книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Мы знаем, что не все компоненты объектов К Ф (д = 1, 2, 3, 4) являются независимыми. Назовем, как и ранее, главной частью ядра К3 (х) два пос­ ледних слагаемых в разложении (32.20), т. е. в главную часть ядра К3 (#)

входят только объекты (х) и К[%тп. Теорию,, в которой учиты­ вается только главная часть ядра К3 (х), и назовем главной «кубичной» теорией вязко-упругости [3]. Независимых компонент объекта К&\ кото­ рые являются числами, будет только четыре:

Подставляя главную часть ядра К3 (х) (32.20) в уравнения (31.12) и произ­ водя несложные вычисления, получим выражения компонент девиатора деформаций е^ через девиатор напряжений в главной квадратичной теории ползучести в виде

где А (*; 5) — временной коэффициент модуля упругости и В (*, т; 5) — коэффициент нелинейности ядра ползучести. Благодаря тому, что неза­ висимых компонент объектов К и К& только по четыре: (32.21) и (32.22),

получается, если отбросить еще и Кг. В этом случае нелинейные поправки

выражаются только через интенсивность напряжений ви (/) = 5 (I, *). Из (32.24) при этом получаем выражения временного коэффициента моду­ ля упругости и коэффициента нелинейности ядра ползучести

В = Кь(1 — х) 'М М 'О Ь

что соответствует соотношениям (32.1), в которых не учитываются средние напряжения.

Если предположим, что материал при мгновенных нагрузках ведет себя как линейно-упругий, то следует в дополнений к предыдущему поло­ жить равными пулю еще коэффициент К и ядро К2. В этом случае связь между девиаторами напряжений и деформаций будет иметь вид

где ядро К {I) разбивается на сингулярную и регулярную части К (I) по формуле (31.13), а ядро (I) является регулярным. Теорию, основанную па уравнениях (32.28), в дальнейшем и будем называть главной «кубич­ ной» теорией вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью.

§33. Математическое обоснование нелинейной теории вязко-упругости

Эвристические соображения, высказанные нами при выводе нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями в § 28, привели нас к уравнениям (28.3) и (28.8). Эти же уравнения можно получить, разу­ меется, исходя из основных положений функционального анализа, по­ добно тому как в первой главе были получены линейные соотношения. Для этого можно воспользоваться теоремой, высказанной Фреше [80]: каждый функционал ф [ср] непрерывный над полем непрерывных функций ср (т), определенных на отрезке [0, 2], может быть представлен выражением

и К(пХк) (г, тх, . . ., Тк) — непрерывные функции по тх, . . ., т*, опреде­ ленные для функционала ф независимо от ф (т). Эта теорема обобщает тео­ рему Вейерштрасса для непрерывных функций (которые могут быть пред­ ставлены как предел полиномов) на случай бесконечного числа аргумен­ тов. Вместо конечных сумм (33.2) можно рассмотреть бесконечные. Если функционал ф [ф] представим в виде бесконечной суммы

функциональным степенным рядом, то такой функционал называется ана­ литическим [52]. Если под функцией ф (т) понимать тензорную величину, то определения (33.1) и (33.3) нуждаются в обобщении. Эти обобщения были сделаны в работах [53, 54, 81].

Рассмотрим одно из возможных обоснований соотношений (28.3) и (28.8) с позиций функционального анализа. Для этого введем некоторое гильбертово пространство НЕ абстрактных функций Е (т), под которыми

может быть достаточно произвольным, лишь бы позволяло описывать деформированное состояние среды. И поэтому связь этого тензора с векто­ ром перемещения мы не устанавливаем.

Скалярное произведение двух элементов Е' и Е" пространства Нг за­ пишем в виде

г г (33 4)

где ре (^, т) — некоторая положительная функция памяти [9, 56]. Норма элемента Е пространства Нг будет выражаться тогда в виде

В дальнейшем нам понадобится вводить ограничения на величину этой нормы типа ||Е | ^ Л. Из соотношения (33.5) видно, что удовлетворение этому неравенству достигается либо выбором бесконечно малых деформа­ ций, либо «укорачиванием» памяти, т. е. выбором функции памяти ре (2, т), сильно затухающей вне некоторой левой окрестности точки I [81].

Аналогично рассмотрим гильбертово пространство Н01 для которого все рассуждения сохраняются (в выражениях (33.4), (33.5) все буквы е сле­ дует заменить на 3) и которое будет трактоваться нами как пространство тензоров напряжения. Необходимым и достаточным условием существова­ ния конечной нормы (33.5) является существование для каждой функции

т)> вц т) конечных интегралов

В дальнейшем будем считать, что требования (33.6) выполнены. Рассмотрим теперь некоторый оператор Р, отображающий пространст­

во Н г на пространство Н0

По определению пространств Нг и Н0 этот оператор представляет со­ бой оператор-матрицу, так как он каждому вектору е (2) шестимерного пространства тензора деформаций ставит в соответствие вектор в (I) шести­ мерного пространства напряжений (см. гл. I). Будем считать для простоты, что начальные напряжения отсутствуют, т. е.

Р (0) = 0. (33.8)

Отличительной чертой рассматриваемых нами операторов являются их представимость в виде функционалов, зависящих от параметра (2). В самом деле, пусть, например, оператор Р переводит каждую функцию ф (т) не­ которого пространства 7/ф, определенную на отрезке [0, ^1, в функцию ф (т) пространства IIф, определенную на том же отрезке. Для каждого фиксированного I {I 1оо) оператор Р можно рассматривать как функцио­ нал ф [ф], переводящий каждую функцию ф^ (т), определенную на отрезке [0, I] и совпадающую на этом отрезке с функцией ф (т), в некоторое число ф. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять понятия оператора и функционала, понимая под последним оператор с фиксированным пара­

где

I] (Е) || / КЕ || -> 0 п р и ||Е ||^ 0 .

Последнее означает, что для любого фиксированного п ядра, входящие в выражения (33.9) или (33.10)', должны быть ограничены в левой окрестно­ сти точки 2 на основании (33.5).

Из предположения 1 следует, что оператор Р можно записать в виде

где

РоП) (Е) = п!апЕп.

Для выражения второго слагаемого воспользуемся теоремой о том, что каждый билинейный функционал гильбертова пространства может быть представлен в виде [82]

оо

впредположении симметрии ядра Г2 (*, т1? т2) по переменным хг и т2. Предположим теперь, что интегральное представление справедливо

для (п — 1)-й полярной формы. Докажем ее для формы степени гг, чем завершим доказательство.

На форму апЕп = апЕ1. . . Е п можно смотреть, как на линейный опе­ ратор адЕ1Е2. . . Еп^х, действующий на пространстве]#^. Его в силу теоре­ мы Рисса можно представить в виде скалярного произведения (ЛП_ХЕ, Е), где А п.Л — (гг — 1)-линейный оператор, который в силу предположения представляется в интегральной форме. Следовательно,

г*

А ^ П)(Е) = А -^ . . . ^Гп(«,тх, . . ., хп) Е(тх). . .Е(тп)йтх. ..(1хп.

оо

(33.19)

Если потребуем, чтобы уравнения состояния были инвариантны относи­ тельно начала отсчета времени, то все ядра будут иметь разностный вид, т. е.

IX. Обращение нелинейных операторов, связывающих напряжения и деформации

§ 34. Основные теоремы об обращении нелинейных операторов теории вязко-упругости [83]

В предыдущей главе указывалось, что уравнения состояния, в которых деформации выражены через напряжения, во всех развиваемых нелиней­ ных теориях могут быть обращены и записаны как уравнения, в которых напряжения выражаются через деформации. Необходимо подчеркнуть важность взаимности указанных соотношений. Фигурирующие в них не­ линейные ядра ползучести и релаксации должны быть связаны какими-то интегральными уравнениями (не зависящими от и е*?) и обладать соот­ ветствующими свойствами, вытекающими из их взаимности. Теория нели­ нейной вязко-упругости в принципе может считаться завершенной только после установления особенностей ядер и всех свойств взаимности, к кото­ рым мы и переходим.

В общей постановке задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти обращение аналитического оператора Р (Е), представляющего собой опера­ тор-матрицу в окрестности нуля (33.8)

Теорема 1. Существует оператор С (8) = Р'~1(Е), обратный к ^(Е), и представляется в виде (33.21).

Введем некоторый вспомогательный оператор-матрицу (?, переводящий элемент Е гильбертова пространства Не в самого себя

Легко видеть, что если Ех является решением уравнения (34.1), то оно одновременно является и решением уравнения (34.3), и наоборот. Таким образом, для того чтобы найти решение операторного уравнения (34.1), необходимо и достаточно найти решение уравнения (34.3).

Воспользуемся для этого принципом сжатых отображений, который заключается в следующем. Пусть оператор (Е,*5*) (34.3) отображает не­ которую окрестность нулевой точки пространства в себя и для каждых двух элементов Е' и Е", принадлежащих этой окрестности, выполняется усло­ вие

где а — некоторое число. Оператор 0 , удовлетворяющий условию (34.4), называется оператором сжатия. Теорема Банаха утверждает, что в этом случае имеется единственное решение уравнения (34.3), которое может быть получено методом последовательных приближений при нулевой на­ чальной точке. Эта последовательность приближений строится следую­ щим образом:

Неравенство (34.7) означает, что последовательность Е п сходится к пределу Е, который и является решением уравнения (34.3), причем единственным, так как, если бы их было два, например Е' и Е", то из (34.7) и (34.4) для них следовало бы

что возможно только при Е' = Е", так какое строго меньше единицы.

Для определения условия, налагаемого вторым требованием, заметим, что оператор дифференцируем по Фреше, и поэтому для любых Е' и Е", принадлежащих г-окрестности нулевой точки, найдется такое Е'" из этой окрестности, чтоI