книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfтде ■
м {“>(<). i»> = & [ ^ ( m) - % * : , ( M)](10 +
+ М ■
h,flf(t)-h(l) — y C t (i) ReJ (щ + £,) a +
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
<au> F t (t) + <o22>F 2 (t) + <a12>p a (t), |
|||||
|
Fj W = ~T C4(0 - |
Cj (t) |
(j = |
l, 2, 3), |
|
||||
A •Cx(0 = |
[2 az2p2Re (ji~ + ^ |
) - |
anq2j Re t + |
|
|||||
|
+ |
k |
2P2 + «left - 2 a ug2 -Re (Л*ц® + R *^ )] Im t, |
||||||
-A * (0 = |
[ 2a22P2 •Re ^ |
+ -1. j |
_ |
a^ |
2_ a12g2j Re < + |
||||
|
|
|
+ [a22Pa - |
2auffa. Re ( 4 n J + |
5 ^ ) ] Im t, |
||||
A •Cs (t) = |
J^2aZ2/?2 -Re ( - ^ + |
j |
— a12p2 — aleg2J Re t + |
|
|||||
|
+ |
[д2оРз + |
«12(73 — 2ang2-Re (A*(i’ + |
5 *JI2)] Im t, |
|||||
A -C , (() = |
j ^ ^ R e |
^ |
|
J R e f - |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
— 2anq2-Re (фдр? + |
ip2pij) Im t. |
||
"Функционалы -ffi(©), -£г(©) |
определены в |
(5.5), функционал |
|||||||
Я з (ш ) - в |
(5.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение алгоритма завершено. Доказательство разрепш-
.мости интегрального уравнения (5.11) будет дано в § 8.
s § 6. Напряжения в решетке с жесткими включениями
Ниже приводим результаты расчетов напряжений на конту рах отверстий для случая й\(£) = «2(£) = 0, L (что соответ ствует ситуации, когда в отверстия впаяны жесткие шайбы).
Расчеты |
проводились для квадратной |
(©i = 2, ©2 = 27), гек |
сагональной |
(о)1 = 2, ©2 = 2 ехр (ijt/З)) и |
косоугольной (© |=2, |
©2 = ехр (Ы /4) ) решеток.
Отверстия и соответственно включения брались эллиптиче ской формы с полуосями R\ и Л2 (ось 2Ri ориентирована вдоль Главной оси ортбтропии £ 1). Материал пластины— текстолит (cii. табл. 3.1.1)'.
Ш
Рос. 3.6.5. Зависимость о™ах/а в Рис. 3.6.6. Зависимость т^^/сг в квадратной решетке при <0|2> = а, квадратной решетке при <аи> = ог
<ап>= <а22>= 0 |
<Оп> = <о22> = О |
Рис. 3.6.7. Зависимость |
в гек- |
Рис. 3.6.8. |
Кривые 6 ? * * /о в гекса- |
|
сагональной решетке при <ац> = |
тональной |
реп^ке при^ <0п> |
а, |
|
<012> = <022> = |
о |
^OIZ/ |
|
ИЗ
э- И. Григолюн, Л. А. Фильштжнскнй
Рис. 3.6.9. |
Кривые т^,ах/ о |
в гекса |
Рис. 3.6.10. |
Кривые о™ах/ст в гекса |
|
гональной |
решетке при |
<ац> = сг, |
гональной |
решетке при |
<ом> = о, |
<Oj2> = (Огг) = |
О |
<0|2> = <ои> = |
0 |
4 0 ,5 .
*.0,3
у№
О |
0,2 |
0,6 |
Л. |
|
|
Рис. |
3.6.11. |
Зависимость о™ах/о |
в |
Рис. 3.6.12. Зависимость т^ах/<7 |
* |
гексагональной решетке при <022> = |
гексагональной решетке пр* <022) |
=* |
|||
|
= о, |
<а12> = <оп> = 0 |
|
= а, <0|2> = <оп> = 0 |
|
41 4
2,5
Рис. 3.6.13. Кривые о™ах/сг в косо
угольной рошетко при <оц> = а,
<Oi2> = <02?) = О
Рис. 3.6.15. Кривые г“ “ / а в косо- угольной^решетке при_ <а„> = о,
Рис. 3.6.14. Кривые а™ат/ а в косо
угольной решетке при <ац> = ог
<<*12> = <022> = О
Рис. 3.6.16. Графики о“ ах/ а в косо
уголыюй д е ш е т к е ^ и ^ <ои> = а.
8* |
1!» |
Рис. 3.6.17. Графики o f ^ / a в косо-
угольной решетке при <022) = а,
<Оц> = <Ol2> = о
Рис. 3.6.19. Кривые а^ ат/а в косо-
угольной решетке при <о12> = о1
< „ „ > _ < * ,> = о
Рис. 3.6.18. |
Графики |
т ^ / с г в косо |
угольной |
решетке |
при <аг»> = о, |
<0ll> = <012> = О
Рис. 3.6.20 |
Кривые |
omaV o в |
косо |
угольной |
решетке |
при W |
= * |
■ «.,,> = < « » > - о |
|
147
Все графики построены в зависимости от основного парамет ра к — 2Ril(Hi для различных значений отношения полуосей эл
липса Я,* = R 2/R V
На рис. 3.6.1—3.6.6 представлены результаты расчетов для квадратной решетки. Графики на рис. 3.6.1—3.6.3 иллюстриру ют поведение величин оолх/о , о?*аУо> А при <0ц> — а Ф О,
Рис. 3.6.21. Кривые т™ * /о в косо
угольной рошотке при <0|2> = о,
<Оц> = <023$ — О
Чо22> = <oi2> = 0. Изменение тех же величин при действии сред
них |
напряжений |
— в ^ 0, КацУ = ( 022^ — 0 показано на |
рис. |
3.6.4—3.6.6. |
|
Рис. 3.6.22. Распределение о,/о вдоль контура кругового включения в гек сагональной решетке при (Он) — о* (° и / — \02»/ — и
Данные расчетов для гексагоиальн'ой решетки представлены па рис. 3.6.7-3.6.12, для косоугольной решетки-на рис. 3.6 .13 -
3.6.21. |
рис. 3.6.22 |
. |
На |
представлены распределения о,/<т по контуру |
кругового включения радиусом R в гексагональной решетке для
116
растяжения вдоль оси Оху (<оц>=а, <012^ = <022> = 0). |
Кривые |
|
1, 2, 3 и 4 относятся к |
значениям Я = 2R/(H\, равным |
0,2; 0,4; |
0,6 и 0,8 соответственно. |
|
|
§ 7. Теоремы единственности
Рассуждения, вполне аналогичные тем, которые были прове дены в гл. 1, § 4, приводят к следующим выводам:
1. Решение первой основной двояконериодическои задачи для анизотропной решетки при нулевой внешней нагрузке, удовлет воряющее условиям инвариантности (1.12), имеет вид
где |
Ф10)(*1) = |
|
+ dv |
Ф-10)(г2) = фг<*2 + ^ |
|
(7.1). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re (di + d2) = 0,5 Re cjt |
(pticZi + p,2d2) — 0,5 Im c,. |
|
||||||
« — произвольная |
веществепная |
постоянная, а величины |
pi IT |
||||||
P2 заданы в (5.4), |
(5.5). |
|
|
|
|
|
|
||
2. Решение второй основной двоякопериоднческой задачи |
для |
||||||||
анизотропной решетки при нулевых |
смещениях на контуре ос |
||||||||
новного отверстия L и равных нулю средних напряжениях имеет- |
|||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.2у |
где комплексные постоянные dy, |
d2 удовлетворяют соотношениям |
||||||||
|
Befpydy + р 2^2) = 0, |
Refold, + д2^г) = 0. |
|
(7.3} |
|||||
Для обоснования этого утверждения подставим функции (7.1) |
|||||||||
в краевое условие |
(1.18) |
при ui = u2 = 0. Получаем, |
используя |
||||||
произвольность Re t, |
Im t, |
равенства |
(7.3), |
а также |
соотноше |
||||
ние Ае = О, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ~ |
|
((Pm Н" Щт) Pm |
[Рт + |
Щт) Pml- |
|
(7.4)- |
||
При ци = р2ь в силу (5.4), имеем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А = |
2айгц1гJ*22 ~~ ^12 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 ^ 2г ' |
|
|
|
|
При |
pal, » силу |
(5.5), получаем |
|
|
|
|
+ 2(А + А)] + (А - A )sl + о*
Таким образом, е = 0 ж приходим к решению (7.2), (7.3).
116
§ 8. Существование решении основных грапичпых задач
Первая краевая задача. Рассмотрим однородное интеграль ное уравпенис (2.14) при N {t) = ‘0. Это уравнение соответствует краевой задаче (1.17) при пулевой внешней нагрузке. Его ре шение обозначим через ©о(*)* а всем функциям и величинам, •соответствующим этому решению, будем приписывать индекс
нуль снизу или сверху. |
|
|
|
|
(7.1)' и формул |
|||||
|
Имеем иа основании теоремы единственности |
|||||||||
( 2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<K0,(zi) = |
4 |
f |
fflo ( 0 ^ - Z |
i ) ^ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-I- |
2 |
Ъ% {zx - Z ij) + |
Alzx= |
ifVzi + |
<h, |
Zt e= 2>(l\ |
g |
|
^ |
w - |
a |
(« П о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2^ |
f ©o (*) 5 (*a - |
*2) *2 + |
ЛзЧ = ipjea, + |
d2, z2e= 0 |
(2>, |
|||
причем |
|
L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
2 |
|
|
|
* |
|
|
Be |
2 |
= |
|
. B e 2 M |
» e T Imc“» |
c" = ) © o ( 0 ^ . |
(8.2) |
|||
|
m=l |
|
|
m = l |
|
|
|
L j |
|
Сравнивая приращения левых и правых частей равенств (8.1) при переходе от точки z к z + и™ (тн — 1, 2) и учитывая соотно
шения Лежандра в аффинных плоскостях 6(1m)(4m) — б§п,ю^т) = 2ni {т = 1, 2), получаем
|
|
а®= |
аа, |
4® = |
А%= ф2с. |
|
(8.3) |
|
Введем аналитические соответственно в областях |
^ 1) и 2>f* |
|||||||
«функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
Ф1 (zi) — 2ш' J ®о (0 С (^i |
2i) |
|
|
||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
у |
Ф2 (ч) - |
gjg J |
I K ( i j - |
|
(01S(*а “ Ч) |
|
(8.4) |
|
|
|
L . |
|
|
|
|
|
|
|
- z, е |
|
|
z%е= |
|
(/ = 1, 2, ..., /с). |
|
|
Разность между предельными значениями функций |
(8.1) |
и (8.4) |
||||||
па L такова: |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф|0)&) - у ф * |
(h) = |
“ о (*) + |
2 |
bj0,£ («I - Чi) + |
+ dv |
(8.5) |
||
|
Фг0) (У ~ 4Ф* |
|
i=1 |
|
|
|||
|
“ |
Н |
® - а©0 (*) + ф2е«а + d,. |
|
<19
|
Подставляя сюда выражения |
ФЙ’ Ы |
из |
(7.1) и исключал |
|||||||||||||
затем функцию ©о(0> находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
©о (0 = 1Ф* (<i) - |
2 |
Ъ% (Ч - |
ъ)\ |
|
(8.6), |
|||||||
|
|
|
_____ |
|
|
|
ь |
j= i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
аФ* (Ч) + ЪФ1 (*,) + Фа (Ч) + |
|
^ |
Ь1 |
Л ~ |
ZIP) ~ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- H |
( ( , - Z 1P)1 = 0, |
!„ = К в ! |
+ (Ц ,1т(, |
i e L j |
0 - 1 , 2 .........к).. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.7> |
Граничное соотношение |
(8.7) |
перепишем в эквивалентной форме- |
|||||||||||||||
2 |
[(1 + |
Щ т )Ф М + (1 + |
^ |
) Фт(«тп)] + |
|
|
|
|
|
||||||||
ТП=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
ъ% [(i - |
fc) i |
(t, - |
*lp) - |
(i - |
fh) С («X — *xp)] = |
0. |
(8.8)- |
||||||
|
|
|
p - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим левую и правую части (8.8) |
на dt и иропптсгриру- |
||||||||||||||||
ем по |
L} |
(j = 1, 2, |
.... |
к). |
Учитывая |
равенства (2.3), |
получим. |
||||||||||
*•»? + |
a i m |
2 |
|
Гт Ч |
« С f t » ) * » ) |
+ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
т=г { |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ |
2* |
2 |
|
( т ш ^ - 1 .1 <‘i “ |
*»■> <“ •} = |
а |
<8'9)' |
|||||
Отсюда |
следует, что |
все |
6® = |
0. |
В |
таком случае, па основа |
|||||||||||
нии (8.6), заключаем, что функции |
Ф^ (zx) |
и ф£ (z2) |
дают ре |
||||||||||||||
шение первой основной задачи при нулевой внешней |
нагрузке |
||||||||||||||||
в областях £bj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение этой задачи таково: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
Фд (2д) = Фде*гд + &!■> |
Фа (z2) = |
ip2* * z 2 + ^ 2 1 |
|
(8.10)1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re (dj + d£) = |
0, |
Re ([д,^ + |
\1гй1) = 0. |
|
|
||||||||
Постоянные (Jj, р2 определены в |
(5.4), |
(5.5), е * — произвольная |
|||||||||||||||
вещественная константа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
значение |
Ф^(«,) |
из (8.10) |
в |
выражение |
(8.6),. |
|||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из равенств |
|
®о( * ) « - р1«а |
+ |
й ;. |
|
|
|
(8.14)? |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
$ |
= 2л7 J |
К |
(0 Лд- |
<М*)* i l |
= |
0 |
(/ — 1, 2, ... , |
к) |
|
120