpj (/) и ф?(0 |
на |
||||||
(4.5) |
и учитывая при этом (5.11) |
и |
(5.12), |
приходим |
к |
соот |
|||||
ношениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕРо (<) — Ы |
(t) + |
mq0 (t) = у ф* (*) — m l — d, |
|
|
||||||
|
eiM O - |
tq'o(t) + т^~Щ = |фГ (t) + |
dlt |
(5.15) |
|||||||
|
P o (<) = у ф * |
(<) — h — m * , |
q0 (t) = |
у |
(i) + К |
|
|
||||
Исключая в (5.15) ро(£), go (O', получаем |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ф* (t) + |
*Ф* (<) + ФЛО = |
Ф? (О + *Ф?(«) + фГ(0, |
|
|
||||||
® (1 - |
v) { - /мр« (t) + |
1ФЛГ) + ^ЛО} = |
|
|
|
(5.16) |
|||||
|
|
|
= |
(1 — v j (— |
|
(0 + |
*Ф? (i) + |
х|£ (/)}• |
|||
Таким образом, аналитические в областях Si и S функции |
|||||||||||
фЛ2)> |
Ф* (О и Фг (0> фх (О |
решают |
контактную задачу |
об |
из |
гибе бесконечной пластины с параметрами 2Е>\, vi, в которую впаяна упругая шайба, занимающая область Si с параметрами
OD и v. При этом, согласно (5.13), функции |
(2) |
и i|£ (2) за |
|
тухают на бесконечности не медленнее чем UM . |
|
|
|
Такая задача имеет лишь тривиальное решение |
|
||
Ф* (О = Ф* (О = о, |
ф* (2) = (2) = 0. |
(5.17) |
|
На основании равенств (5.15) и (5.17) находим |
|
|
|
p o ( t ) = - h - m * , |
qo{t)=h\ . |
|
(5.18) |
Сравнивая значения функций ф* (z), ф*(х) из (5.17) и (5.13), заключаем в силу '(5.18), (4.5), что po(t) = qo(t)= 0.
§ 6. Изгиб правильных решеток с круговыми отверстиями. Метод рядов
Для симметричных решеток с круговыми отверстиями при наличии силовой симметрии достаточно простое эффективное ре шение можно получить в рядах по эллиптическим функциям.
77
Нет смысла проводить здесь подробные рассуждения при по строении алгоритма решения первой и второй основных задач, так как они вполне аналогичны схеме гл. 1, § 6.
Краевые условия удобно представить в виде
еФ(Г)+ Ф (0 - {?Ф'.С<)'+ Y (t))e2i0 = f ( t ) , t = Xei0, (6.1)
где для первой основной задачи |
|
s |
) |
Iм п + i J Р ($) ds + |
iC{ , Im Cj = О, |
0 |
' |
для второй основной задачи |
|
8 = 4, / (i) = e e j s (д2и> + Шхи>),
Мп й р (s) — действующие на контурах отверстий погонные из гибающий момент и обобщенпая перерезывающая сила, Я, — ра диус отверстия.
Искомые функции представим рядами
Ф (г) = <р' (z) = а 0№— |
<мп> + <м2г> |
|||
4 |
3> (1 + v) + 2 ° |
|||
|
||||
|
22) (1 — v) |
|||
|
V |
|
j**+ « » » + » (I) |
|
— 2 ^ ^ ' |
-------------(2/c-j-1)1 |
|||
|
|
|
^М - у .) (г)
(2* + 1)! • ' ' '
^2fc+2p(2fl) (2)
(2 4 + 1 )1
Iта. oc2h = Im ргл =
Здесь <ЛГ„>, <Л/гг> — средние моменты в |
решетке |
^ 0)* |
Подставляя (6.2) в (1.15), находим |
|
|
O e - a X + M S i P0 = a 2^ + p X |
(6 -3) |
|
где |
|
|
Vi |
° |
1): |
(1 — re) F' |
- i n - |
п= (3 + v)/(l — v)’,
=<j)i Im ©2 — площадь параллелограмма периодов, v — коэфф0" циент Пуассона материала решетки, константы решетки 6i я Yi
определены в приложениях 1 и 2 соответственно. |
_____ |
|||||
В частности, |
для гексагональной |
решетки |
(©i — 2, |
|||
= 2 exp (iJt/3)) постоянные К[ таковы: |
|
|
|
|||
< = |
0, . X j |
Я 1 —V |
гг' _ |
|
ЯП. |
|
41/ 31+ v ’ . |
Л з _ |
2 У Г |
||||
|
|
78
Для квадратпой решетки |
(coi = 2, 0)2 = |
2г) имеем |
|
|
|
|||||||||||
|
К о = О, |
|
К [ |
Я 1 — V |
|
I1 |
™ |
|
|
|
|
|||||
|
|
8 1+ у’ К* |
2 |
4 ’ |
|
|
|
|
||||||||
Разлагая правую часть (6.1) в ряд Фурье (1.6.12)' и подстав |
||||||||||||||||
ляя в краевое условие |
(6.1) |
соответствующие разложения функ |
||||||||||||||
ций |
(6.2), |
приходим |
к |
системам |
алгебраических |
уравнений |
||||||||||
(1.6.13) |
и |
(1.6.14), в |
которых |
для |
первой основной |
задачи |
из |
|||||||||
гиба решетки следует положить |
е = —п, а для второй основной |
|||||||||||||||
задачи |
—е = |
|
1. |
При |
этом |
следует |
|
величины |
<оц> + <С22> |
и |
||||||
<022> — <Оц> |
|
заменить |
|
выражениями |
(—<Л/ц> — <M22>)/iZ>(l + |
|||||||||||
+ v )) и |
(<Л/22> — |
|
|
—v)) |
соответственно. |
|
|
|||||||||
Рассмотрим примеры. 1. Чистый изгиб гексагональной решет |
||||||||||||||||
ки |
(0)1 = 2, |
юг = |
exp(in/3)). Пусть |
края |
отверстий свободны |
от |
||||||||||
нагрузки. а средппе моменты <Мц> = |
<M22> = & , |
<Miz> — 0. |
|
|||||||||||||
Функции |
(6.2) имеют в этом случае вид |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
nrW _ V |
» |
|
(Gft-(-1)! |
|
у |
, |
(6ft —1)1 |
' |
|
|||||
|
|
М 3) - |
jLw b+ z |
|
Z f * |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
|
|
rlw ч |
V |
Л |
(0,1_2)(г) |
|
0,5 |
|
л(1-у) Р2Г |
|
||||||
|
|
l ( z |
) - ^ a Qh |
(6A_ |
1}! |
|
1 + v |
|
4 y 3 (1 + v) ‘ |
|
||||||
Для |
расчета |
напряжений в |
диапазоне 0 < Ж 0 ,6 |
достаточно |
||||||||||||
принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
(0.5) |
X¥(z) = |ЗД26д(2).
2.Кручепие гексагопальной решетки. Пусть края отверстий
свободпы от нагрузки, а средние моменты <Мц> — — |
= 3), |
|||||||
Ш \2> =0. |
|
|
|
|
(z) имеют вид |
|
||
В этом случае функции Ф (z) n f |
|
|||||||
|
Ф (*) = |
2 |
с |
^sfc+a^csh) (z) |
|
|
||
|
! |
(2ft+ |
1)! |
’ |
|
|||
Г (* )“ ^Pafc+a |
(2* + :i)| |
“ |
I— |
- |
21/3 |
|
( 6. 6) |
|
|
|
|||||||
|
|
j^-WpWk+l) (2) |
ac/i = |
0, РвА+з = |
||||
" |
2 a2h+2 |
(2ft+ |
1)1 |
’ |
||||
|
h=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Кривые тангенциального изгибающего момента Me |
в точке В |
контура отверстия для различных случаев нагружения приве
дены на рис. 2.6.1. Кривая 1 |
дает изменение величины MavJSz) — |
||
= |
1/(1—Я), |
кривые 2 —4 |
иллюстрируют случаи Ш и * — |
= |
-<М 22> = .0 |
; <М22> = 0 , |
<Мц> = 0 ; <Ми> = <М22> = ^ соот |
ветственно.
3 Чистый изгиб квадратной решетки (<Bi — 2, 02 — 2с)’. Пусть края отверстий свободны от нагрузки, а средние моменты
<^п> = <^22> |
<Л^,2> ■" °- |
Г1вв/Э |
|
-ф-фвф-
-ф-ф
k \
___К
Рпс. 2.6.1. Кривые изгибающего мо мента Мд /Я ) в точке В контура
кругового отверстия радиусом X в гексагональной решетке (coi = 2,
о)2 = 2ехр (iit/3)); |
J — Моищ/2>“ |
= 1/(1 — X), 2 — <МпУ= -<£**> =
= Ю, 3 — <Л/22> — ф , (МиУ =
= <Л/,2> = О, 4 — <Я„> = <м22> =
\
------- ^
0.5 |
Л |
Рис. 2.6.2. Кривые M ^/SD |
в квад |
ратной решетке («щ = 2, |
со2 = 2i) |
для раалнчных случаев нагружения;
кривая |
1 — |
|
2 — кручение, |
||
<Л/„> = |
— <Л/22> = |
|
<М,2У = |
О, |
|
3 — <Л/22> = |
0 , <Д/ц> = |
<Л/,2> = |
О, |
||
4 - <Л/„> = |
<ЛГ22> = |
0 , |
<Л/,2> = |
О |
Комплексные |
потенциалы (6.2) в данной задаче таковы: |
|||||||
|
|
X4h+2p(4h) ф |
|
|
X4 ^ ( 4 h - l) (2) |
|||
|
___ |
Н4Й+2 ( 4 * - |_ 1 )| |
|
|
« 4ft' - |
(4к - 1)! |
||
|
fc= 0 |
(4 * + 1 )1 |
|
|
|
|||
(Ь/ , |
|
|
|
|
V) р» 2 |
(6.7) |
||
|
X 4h|p(4ft |
2) ф |
Я (1 |
- |
0 ,5 |
|||
Ф (г ) = |
|
(4/г — |
1)1 |
8 ( 1 |
+ |
v) Р гА |
|
1 + V* |
При 0 < Ж |
0,6 решение хорошо описывается приближенны |
|||||||
ми формулами |
|
|
|
я (1 —л>) е ^ 2). |
|
|||
|
Ф «----гЬ (0'*»5 + |
(6.8) |
4.Кручение квадратной решетки. Отверстия свободны от на
грузки, средние моменты |
= |
—(.М22У= ^ , (.М\2У~0. Ре |
шение имеет вид |
|
|
Ф«- = 2 |
а 4^+2 |
^4Л+2р(4Й) (2) |
(4fc + 1)1 |
||
h—0 |
|
|