книги / Основы механики сплошной среды

Нормальным напряжением crW

—*

на площадке с нормалью N назовём проекцию вектора истинных напряже­

ний S W на N (рис. 29):

a (N ) = g (N ) f i = s W f i = P ÿ N jN i.

Нормальное напряжение представляет собой квадратичную форму, построенную с помощью симметрич­ ной матрицы Pij на компонентах

в фиксированной точке на различных площадках. Существуют ли площадки, на которых касательное напряжение принимает своё минимальное, т. е. нулевое, значение? На таких площадках

Система трёх однородных уравнениий (8.8) будет иметь нетри­ виальное решение лишь в том случае, когда её определитель равен нулю. Это равносильно тому, что сг является решением характеристического (векового) уравнения третьей степени

Здесь Ii, I2,13 — инварианты тензора напряжений Коши Р:

где P* — алгебраическое дополнение P.

В силу симметрии тензора £ все три корня: а ь «гг, 0"з» уравнения (8.9), называемые главными напряжениями, дейст­ вительны, а собственные направления, называемые главными направлениями, взаимно ортогональны. Выразим инварианты (8.10) через <7i, <72 и <73:

/l = <Т1 + £72+ <Тз, I2 = cr1СТ2 + <72С7з + £Тз<71, /3 = С\&2°Ъ‘

(8.11)

Инварианты симметричных тензоров второго ранга уже встречались в лекции 4, где говорилось о том, что любая функция F{I\,l2,h) также является инвариантом. Поэтому вместо I2 часто используют и другие квадратичные инвариан­

Итак, на трёх взаимно перпендикулярных главных площад­ ках, каждая из которых ортогональна своему главному направ­ лению, касательные напряжения равны нулю. Такая тройка пло­ щадок существует в каждой точке среды и единственна, если ci ф £72 Ф <хз ф cri. Если, например, crj = сг2 7^ £73, то на любой площадке, содержащей третью главную ось, касательное напря­ жение нулевое. Если же £Г[ = £72 = £73, то тензор напряжений в данной точке явлется шаровым и T (n>= 0 на любой площадке,

Построим бесконечно малый октаэдр с центром в точке О (рис. 30) такой, чтобы нормали к каждой из восьми его граней имели компонентами числа ± l/i/3 . Грани построенного октаэдра равнонаклонены к главным осям и называются октаэдрически­ ми площадками. Вычислим на них нормальное £7(окт) и каса­ тельное т (окт) напряжения. Согласно (8.13) и определениям (8.5)

жением. Как видно из (8.14) и (8.15), нормальное и касательное напряжения на октаэдрических площадках выражаются через инварианты (8.11) и, следовательно, сами являются инвариан­ тами. Их можно выбирать в качестве линейного и квадратичного инвариантов тензора напряжений.

Поставим теперь вопрос: на каких площадках в данной точке касательное напряжение достигает своего максимального значе­ ния? Очевидно, что на этих же площадках достигает максимума и квадрат касательного напряжения. Исследование удобно про­ водить в главных осях, поэтому с учётом (8.13) формулу (8.6)

с неопределённым множителем Л и, используя (8.16), запишем необходимые условия экстремума:

где a = 1,2,3.

Система четырёх уравнений (8.19) удовлетворяется в ниже­ перечисленных случаях.

а) Na = ± 1, Np = JV7 = 0. Три площадки с такими нормаля­ ми, как уже известно, являются главными. На них неотрицатель­ ная величина T ^n\ действительно, принимает своё экстремаль­

,W | + JV2 = 1.

Предположим, что все главные напряжения различны, и расста­ вим их в убывающем порядке:

Итак, необходимые требования условного экстремума, сфор­ мулированные в пункте (б), реализуются на шести различных площадках, одна из компонент нормали к каждой из которых равна нулю, а две другие компоненты, как следует из (8.22),

док. Заметим, что (т^ ) 2 зависит лишь от квадратов ком­ понент нормали, поэтому эти шесть площадок разбиваются на три пары с нормалями {0, 1/ \ / 2 , ± 1/ \ / 2}, {1/л /2, 0, ± 1/-\/2}, {1/\/2, ± 1 /\/2 . 0}. На ортогональных площадках из одной па­ ры касательные напряжения совпадают. Углы же между двумя площадками из разных пар равны 7г/3, так как косинусы углов между соответствующими нормалями равны ± 1/ 2.

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что ес­ ли все главные напряжения различны, то на указанных парах биссекторных площадок касательные напряжения действительно достигают своих локальных экстремальных, а именно макси­ мальных, значений Т12, Т23, т^, определяемых (8.23). Они но­ сят название максимальных карательных напряжений. В силу предположения (8.21) наибольшим среди них (глобальным мак­ симумом величины т ^ ) является величина

Она равна сумме двух других максимальных касательных напря­ жений:

Итак, напряжение т^ах в данной точке реализуется на пло­ щадках, делящих пополам прямые двугранные углы между пер­ вой и третьей координатными (главными) площадками. Заметим, что касательное напряжение на октаэдрических площадках т^0КТ^ согласно (8.15) и (8.23) выражается через максимальные каса­ тельные напряжения следующим образом:

Для геометрической интерпретации пространственного на­ пряжённого состояния в точке используют плоскую диаграмму, приведённую на рис. 32, а. По оси абсцисс отложены главные напряжения <ть <72, crç и на трёх образовавшихся отрезках, как на диаметрах, построены так называемые круги Мора. В силу (8.23) очевидно, что радиусами этих кругов будут величины Т12, 723, Ti3 (ординаты верхних точек кругов). Если два из трёх главных напряжений совпадают, то три круга Мора вырождаются в один (рис. 32,6), и геометрическая интерпретация по-прежнему будет справедлива. Если же все главные напряжения равны друг другу,

Рис. 32

т. е. тензор напряжений Коши в данной точке шаровой, то круги Мора вырождаются в одну точку на оси абсцисс (рис. 32, в).

Обратимся теперь к плоскости, определяемой первым и вто­ рым главными направлениями тензора напряжений в некоторой точке, т. е. к третьей главной площадке. Оси (Ох1) и (ОХ2) на­ правим вдоль главных направлений. Выберем в данной плоскости некоторый единичный вектор N и ортогональный ему единичный вектор Т (рис. 33):

лекции факт: максимальное касательное напряжение, равное

Пусть теперь ось (Охз) остаётся главным направлением тензора напряжений, а в плоскости (Ох1x2) (на третьей глав­ ной площадке) возьмём систему координат, повёрнутую относи- тельно главных осей на угол а (рис. 33), так что

является координатной, а именно ортогональной оси (Ох\). Пользуясь формулой (8.4), отражающей физический смысл

компонент тензора P = Р^к[ <8>Ц, а также соотношениями (8.29)—(8.32), можно записать

Таким образом, если в данной точке в некоторой системе ко­ ординат известны компоненты PJ J тензора напряжений Коши Р , то по формулам (8.39), (8.40) в этой точке можно вычислить главные напряжения и ориентацию главных площадок по отно­ шению к координатным.

На рис. 34 изображён круг Мора, соответствующий главным напряжениям а\ и а2. Откла­ дывая произвольный угол 2а, отметим точки М\ и Мг, при­ надлежащие кругу. Тогда компо­ ненты тензора Р в системе коор­ динат, повёрнутой относительно главных осей на угол а, геомет­

рически представляют собой указанные на рисунке абсциссы

иординаты точек М\ и Мг.

Взаключение лекции заметим, что в случае малых деформа­ ций тензоры напряжений Коши Р, Пиолы 7Г и Кирхгофа К , свя­ занные соотношениями (7.30), (7.32), совпадают. Действительно,

всилу (4.20) и (5.10)

Л Е К Ц И Я 9

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ

Изученные в предыдущих лекциях основные постулаты уже позволяют рассмотреть некоторые простейшие модели механи­ ки сплошной среды. Напомним, что одно скалярное уравнение неразрывности (6.10)

представляют собой незамкнутую систему четырёх уравнений относительно десяти неизвестных функций координат и времени. Этими неизвестными являются: плотность р, три компоненты вектора скорости v и шесть независимых компонент симметрич­ ного тензора напряжений Коши Р (согласно (6.54) Рг = P^iEj). Симметрия его обеспечивается равенствами (7.7), являющимися следствиями закона об изменении момента количества движения.

Очевидно, что для замыкания системы (9.1), (9.2) необходи­ мо привлечь ещё шесть соотношений, определяющих конкрет­ ную среду. Они называются определяющими соотношениями

и описывают модель сплошной среды.

Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости [20, 23, 26, 35, 46]. Определим её как среду, в которой в любой точке на любой площадке с единичной нормалью N вектор напряже­ ний S W ортогонален этой площадке, т. е.