книги / Основы механики сплошной среды

Соотношение (6.10) называется уравнением, неразрывности. Оно являетя следствием первого постулата, его дифференциаль­ ной формулировкой. В дальнейшем увидим, что все постулаты МСС могут быть сформулированы либо в интегральном виде (для произвольного объёма в любой момент времени), либо в дифференциальном (в любой точке пространства в любой момент времени).

Уравнение неразрывности (6.10) записывают и по-другому. Согласно (6.7)

Таким образом, поле вектора скорости при движении несжимае­ мой среды соленоидально и поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Очевидно и обратное: если скорость удовлетворяет соотношению (6.14), то среда несжи­ маема.

Обратим внимание, что в определении (6.13) фигурирует полная, а не частная производная по времени. Приведём пример

находясь в сечении х\ = хю и наблюдая за частицами, проходя­ щими со временем через это сечение, легко видеть, что сначала шли “лёгкие” частицы, а затем “тяжёлые”, т. е. dp/dt > 0. Дан­

ный контрпример связан с неоднородностью среды по плотное-

—#

ти. Если же материал однороден, т. е. grad р = 0, то равенства

Рассмотрим теперь многофазную сплошную среду [32,39], состоящую из п компонентов, между которыми могут протекать т химических реакций. В процессе реакций состав одних ком­ понентов уменьшается, а других увеличивается. Поэтому, есте­ ственно, закон сохранения массы (6.8) и его дифференциальные следствия (6.10)—(6.12), записанные для каждого компонента, выполняться не будут.

Для моделирования многофазных сред примем, что каж­ дая макрочастица с плотностью р состоит из п микрочастиц (компонентов, так что в каждой точке пространства в любой момент времени присутствуют сразу все п компонентов, каждый с плотностью ра(х, t) (а = 1, . . . . п):

П

массовой концентрацией (или просто концентрацией) компо­ нента а. Обозначив через va(x, t) скорость каждого компонента, определим скорость макрочастицы как скорость центра масс микрочастиц:

(6.22)

Введём также для каждого компонента • вектор диффузионного

Суммируя все п равенств (6.23), с учётом (6.20) и (6.22) получим

где величина vai пропорциональна стехиометрическому коэф­ фициенту, с которым компонент а входит в I -ю химическую реакцию; Jj — скорости химических реакций. Таким образом,

Суммируя п равенств (6.26), придём к уравнению неразрывнос­ ти (6.11), т. е. сумма образований всех веществ в многофазной среде равна нулю:

пп т

Соотношения (6.26) представляют собой уравнения неразрыв­ ности для каждого компонента многофазной среды.

Пользуясь уравнениями неразрывности для многофазных сред, выведем уравнения диффузии

de

Отсюда и следует (6.28).

Вернёмся к понятию силы и рассмотрим элемент массы Ат,

сил в R3 и по размерности совпадает с ускорением (“сила, отнесенная к единице массы”). Характерным примером массовых сил является ускорение сил тяготения, в частности ускорение g силы тяжести. Наряду с массовыми силами будем рассматривать

Мысленно рассечём плоскостью тело, занимающее объём V (рис. 25) и находящееся в равновесии. Удалим одну из частей этого тела, например правую. Чтобы левая часть оставалась в равновесии, очевидно, к плоскости сечения нужно приложить

некоторые силы (рис. 26). Выделим на этой плоскости элементар­ ную площадку ДЕ и обозначим через Д R силу, действующую на неё. Стягивая площадку ДЕ к точке М, получим

площадке с нормалью п и имеет размерность давления (“сила на единицу площади”). Величина S^n\x ,t) не образует векторного поля, так как зависит не только от точки пространства, но. и от площадки, проходящей через эту точку. На последний факт указывает верхний индекс (п).

Для того чтобы найти суммарную силу, действующую на объём V, необходимо проинтегрировать по V вектор Х{х, £), а для нахождения суммарной силы, действующей на поверх­ ность Е, надо проинтегрировать по Е вектор §W (x,t). В по­ следнем случае в каждой точке Е надо выбирать единичную нормаль п(х, £), отложенную в положительном направлении. За­ метим, что

Пусть V — произвольный жидкий объём внутри данного тела, a S — поверхность, ограничивающая этот объём. Назовём интеграл

вактуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём

вП, a Е — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени

vs

т.е. производная по времени от количества движения среды, заключённой в V, равна сумме объёмных сил, приложенных

кV, и поверхностных сил, действующих на Е.

Интегральная формулировка (6.34) — обобщение второго за­ кона Ньютона на сплошные среды.

По лемме 1 (6.18)

В = Ъ2Е2 и С = съЕ ъ , которые направлены вдоль базисных век­ торов в деформированном состоянии (рис. 27). Объём данного тетраэдра равен одной шестой объёма косоугольного паралле­ лепипеда, построенного на А, В

и С, или, согласно (3.55),

Обозначим Ei, Ег, Ез и Е площади треугольников ОВС, ОСА, ОАВ и АВС. Первые три

где — поверхностные силы на координатных площадках Е а . Интегралы по Еа в (6.43) входят со знаком “минус”, ибо внеш­ ние нормали к этим площадкам противонаправлены векто­ рам Е а контравариантного локального базиса деформированного состояния.

Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43)

£2

Устремим высоту h тетраэдра к нулю. Обозначим пределы:

Чтобы разобраться в тензорном характере введённых вели­

чин, предположим, что направление вектора N совпадает с на-

—# {

правлением нового вектора Еа контравариантного базиса, пре­ образующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону

В силу коллинеарности векторов N и Ё0' имеем

-Ёа'

тензорному закону. Иначе обстоит дело с величинами Ра, вхо­ дящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим

Следовательно, величины Р1 преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону.

Разложим векторы напряжений Рг по векторам базиса:

Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коши.

Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трёх координатных площадках в этой же точке.

Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) II постула­ та МСС и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобра­ зуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского-

Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движе­

Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количе­ ства движения (II постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравнения

от времени, но силы инерции pdv/dt пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квази­ статике. В этом случае также пользуются уравнениями равно­ весия (6.59).