книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfВ частности, если ТУ = 1, то получим линейную теорию вязко-упруго- сти, при N = 3 имеем кубичную теорию вязко-упругости, обратные соот ношения которой подробно исследовались в предыдущем параграфе.
Если материал не является несжимаемым, а изменяет свой объем по линейному упругому закону, то к соотношениям (38.15) следует добавить еще соотношения
о = К0, |
0 = о/К, |
(38.17) |
где К — объемный модуль сжатия. |
|
|
Все соотношения, |
выведенные в этом параграфе, основывались на оп |
|
ределении квазилинейной теории вязко-упругости, данном в |
§31. В это |
определение входит обязательное выполнение условий взаимности (28.7). Если эти условия не выполняются, то из квазилинейности (тензорной ли нейности) соотношений (29.3) изотропной теории вязко-упругости следует, что в уравнения связи между напряжениями и деформациями входят в ка честве инвариантов не только скалярные степени тензоров деформаций или напряжение первого и второго порядков (которых было бы достаточно в случае квазилинейной теории), но, вообще говоря, и скалярные степени этих тензоров порядков 3, 4, 5 и 6. Это обстоятельство сильно усложняет теорию. Можно определить квазилинейную теорию вязко-упругости без выполнения условий взаимности как теорию, основанную на соотноше ниях (29.3) изотропной среды, в которой выполняются следующие предпо
ложения |
(ср. § 31): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) соотношения, связывающие напряжения и деформации, квазили |
|||||||||||
нейны; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) эти соотношения содержат только скалярные степени (не выше вто |
|||||||||||
рой) тензоров напряжения или деформации. |
являщтся |
||||||||||
Тогда |
получим |
соотношения, |
частным случаем которых |
||||||||
(37.1), |
(37.4) |
оо |
|
|
оо |
у. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
е = к п а + |
2 |
Кп1оп + |
2 |
2 |
К пр+1<дп~2рзР, |
|
||||
|
|
|
71=2 |
|
|
71=2 р=0 |
|
|
(38.18) |
||
|
|
|
|
ОО У+у. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7+ — 7^12^0 |
2 |
2 |
К п^ |
2р+1§р 1/)а |
|
|||||
|
|
|
|
71=2 Р=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
оо |
у. |
|
|
|
|
|
а = гие + |
2 |
Гщв» + |
2 |
2 |
Гпр+10 п-22> , |
|
||||
|
|
|
71=2 |
оо |
у+у. |
71=2 р=1 |
|
|
(38.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7>а = Ги2>, + |
2 2 Гпр+1ь0п“2р+1еР-1/>е. |
|
||||||||
|
|
|
|
п—2р—1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
наглядности |
распишем несколько членов бесконечных сумм |
|||||||||
(38.18) |
|
и (38.19) аналогично записям (37.3) и (37.6) |
|
||||||||
|
Е = К цо! + |
|
+ |
А21О2/ + |
К 22в1 + А2з077о |
|
|||||
|
|
+ А 31С3/ |
+ К 32@81 + |
Азз©277о + |
А 34-9-/+ + |
|
|||||
|
|
+ КцсЧ + А420 25/ + К ,3зЧ + |
А440 3/>о+ Я«0дг>о + |
|
|||||||
|
|
+ К ъхсЧ + А52©35/ + К 53@зЧ + К м@*Ва + А550+ Я а + |
АБ652/>а+ |
||||||||
|
|
+ .................................................................................... |
(38.20) |
||||||||
|
|
|
$ = Г ц б / + Гхг-Ое + Г21е2/ + Г22* / Ч* Г «0/> . Ч
Ч Г3183/ Ч~ Г320 * / Ч Г3302.Ое Ч 1 мвВг Ч
ЧГ4х84/ вЧ“ Г*42020/ Ч Г43е2/ Ч Г*4403-Ое Ч Г^О&ОеЧ
ЧГб18б/ Ч Гб203в / Ч* Гб30в2/ Ч Г5404,Ое Ч Гб502^Ое Ч Гбб^^е Ч
Резольвентные нелинейные |
ядра |
Гпгп (2, тх, . . ., тп) (тп- = 1, 2, . . |
|
п Ч- 1) находятся по изложенному |
выше способу после выполнения п |
||
приближений |
|
|
|
Г21 = |
— Г117Г21Г11Г11, |
|
|
Г22 ^ |
|
|
|
Г23 = |
— Г12^ 23Г11Г12, |
|
|
131 ^ |
— Гп ^ зхГц Гц Гц Ч 2 Г^А^Гхх (Гп^гх! цГхх)» |
||
^32 = |
Г и ^ з А Л Л * |
Ч Ги Я 21Ги (Ги ^ мГ12Г1а) Ч |
|
Ч 2Г4 А22ГХ2(Гхг^ггГххГхг)) |
(38.22) |
||
Гзз — -- Г12^ЗзГх1111Г12+ Г12А23ГХХ(Гх2^23^Х1Г*Х2) Ч |
|||
+ Г12^2зГ12(Гх1^21Г11Гх1), |
|
||
Г34 = |
— Г12А34Г12Г12112 Ч Г12А23Г12 (ГХ2А2зГХ2ГХ2), |
Для случая несжимаемой среды справедливо условие (38.1), причем связь между напряжениями и деформациями устанавливается с точностью до функции давления р (38.3). Поэтому из (38.18) следует, что в этом слу чае справедливы соотношения (38.6). Все остальные ядра К пт (г, т;х, . . ., тп), входящие в соотношения (38.18) — (38.20), будут отличны от нуля. Поэтому соотношения связи между напряжениями и деформациями квази линейной теории вязко-упругости без выполнения условий взаимности для несжимаемой среды будут иметь вид
ОО V
Яе = 2 2 к птр ™ т*зт-Ю0. |
(38.23) |
7 1 = X 772=1 |
|
Для того чтобы обратить соотношения (38.23), воспользуемся методом, из ложенным в § 34.
Оператор О (5*), входящий в выражение (34.38), представляет собой правую часть (38.23), т. е. является скалярным оператором от /)0, завися щим от функции давления р, как от параметра. Применяя схему последо
вательных приближений, считая известным линейный оператор Г1Х, резоль вентный по отношению к линейному оператору Ахх, получим
СО V
= 2 2 Тптр ^ т^ з т^ О г> |
(38.24) |
72=Х т = Х |
|
причем нелинейные резольвентные ядра релаксации Гпт (2, тх, . . ., тп) находятся по известным нелинейным ядрам ползучести
К пт |
^1» • • •* ^ п ) (Ц — 2, 3 , |
ОО^ 771 — 1, 2, |
V = [(/I -{- 1 )/2 ]) |
и линейному ядру Гп (2, т) в квадратурах
Г21 — — Гц ^ хГц , |
|
|
Г31 = |
— Тц К ^ Т ц + Г х^агГ и ^хГ и , |
(38.25) |
^32 = |
— Ги-^згГцГц Гхх, |
|
а полная запись, например, первой строки (38.25) такова:
г*
Г*21 (^» ^1) ^г) ^ |
5 ^'11 |
^21 (^» ^1» л) ^11 (л» ^г) ^Л* |
(38.26) |
та т*
В заключение заметим, что соотношения квазилинейной теории вязко упругости, квадратичной подевиаторам (31.11), в случае несжимаемой сре ды превращаются в соотношения линейной теории вязко-упругости. Если же рассмотреть квазилинейную квадратичную по девиаторам теорию вязко упругости без выполнения условий взаимности, то на основании приведен ного выше анализа уравнения связи между напряжениями и деформация ми этой теории будут иметь вид
Яе = 2 К прп~1Оа,
7 1 = 1
(38.27)
ОО
= 2 Гп/>«-70е
7 1 = 1
или
|
г |
I |
|
|
ен (1) = |
\ к |
{ |
р (т); * — т} |
(т) ах, |
|
0 |
т=0 |
(38.28) |
|
|
1 |
г |
|
|
8а (О = |
$ г |
{ |
Р (т)>1 ~ |
еи (т) йт> |
|
О |
т=о |
|
|
т. е. сводятся к уравнениям линейной теории вязко-упругости, в которых ядра К{р (т); I — т} и Г{р (т); I — т} являются функционалами от функ ции давления р
I оо I I
К |
{ |
р{ т); I — т} = |
2 |
$ • |
• |
•$*»(*. *1. т2.. • • . тп)р (т 2) . . . |
|
т=0 |
71=10 |
|
о |
||
|
|
- • |
• Р ("Гп) Йт2 . .. йхп, |
|||
|
|
|
|
|
|
(3 8 .2 9 ) |
|
^ |
|
оо I |
I |
|
|
г |
{ |
р СО;1— т} = |
2 |
$ • |
• |
• $ гп {I, тх> т„ . . . , тп) р (х%) . . . |
|
Т=0 |
|
71=10 |
|
|
О |
|
|
• • • Р Ю |
йт2 . . . йхп. |
§ 39. Главные теории вязко-упругости несжимаемой среды
Нелинейные ядра релаксации Гп (*, т*, . . т;п) и ползучести К п (г, тх,...
. . . , тп), входящие в соотношение (38.9) и (38.13) квазилинейной теории вязко-упругости для несжимаемых материалов, могут иметь сингулярные составляющие в виде 6-функций, что нетрудно установить на основе тех же рассуждений, какие были использованы при выводе соотношений § 30. Поэтому эти нелинейные ядра могут быть представлены в виде (30.6)
|
КчшМ (^ ^1» • • • »Тп) — 2 |
К^т+Ийи.Л |
(%)••• $гдзя {х )ч |
||||||
|
(^*<2» ]^ |
|
1» |
. . . |
, 72.), |
Рг0.?0— 1, |
|
(39.1) |
|
где использованы обозначения х — из (30.4) |
и |Зг/- {х) — из |
(30.5). |
|||||||
Как уже было ранее определено, главной частью ядер К2т+1 (I, ть ...,тп) |
|||||||||
называются |
два последних слагаемых в правой части |
выражения |
|||||||
(39.1), |
т. е. из |
всех |
объектов, входящих в (39.1), в главную |
часть ядра |
|||||
# 2 т + 1 |
(*! Т1 > • |
• |
•» *п) |
ВХОДЯТ |
объекты |
|
|
||
|
ту 2 т |
. . . |
. |
ТЖ 1Г27П+1 . |
|
(39.2) |
|||
|
А 27ПН1 |
г1]и..г2т ]2т \^ ) & |
^ - 2т |
+1 иП...г2т ^ ]2т+1' |
|||||
Аналогично (39.1) можно представить и нелинейные ядра |
релаксации |
||||||||
■^,2утг+1 |
И» • |
• |
•» ^7г)* |
|
|
|
(38.9), в которых учитыва |
||
Теорию, базирующуюся на соотношениях |
ется только главная часть ядер ползучести (39.2), назовем главной квази линейной теорией ползучести для несжимаемой среды. Теорию, основные соотношения которой имеют вид (38.13) и в которых учитывается только главная часть ядер релаксации, назовем главной квазилинейной теорией релаксации для несжимаемой среды.
Ввиду |
того что объекты (39.2) обладают симметрией по |
каждым ин |
|
дексам |
)к и до каждой паре |
индексов 1к]к, ц]1 (к, I = |
1, 2, ...,2т, |
2т + 1), |
независимых компонент |
этих объектов для каждого т лишь не |
большое число. Учитывая это обстоятельство, а также симметрию ядер
Агт 11 |
(I, |
• |
• •» |
|
|
Г2?г?- 1 (^> |
для |
• ••* |
Т'ът-Ь 1)1 ПОЛуЧИМ |
ДЛЯ |
ГЛаВНОЙ |
||
квазилинейной |
теории |
ползучести |
несжимаемой среды уравнения |
||||||||||
связи |
между |
напряжениями и деформациями в следующем виде |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
еИ(«) = |
{ ^ - |
+ |
2 |
[ # 2 т +1«т |
(*, 0 ] |
+ |
$ А ({, г ; |
5) й т } *«,• ({) -I- |
|
|||
|
|
|
I |
|
т —0 |
|
|
|
о |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
$ |
(* ~ |
т) + в (*» |
8)1 8и (т) |
|
|
|
(39. 3) |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь функции инвариантов |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ОО |
2 т п - 1 |
|
[ ( 2 —1 ) / 2 ] |
Я { 2 ( 1 — 2Щ |
тп\ |
|
|||
|
А (*, т; 5) |
2 |
2 |
к «1+1ц - г) |
у |
|
X |
||||||
|
|
~к\(1 — 2к)\ (т |
к — /)! |
||||||||||
|
|
|
|
т ~ 1 |
1=о |
|
|
/с=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
I) 81~2к(2, т) 8т+к-1(т, т), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
оо |
2т |
|
[I/2] |
|
|
|
|
|
|
|
В ((, ■ ,;»)= |
|
|
|
&=о |
1 г / Й № |
Т Т = ч Г * ‘ <м ) х |
||||||
|
|
|
. т=1 ;=о |
|
|
/ \ 1 |
/ |
|
|||||
|
|
|
X 5^2Лг(^, т) 8т+к-1(Т, Т), |
|
|
|
|
|
(39.4) |
х) Некоторые теоремы, касающиеся получения соотношений (39.3), даны в [85].
где функции ^{x} и [х] означают: |
|
|||
д{х} |
(1 при |
х — О, |
|
|
\ |
. |
л |
|
|
* |
(# при |
#^>0; |
|
|
|
(целая |
часть от |
при а: 0, |
|
^ |
[0, при |
х ^ |
0. |
(39.5) |
|
Аналогично, соотношения связи между напряжениями и деформациями главной квазилинейной теории релаксации для несжимаемой среды будут иметь вид
оо I
«у (*) = |
{20 + |
Ц 1Г2т+1ет (I, *)] + $ АГ (*, Т; в)<*г} ^ (*) + |
|||||
|
1 |
т=1 |
|
0 |
■ |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
+ |
5 1Г (* — т) + н (*>т; е)1 |
|
(т) йт. |
|
(зэ.б) |
||
где |
|
|
|
[(^1)/2] |
|
|
|
|
|
оо |
2 т - 1 |
|
|
||
« ( | . г . ^ - 2 |
2 г а « ( * - х ) |
2 |
|
X |
|||
|
|
тп=1 2=0 |
|
/1=0 |
|
I)1 |
|
|
|
X ек(<, <) ег_2ж (<, т) ет+к~1(т, т), |
|
(39.7) |
|||
|
|
со |
2т |
VI2] |
|
|
|
* ( « , т ; « ) = 2 2 е 1( * - . ) 2 ^ й Ц |
, |1 X |
||||||
|
|
т = 1 |
/ = 0 |
7с= 0 |
|
|
|
|
|
X е* ($, г) е1~2к(г, т) ет+ м |
(т, т). |
|
|
Соотношения, обратные по отношению к (39.3) (или, соответственно к (39.6), не являются, вообще говоря, соотношениями главной теории. Одна ко в некоторых частных случаях, например при выполнении условий тео рем 1 и 2 § 36, соотношения (39.3) и (39.6) являются взаимно обратными и называются уравнениями связи между напряжениями и деформациями главной квазилинейной теории вязко-упругости для несжимаемой среды.
Естественным обобщением соотношений (39.3) будут
еЦ(*) = {(1/2 О) + Ах [в (г, *)] + 5 А 2[г—т; 5{1,1), 8 (1, т), 8 (г, т)] йт| х
1 |
0 |
^ |
|
I |
|
X «у (0 |
-!- ^ {К (I — т) + |
А3\1 — т; 8 (I, *), |
|
|
0 |
|
|
5 (*, т), 5(т, т)]} 8Ь (т) йт. |
|
(39.8) |
|
Точно так же для (39.6) имеем |
* |
|
|
|
|
(39.9) |
|
8ц (0 = {2о |
+ М г [е Ц, 01 + |
^ М 2 (I - т; е (I, I), |
|
|
г |
0 |
|
|
|
|
е (I, т), е (х, т)] йт| ец (0 + ^ {Г (I — х) +
}6
+ М в [1 — х\е (*, *), е (*, т) е (т, т)]} |
(т) йт. |
Если при мгновенном нагружении материал ведет себя как линейно-уп ругий, то соотношения связи между напряжениями и деформациями глав ной квазилинейной теории ползучести с мгновенной линейной упругостью
для несжимаемых сред будут иметь вид
ооX
ец (*) = (!/2 |
«у ( ( ) + 2 |
5 ^ 2то+1 {I — х) 5та (*, Т) «у (Т) йх. |
(39.10) |
|
7 7 1 = 0 |
0 |
|
Соотношения главной квазилинейной теории релаксации с мгновенной ли нейной упругостью для несжимаемых материалов таковы:
ооX
«у (*) = 2Оец (0 + 2 |
§, г 2т+х (* — х) ет(г, т) е1} (х) йх. |
(39.11) |
7 7 1 = 0 |
0 |
|
Все рассуждения об обращении нелинейных соотношений главных |
теорий |
вязко-упругости, приведенные в § 36, остаются справедливыми и для соот ношений этого параграфа.
Если отказаться от выполнения условий совместности и определить главную квазилинейную теорию вязко-упругости на основе уравнений (38.23) и (38.24), то соотношения главной квазилинейной теории ползуче сти для несжимаемой среды без учета условий взаимности будут иметь вид
|
х |
|
«и (0 = {2С + Вг [в (*, I), р (*)] + |
§ #2 [I — т; 8 (I, I), 8 (*, х), |
|
1 |
0 |
|
X |
|
|
8 (Т, X), р («), р (Т)] Йт} 8у (*) + ^{ К (I — Т) + |
|
|
Ь Вя\г — х; 8 (г, Ь), 8 (I, т) 8 (т, т), р ((), р (т)]} 8у (т) йх, |
(39.12) |
а соотношения главной квазилинейной теории релаксации для несжимае мой среды без учета условий взаимности будут таковы:
|
|
* |
|
8у (0 = {20 + |
[е(г, I), р (01 + $ N 2 Ц - т; е («, I), е{1, х), |
|
|
1 |
|
О |
|
|
|
X |
|
е (т, т), р ((), р (т)] йх\ еу (*) + |
$ {Г (* — т) + |
|
|
|
у |
о |
|
+ N 3^^ — x;е {I, *), е (*, т), е (х, х), р (*), р (т)]} ец (т) йх. |
(39.13) |
Если материал ведет себя как линейно-упругий при мгновенном нагру жении, то уравнения (39.12) превратятся в
х
еа (0 = (1/2 (*) 8ц(0 + ^ К (^ — т) 8ц (т) йх
о
х
+ $ в |
— х; 8 (т, т), р (т)] 8у (т) йх, |
(39.14) |
о |
|
|
а уравнения |
(39.13) запишутся в виде |
|
|
х |
|
8«(0 = 2Сву (0 + $ Г (< — х) ву(т) йх + |
|
|
X |
0 |
|
|
|
|
+ 5 N [* — х; е(г, т), р (т)] «у (х) йх, |
(39.15) |
О
где р (I) — функция давления (38.3). Причем, явный вид функций В и М, входящих в (39.14) и (39.15), соответственно
оо[(п+1)/2]
ВЦ — т;$(т, х),р(х)\ = 2 Т: Кпт(* — *) рп~2т+1(т) зт^ (х, т),
71=1 771=1
(39.16)
оо [(П4-1)/2]
N[^— х;е(х, х), р(-г)] = 2 |
2 Гпт (« — т)рп-2т+1( т ) т ) . |
71=1 |
771=1 |
В заключение заметим, что уравнения главной кубичной теории вязко упругости с мгновенной линейной упругостью являются частным случаем уравнений (39.10) и (39.11), в которых нужно взять только по два первых слагаемых бесконечных сумм
|
г |
г |
|
еИ |
= |
— Т) 8а ("О Лх + \) К г {I — т) 5 (т, т) |
(т) йг, |
|
о |
о |
(39.17) |
|
г |
* |
|
|
|
8^(0 = — т)<?^(т)йт + §Г8(* — т)е(т, х)е^(х)йт.
Общие методы решения задач нелинейной теории термовязко-упругости
§40. Температурно-временная аналогия
иэкспериментальное определение ядер
Воснове температурно-временной аналогии, установленной в § 5, лежат свойства моделей вязко-упругого тела: сильной зависимости коэффициен та вязкости р от температуры Т и слабой зависимости от Т упругих харак
теристик. При этом предположение о линейности системы (ап = р Лёп) яв ляется несущественным. В случае нелинейной модели зависимость напря
жения ап в п-м вязком элементе от скорости его деформации еп, в соответ ствии с теорией размерности, должна иметь вид
&п = / (И'п^п)) |
(40.1) |
т. е. при еп должен существовать множитель, по размерности содержащий время. Если природа вязкости всех вязких элементов одинакова, то все р п должны одинаковым образом зависеть от температуры Г, а функция / для всех элементов должна быть одинакова. Следовательно, вводя «мест
ное» время
г
&1' = |
А1]ат, |
V = ^Ах/ат(т), |
(40.2) |
|
|
|
|
о |
|
мы преобразуем (40.1) к виду |
|
|||
<5п= |
/ |
г~йр~) » |
(40.3) |
где М'п — константа, т. е. получим соотношение нелинейной изотермичекой модели. Таким образом, влияние температуры на свойства линейных и нелинейных систем одинаково и сводится к замене во всех изотермиче ских соотношениях (главы VII, V III, IX) истинного времени I на «местное» время I9 согласно (40.2). Например, в соотношениях (29.3) должны быть
произведены замены I на |
хг на т{, т^ на т^, где |
|
А1' = АЦат\ Ах[ = |
Ахх]ат„ . . . Ах^ = Ахн/ат, |
(40.4) |
I |
^х |
% |
^ == 5 ^>1ат(^)> Т 1 == 5 ^ 11ат(^1)1 . . . т# = |
^ А^н/ат (^у). |
о |
о |
о |
В результате все рассмотренные выше соотношения нелинейной теории вязко-упругости формально не изменятся, ибо их вид останется прежним и только входящие в эти соотношения буквы г, т^, . . ., тп, обозначающие физические времена, заменяются на штрихованные буквы 2', х[, . . ., Тп, обозначающие приведенные времена. Это относится как к общим нелиней ным соотношениям вязко-упругости (28.3), так и к соотношениям квазили нейной (31.11), кубичной (31.14), квадратичной по девиаторам (32.15), (32.16) и др. теории вязко-упругости.
При решении задач теории вязко-упругости, как и в линейном случае, трудности, возникающие в связи с переменной температурой тела, су щественно зависят от того, является ли температура тела функцией только времени или времени и координат. В первом случае из температурно-вре менной аналогии следует, что задача сводится к изотермической и никаких дополнительных трудностей не возникает. Все изменение изотермического решения состоит только в том, что если внешние нагрузки и перемещения заданы как функции истинного времени I, их нужно преобразовать к функ циям от I' согласно (40.2) и для этих функций построить изотермическое решение. Во втором случае сохраняются все существенные трудности, от меченные в линейной теории (гл. V). Все методы последовательных прибли жений для решения задач нелинейной вязко-упругости основаны на пред положении, что соответствующая линейная задача решена. В пятой главе были изложены некоторые методы для решения разного рода задач линей ной теории термовязко-упругости, в том числе и задач, в которых темпе ратурное поле является нестационарным и неоднородным. Поэтому в этой главе будет предполагаться, что линейная задача термовязко-упругости решена.
Рассмотрим вопрос об экспериментальном определении ядер некоторых теорий нелинейной вязко-упругости.
Набор простейших экспериментов на ползучесть позволяет полностью определить линейные и нелинейные ядра, входящие в основные соотноше ния (32.15) и (32.16) главной квадратичной по девиаторам теории ползуче
сти при мгновенной линейной упругости [71]. |
|
||
1. |
Ползучесть при сдвиге. Для проведения такого эксперимента необ |
||
ходимо |
в камере |
высокого давления осуществить простой |
процесс на |
гружения |
|
|
|
|
о = о0К{1), |
&ц = 8цк(1), |
(40.5) |
где к (I) — единичная функция Хевисайда, определенная в первой главе. При заданных напряжениях в виде (40.5) мы получим некоторую экспери ментальную кривую
г |
* |
I |
|
е ^ И ) |
е - |
с |
(40.6) |
/о . (О = |
+ - * г |
= П (I) + а 0 \ Р ' (во, *) Л х. |
|
8а . |
8г] |
О |
|
При малых а0второеслагаемое в (40.6) пренебрежимо мало по сравнению с первым. Поэтому, находясь в области линейной вязко-упругости, мы по
лучим функцию |
ползучести П (2), которая не зависит ни от сх0, ни от : |
|
4- ( 0 / 4 = |
П (0 . |
(40.7) |
Для больших а0 при известной П (0 получим функцию сдвиговой ползу чести для нелинейной теории. Подставляя (32.15) и (32.16) в (40.6) и ис пользуя (40.5), получим
откуда
Р(а0,* )- Р (а 0, 0) |
/а.(0-П(0 |
(40.9) |
|
бо |
|||
|
|
2. Ползучесть при объемном сжатии. Этот эксперимент является слу чаем предыдущего при 8^ = 0. Для малых сг0 определяем линейное ядро Пх (г), а при больших сг0—функцию объемной ползучести Рг {I) через наблю даемую экспериментально функцию срао {I)
фо0(0 = - ^ = *'{г)+^ |
(г) = Пх (I^) + а0 [Рх («30. <) - |
Р (Оо. 0)], |
откуда |
|
(40.10) |
Рх (До, *) ~ Рх (Оо, 0) = |
Фс°-(') ~: П- - . |
(40.11) |
В камере высокого давления можно создавать только отрицательные сг0. Эксперимент с положительными а0трудно реализуем. Однако для поло жительных а0 можно воспользоваться следующим экспериментом.
3. Ползучесть при простом растяжении. Для осуществления такого эксперимента нужно создать в образце однородное напряженное состоя
ние, при котором ап == к ($), а все остальные составляющие тензора напряжений равны нулю.
Тогда имеем
0(0 = аи (I) = <ЗцЬ(г),
*и(*) = 4 |
***(*>’ |
|
(40.12) |
$22 ( 0 = $33 ОО = — |
( 0 / 3 , |
|
|
»(*. Ц = |
|
|
|
Для малых ^1 формулы (32.15) дают |
|
||
ей = ец + |
4 - О' = 4 |
<*иП (*) + 4 «иПх (0- |
(40-13) |
Из опыта 1 нам известно ядро П (2). Замеряя наблюдаемую эксперимен тальную величину
•Фс« (0 -
я А |
|
8ц(<) , 611 (0 |
(40.14) |
— |
11 |
> |
|
Кх)2 |
|
получаем при малых Си |
|
|
|
||
еиО) |
фо° (0 |
» |
|
Пх (0 = 9 (’& — § - п ( о ) |
(40.15) |
„0 |
|
||||
°и |
|
|
|
|
|
и при больших Оп |
|
|
|
|
|
ф0» (0 = |
'Фо0^) |
1 |
9 |
(о0. *) - Р (о0, 0 )] + |
(40.16) |
|
и |
|
|
|
|
+ 4- [Р. (<*°, *) - р, (0°, 0)1 - 4 [Рх (о», 0 - Р, (о», 0)1.