книги / Основы механики сплошной среды
..pdfИз сравнения (2.51) и (2.52) следует, что |и| = |. По этому в любой точке М вектор скорости направлен по нормали к сфере, проходящей через точку М , т. е. к соответствующей эквипотенциальной поверхности. Линиями тока и траекториями будут лучи, выходящие из точки О. Движение со скалярным потенциалом (2.49) называется пространственным источникомстоком. В случае Q > 0 имеем источник в начале координат
(скорости |
всех частиц согласно (2.51) направлены |
от центра), |
|
в |
случае |
Q < 0 — сток (скорости всех частиц |
направлены |
к |
центру). |
|
|
Поток через поверхность сферы Еа равен
P=I*(",Æ=l 4^ = ^ |S 0| = «, (253)
Еа
где |Еа| = 47га2 — площадь поверхности сферы Е0. Видно, что величина V, равная Q, не зависит от радиуса а и характеризует течение как целое. Эта характеристика называется расходом пространственного источника-стока.
Вычислим теперь оператор Лапласа потенциала ip (2.49):
= - |
Д |
- = - и , |
SXjXj |
О |
X i |
д |
1 |
|
|
|
|
^3 + |
Т5 |
^3 |
|
|
|
|
(2.54) |
|
|
везде, кроме |
г = 0. |
Но исходя из (2.53) и первой формулы Грина (2.46) можно пока зать, что интеграл от А<р по любому шару Va с поверхностью Еа равен Q и не зависит от а.
Таким образом, Д</? — необычная функция: она равна нулю везде, кроме начала координат, но интеграл от неё по любому шару с центром в начале коор
динат равен Q ф 0. Функция Д tp представляет простейший пример
обобщённой функции (дельта функции). (О правилах использова ния дельта-функции см. [42].)
Выберем некоторую кривую, со единяющую точки А и В (рис. 17),
и назовём циркуляцией TAB век
Рис. 17
торного поля а(х\,Х2,Хз) вдоль
этой кривой криволинейный интеграл |
|
Гав = |
(2.55) |
Циркуляция зависит от направления интегрирования, |
и Гва = |
= —Г а в - Если контур С замкнут, то имеем в (2.55) |
|
Гс = ой • dr = ()ai dx |
(2.56) |
При этом положительным считается обход контура С против часовой стрелки.
Если поле a(x\,X2,xz) |
потенциально, то |
по |
определе |
|
нию (2.55) циркуляция Гав равна |
|
|
||
Гав = |
в |
в |
\А. |
(2.57) |
|
■ J * " ч>В - щ |
|||
|
grad <р • dr |
|
|
На плоскости (Охух?) рассмотрим элементарный замкнутый контур С, ограничивающий прямоугольник со сторонами Axj и Ах2 и площадью Д Е3 = Axi Дхг (рис. 18). Так как согласно определению (2.56) с2Гс = сцdxt, то
Тс = АГ = ai Axi + (Û2 + Даг)Ах2 —(ai + A oi)A xi —
- |
а г А х г = А о г А х г - |
A a i A x i = |
А Е 3 . |
( 2 . 5 8 ) |
|
Устремляя |
стороны Axj |
и Дхг к нулю, тем |
самым стягивая |
||
контур С к точке О, получим |
|
|
|||
d r |
= |
~ |
= (rot a) • k3 dE3 = (rot a) • d E 3, |
(2.59) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
(rota)3 = ^ - , |
|
(2.60) |
T. e. каждая компонента ротора векторного поля есть измене ние циркуляции по соответствующему замкнутому контуру на единицу площади, ограничиваемой этим контуром. В этом со-
С
Дхг |
ДЕ3 |
Ci |
|
|
|
|
Дх1 |
|
|
Рис. 18 |
Рис. 19 |
стоит механический смысл дифференциального оператора ro t, определённого с помощью (2.22).
Из формулы (2.59) следует
(2.61)
Направление нормали в (2.61) выбирается так, что с конца вектора п обход контура С виден в положительном направлении. Соотношение (2.61) называется формулой Стокса О, означаю щей, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку (в соответствующем направлении) ротора данного поля через любую поверхность, натянутую на этот контур.
Для векторного поля скорости v (2.61) имеет вид
(2.62)
Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную контурами С\ и Сг (рис. 19). Пусть Сз и С\ — контуры по образующей этой
трубки. Обозначим через |
поверхность, натянутую на С = |
|
= С\ U Сз U Сг U Сц. Тогда, очевидно, |
||
С |
V | Wj '-'2 |
"О/ |
Кроме того, |
|
|
|
|
(2.64) |
') Она справедлива для односвязных областей £.
Обозначая через С2 контур Сг с противоположным обходом, получим
I |
V ■dr = I V ■dr. |
(2.65) |
С' |
|
|
Таким образом, доказана |
|
|
П ер вая те орема |
Г е л ь м г о л ь ц а . |
Циркуляция скорос |
ти вдоль любого контура, охватывающего одну и ту же вихревую трубку, постоянна.
Эта циркуляция называется напряжённостью iw вихревой трубки и служит важной её характеристикой:
= -dr. (2.66)
с
Согласно формуле Стокса (2.62) и первой теореме Гельм гольца величина ъшравна удвоенному потоку (в положительном направлении) вектора вихря ш через любое сечение вихревой трубки. Таким образом, данный поток также может служить характеристикой вихревой трубки.
Утверждение, аналогичное первой теореме Гельмгольца, спра ведливо не только для ш, но и для любого соленоидального
поля. Так, например, если поле скоростей v соленоидально,
—*
т. е. существует векторный потенциал ф (2.25), то величина iv,
iy —J < M f , |
(2.67) |
с
постоянна для любого контура С, охватывающего трубку тока, и представляет собой напряжённость трубки тока. Величи на iv также равна потоку скорости через любое сечение трубки тока.
Вторая т е о р ем а Г е л ь м г о л ь ц а . Вихревая трубка не может начинаться либо обрываться внутри тела, а должна быть замкнутой либо выходить на границу тела.
Действительно, в силу того что поток вихря через любое сечение вихревой трубки постоянен, модуль вектора ш в месте обрыва трубки или стягивания её в одну точку был бы равен бесконечности. В природе замкнутыми вихревыми трубками яв ляются, например, кольца дыма, выходящего из трубы. Водо ворот также представляет собой вихревую трубку, один конец
которой упирается в дно, а другой выходит на поверхность водоёма. Особо опасен смерч — трубка, обладающая огромной напряжённостью и способная, как известно, вырывать с корнем деревья и переносить тяжёлые предметы на большие расстояния. Один конец такой трубки опирается на землю или поверхность океана, а другой уходит в слой облаков.
Возьмём теперь производную по времени от циркуляции ско рости по кривой, соединяющей точки А и В на рис. 17:
d r а в
dt
A |
A |
А |
В |
В |
В |
= | w |
dr 4- |и |
• dv = | щ • dr + ^(|u|g —|г»|^). (2.68) |
A |
A |
A |
Если точку В устремить к А, тем самым образуя контур С, то
И в HU- и из (2.68) будем иметь |
|
-J- фгГ • d f —фш • dr. |
(2.69) |
dt |
|
Равенство (2.69) составляет утверждение кинематической теоре мы Кельвина.
Т е о р е м а К е л ь в и н а . Производная по времени от цир куляции скорости вдоль замкнутого контура равна циркуля ции ускорения вдоль того же контура.
Иногда теорему Кельвина формулируют и для разомкнутой кривой в форме (2.68).
Л Е К Ц И Я 3
ИНВАРИАНТНОСТЬ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Место, занимаемое частицей X в отсчётной конфигурации, описывается соотношениями (1.5), которые представим в виде
?о = ? » « '. «2.е 3. к ) = 4 « U 2.«3.*OA - |
(з -1) |
В актуальной конфигурации место, занимаемое частицей, описы вается соотношениями (1.6), которые теперь представим в виде
г = ffê 1, £2, £3, t) = , £2,f 3, t)ëi. (3.2)
Если материальные координаты £* и лагранжевы координа ты XQ выбраны прямоугольными декартовыми, то расположение индексов (вверху или внизу) у компонент радиусов-векторов rô
иг не имеет значения: .
е= &. 4 = 4-
Иначе обстоит дело, если выбранная система координат является криволинейной. Даже если координатные линии, со ставленные из материальных частиц Xg = const или = const в отсчётной конфигурации были прямолинейными, то в актуа льной конфигурации они, вообще говоря, становились кри выми. В некоторых случаях и в недеформированном состоя нии бывает удобней вводить ту или иную криволинейную
систему координат. Предположим поэтому, |
что линии |
= |
= const (г = 1, 2,3), выбранные в неко |
||
торой точке (3.1) (рис. 20), таковы, что |
||
выполняются условия |
|
|
дх10 |
# 0. |
(3.4) |
|
||
Тогда тройка векторов |
|
|
е; = |
dfo |
(3.5) |
д? |
так называемого ковариантного ло кального базиса отсчётной конфигура ции будет некомпланарной.
Определим теперь ковариантную фундаментальную мат рицу отсчётной конфигурации:
9ij — 9ji — et ’ е3’ 9 — \0ijI Ф 0* |
|
(3-6) |
||
Согласно (3.5) и (3.6) |
|
|
|
|
Ы = |
\ / CQ ' Sa = у/9аа- |
|
(3-7) |
|
Обратная к gу матрица |
дгф |
удовлетворяющая |
соотношениям |
|
|
= |
9« = <Л |
= ^ |
(3-8) |
называется контравариантной фундаментальной матрицей отсчётной конфигурации.
Путём поднятия индексов у векторов ковариантного локаль ного базиса
е* = gl3ëj |
(3.9) |
можно получить контравариантный локальный базис е* от счётной конфигурации. Вообще говоря, он не является голономным, т. е. связанным с какой-либо системой координат. Заметим, что
ег ■е3 = glkgjlëk ■ëj = gtkgjlgki = S\glj = glj, |
(3.10) |
e 4 • ëj = gjkë* • ek = gjkgki = 6/. |
(3.11) |
Рассмотрим произвольное векторное поле а в отсчётной кон фигурации. В каждой точке вектор а может быть разложен по векторам как базиса (3.5), так и базиса (3.9):
а = агё{ = щёг |
(3-12) |
Пусть £1' — новая криволинейная система координат, связан ная со старой £* законом преобразования
|
? = <?(?■?■?)■ |
|
(3.13) |
|
Прй этом |
|
|
|
|
|
д? |
# о . |
|
(3.14) |
|
д? |
|
||
Тогда матрица |
= dÇ1'/д£* |
будет невырожденной в |
каждой |
|
точке и существует обратная ей матрица |
В 1{1= d^/dÇ1': |
|
||
|
А‘) В)Г = ^ - |
V |
? Ï |
(3.15) |
Векторы локального базиса ëÿ |
в новой системе |
коорди |
|||
нат (3.13) выражаются через базис |
(3.5) следующим |
образом: |
|||
_ |
дгЬ _ |
дг0 8Ç |
_ - . ы |
(3.16) |
|
v ~ |
д ? ~ |
др а р |
*в |
||
|
|||||
Разложим теперь вектор а по векторам базиса (3.16): |
|||||
|
а = а?ё(I — ai?ëiBx |
(3-17) |
|||
Из (3.12) и (3.17) имеем |
|
|
|
||
|
о* = В'ус? |
|
(3.18) |
Умножая обе части (3.18) на А?, суммируя по г и учитывая (3.15), получим
А?аг = А3{В\,а? = 6?,а1 = |
а? |
|
(3.19) |
Умножив скалярно вектор а (3.12) на ë f |
|
|
|
a - ë j = a 'g ij = a{Slj = Oj, |
|
|
(3.20) |
в новой системе координат из (3.20) будем иметь |
|
|
|
a,jt = a-ëji. |
|
|
(3.21) |
Учитывая (3.16) и (3.20), получим из (3.21) |
|
|
|
ay = а ■ëjB?, = a |
j |
B |
(3.22) |
Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом и новом базисе, запишем
а — aie* = а,{<ё? = ацВ'^ё^, |
(3.23) |
откуда |
|
е* = |
(3.24) |
Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индек сов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом преобразуются с помощью матрицы Аг{ (контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом — с помощью обратной и транспонированной к Ах\
матрицы Вг{, (ковариантный закон преобразования).
Назовём компонентами тензора (п + тп)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему вели чин aixi2...in3,32"'3m>преобразующуюся при переходе к новой сис теме координат (3.13) по закону (тензорному закону) [48,50]
., |
= В% В% ...В К х |
V ъ* |
|
г\ъ2”л' |
|
х А \ А \ ... |
(3.25) |
Чтобы построить по компонентам |
(3.25) сам тензор (п + |
+ m)-ro ранга — инвариантный объект, не изменяющийся при
преобразованиях (3.13), введём полиаду (п + т)-го |
порядка: |
е 11<8>е*2 ® ... <8>e*n ® ёу, ® ёу2 ® ... ® ёут , |
(3.26) |
как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчётной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при пере ходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону:
е '• ® е *2 ® |
® ёг'п ® ëj>® ëj/ ® ... <в>ëj'm — |
||||
- |
/1*1 |
4*2 |
. Л Ч |
B K B j\ , ... Bjm., eil 0 ei2 ® ... |
|
- |
Л ЧЛ *2 |
Ъп |
J\ |
*?2 |
... ® e tn ® ëy, ® ëy2 ® ... ® ëjm. (3.27)
Символ ® называется символом тензорного произведения. Итак, тензор (п + т)-го ранга а может быть записан в виде
а = а, - .•■,lj2'"jmel1 ® е*2 ® ... ® etn ®
(8) Cj*2(8) ««• ® ^jmm (3.28)
Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих её векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи:
о = aijë* ® = a ië 1<g>ëj = alyëi <g>eJ = a1Jëi ® ëÿ. |
(3.29) |
Тензор J, |
|
X = S*jëi <8>e* = êî ® e* = piye1 <g>eJ — glJëi ® ëÿ, |
(3.30) |
называется единичным тензором второго ранга.
Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а ска ляр — тензором нулевого ранга. Не всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, кова-
риантную фундаментальную матрицу (3.6). Ясно, что |
|
|
Si'j' = êi' ■lj' = |
■ëj = B'jBB.ÿij. |
(3.31) |
и определитель д' матрицы (3.6):
j'= ( d e t|B V I ) 2». |
(3-32) |
хотя и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорно му закону, т. е. скаляром не является.
Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе Аг\, может быть записан с помощью символов Леви-
Чивиты следующим способом: |
|
|
М = |
■ |
(3.33) |
Следовательно, символы Леви-Чивиты, вообще говоря, не яв ляются компонентами тензора третьего ранга. Однако величи ны y/gcijk и бijk/y/g при переходе от одной криволинейной сис темы координат к другой преобразуются по тензорному закону.
Выберем три вектора da, db, de:: |
|
|
|
|
da = da1Si, |
db = db?ëj, |
dc — dckëk, |
(3.34) |
|
имеющие длины |dd| = |
у/g-.j dai da?, |
\db \ = |
у/gij db* db?, |
|dc| = |
= y/gij dc* dti>. Рассмотрим выражения для |
скалярного, |
вектор |
||
ного, тензорного и смешанного произведений этих векторов. |
||||
а) Скалярное произведение |
|
|
|
|
da-db — g i:j dai db?. |
|
(3.35) |
||
б) Векторное произведение. Используя компоненты тензоров |
||||
Леви-Чивиты, получим |
|
|
|
|
dax db= y/g€ijkdal db? ek = |
e*?kdai dbj ëk. |
(3.36) |
y9
Векторное произведение da x db совпадает с векторным элемен том площади параллелограмма, построенного на векторах da и db. Поэтому
|
d Е о = |
оп = у/g бу* do* db? ek, |
(3.37) |
|
(dXjQ)Qf ~ |
Ti/Q-dXjQ — ^9 Zijada db?, |
|
|
|
||
где n = nkek — единичная нормаль к площадке |
в отсчётной |
||
конфигурации. |
|
|
|
в) |
Тензорное произведение |
|
|
|
da® db = da* db? ëi® ëj. |
(3.38) |
|
г) |
Смешанное произведение |
|
|
|
(da x db) |
de = у/ g e^da* db? dck. |
(3.39) |