книги / Основы математической теории термовязкоупругости

/ \ А

27

&

6

26

Рис. 26.

Изменение радиуса круга контакта со временем

а —до момента <3 область интегрирования больше области контакта; б — Т2—"после­ довательные моменты времени, когда радиус круга контакта становится равным а(0; в— дальнейшее изменение радиуса к руга контакта

Рис. 27.

Области зависимости перемещения штампа от истории процесса

Р и с . 28.

Изменение со временем координат точек границы конгакта

Все рассуждения проводились на примере осесимметрической кон­ тактной задачи, но аналогичные построения приводят к решению плос­ кой и других контактных задач вязко-упругости, и решения имеют те же свойства, что в осесимметрическом случае. Не обязательно штамп дол­ жен быть выпуклым; в случае двух и более областей контактов пригодны те же методы построения решения по этапам. В плоской контактной за­ даче понятие процесса повторных нагружений — разгрузок может быть расширено: некоторые случаи неустановившегося движения штампа по полуплоскости можно рассматривать как процесс повторных нагружений— разгрузок на передней а {I) и задней Ъ(I) границах зоны контакта (рис. 28), где а {I) и Ъ(I) — координаты точек границы контакта. Такого вида движением штампа можно приблизить его произвольное неустановившееся движение. Приведенные методы построения решения вязко-упругой заначи распространяются на задачу контакта в условиях полного сцепле­ ния и некоторые другие.

VIII. Нелинейная теория связи напряжений с деформациями

За последнее время в полимерной промышленности появилось боль­ шое количество новых материалов, которые ведут себя при нагружении довольно сложно и не описываются линейными уравнениями теории вяз- ко-упругости. Для металлов, сплавов, бетонов явления ползучести и ре­ лаксации вообще плохо описываются линейной теорией [49].

Теории, основанные на чисто молекулярном представлении, пока еще малоэффективны и дают только качественное описание явлений. Однако практика требует количественных аналитических расчетов для физиче­ ски и геометрически нелинейных материалов. Использование эмпирических соотношений или простейших реологических моделей для описания по­ ведения под нагрузкой тел из таких материалов дает только грубое приближение. Поэтому необходима разработка уравнений состояния, достаточно общих для того, чтобы описывать как линейные, так и нели­ нейные реологические свойства, хотя первые работы в этом направлении относятся к середине прошлого века [50—52].

В последнее время рядом авторов были предприняты попытки иссле­ дования основных положений механики сплошных сред, исходя только из общих математических и физических концепций, используя, например, изотропию пространства и среды и т.п. [1,3, 53—58]. В этой главе* излага­ ются общие методы определения нелинейных функциональных связей, используется постулат изотропии и условия взаимности, существенным образом упрощающие теорию, а также понятие главной нелинейной тео­

Напряжения, действующие в соответствующие моменты времени, обозна­

туру физически малого объема V будем считать пока постоянной и примем основное допущение: тензор деформации е^ в момент I зависит от всей

истории развития напряжений аи (т) 0 ^ т ^ I. Таким образом, де­ формация в момент I образована действием всей совокупности импульсов компонент тензора напряженийОц (тг0)Атг0, (тгх) А т ( т г л)Атл. Каж­ дый такой импульс делает вклад в величину деформации с некоторой функцией влияния.

Для каждой компоненты тензора напряжений функция влияния будет своя, а для того чтобы учесть все линейные вклады таких импуль­ сов, нужно просуммировать их для каждой компоненты тензора де­ формации, т. е.

п

р= о

Влинейной теории рассматривались только такие вклады (см. § 2). Следующим приближением будет совместное влияние двух предшест­

вующих импульсов напряжений в моменты хн и хь. Это влияние будет пропорционально произведению импульсов от каждой компоненты тен­ зора напряжений в соответствующие моменты времени на совместную функцию влияния пары

пр

Р = 0 д=0

Импульс в момент тр не может оказать влияния на импульс в момент времени ха при хр ]> та, ибо учитывается только история напряжений образца в прошлом, а будущее влиять на историю не может. Поэтому-то в написанной выше сумме второе суммирование производится до р. Сле­ дующим приближением будет совместное влияние трех импульсов ком­ понент тензора напряжений, действующих в три разные момента времени с функцией влияния совместного действия трех этих напряжений, ит. д. Общий вклад в тензор деформации от этих импульсов будет равен сумме всех линейных вкладов, квадратичных, кубичных и т. д.

Переходя к пределу при п ь-> оо и устремляя наибольший интервал времени Ат* к нулю, получаем из приведенных выше рассуждений со­ отношения для произвольной анизотропной нелинейной вязко-упругой среды в следующем виде:

Из построения соотношений (28.3) очевидны многие свойства введенных ядер *$*...* , (*, хп), зависящих от] п + 1] переменных хи

метричны по переменным хг (I = 1,2,...,п), так как, например, для ядра

К имеем

Г

$$ ЛГ««ль(^.Т1,та)б у )(т1)бу1(''а)*1*а Оо

*1

о о

Далее, в случае отсутствия существенной необратимости изменения состояния рассматриваемого тела, когда отдаленные по времени дефекты «залечиваются», чем более удаленным является хотя бы один из рассмат­ риваемых моментов времени %к (к = 1,2,...,га), тем меньше функция влия­ ния; если два момента. тх и т2 удаляются от момента их влияние ослабе­ вает, если к моментов времени т15 т2,...,тйудаляются отмомента г, их влия­ ние ослабевает еще сильнее. Значит, можно написать следующие неравен­ ства:

а сами моменты хк и хг как угодно удалялись от момента I.

Таким образом, если соотношения (28.3) инвариантны относительно

га и называются ядрами ползучести гг-го порядка. Для произвольной

Для упругой среды эти условия выполнены всегда в силу существования упругого потенциала; в случае линейной теории условия (28.7) выполня­ ются, если использовать принцип Онзагера [60, 61].

Соотношения (28.3) можно обратить, т. е. поменять местами тензоры

Ядра Тгуг1]1.^гпз ^1? • • • ?^п) представляют собой также тензор 2 (1 + п) ранга и называются ядрами релаксации тг-го порядка. Строгое доказательство разрешимости соотношений (28.5) в виде (28.7) и явное выражение ядер релаксации Г^..,{ ,• (*, х19...,хп) через ядра ползу­ чести будут даны в следующей главе.

§ 29. Частные случаи механической анизотропии

Наличие определенной симметрии среды приводит к наложению допол­

этих сред инвариантны по отношению ко всем преобразованиям ортого­ нальной группы. Поэтому тензоры К и Г(п) в прямоугольной декартовой системе координат можно представить в виде комбинации дельт Кронеккера.

Тензоры ползучести и релаксации первого порядка согласно формулам

Аналогичные соотношения можно записать и для ядер более высокого порядка [59]. Подставляя эти представления в соотношения (28.3) и про­ ведя соответствующие свертки, мы получим следующие выражения [62]

* I I

$А (0 = Ъц $ $ $ К { т ) (*. т1. т2, Т3) <зкк (тх) <3ц (т2) ат т (г 3) с?т1Л 2с?т3+

ООО

+ 6о« Н $ Х(3)(2) Т1>т2> тз) °ы(хх) ^тСь) от,(т2) А А А +

ООО

I I I

■Ь 12 $ ^ К (тЧ*,х1,х3,х3)<5к1(х1)е1к(х3)о^(х3)<1х1<1х2<1х3 +

00 0

*7 I

24:55$ -^(3)(5)(*• Ть т2, г3)акк(тх)охг(т2) ( т 3) Нх^х^Хз +

-| ■ 48 § 5 5 Х (3)(6) (*, т1( т2, т3) си. (тх) окг (т2) а и (т3) й х ^ х ^ Х ц -|-

0 0 0

г г г

+ 86*,- 555 К ( 3 ) т (*. т1>т2. Т.) а ы (тх) 0;т (т2) а тк (т3) й х хй х ^ х 3,

0 0 0

Кажущаяся несимметрия записи уравнений (29.3) объясняется тем, что ядра ползучести К(п)(т) {I, тх, . . ., тл) симметричны по переменным т1? т2, . . хП1 и интегрирование но каждой переменной производится

водних и тех же пределах от нуля до г. Поэтому, например,

гг

Часто для сокращения записи мы будем пользоваться операторной за­ писью. Вводя интегральный оператор, мы будем обозначать его той же буквой, которой обозначено ядро этого оператора, снабжая сверху эту букву символом \/. Например, из (29.3)

Разумеется, точно так же можно записать соотношения (28.8)/ используя выражение тензоров релаксации Г$2,\..л $ (I, т^, . . хп) в виде (29.1) и (29.2).

В главе IV были выписаны тензорные базисы для среды с трансверсаль­ ной изотропией (13.8) и для ортотронной среды (13.12). На основе этих тензоров можно сконструировать тензоры ядер релаксации или ползу­ чести для сред с соответствующим видом анизотропии.

Рассмотрим сначала т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н у ю с р е д у . Тензоры ядер ползучести (и релаксации) первого порядка, т. е.

тензоры четвертого ранга К*Ам (I, Тх), выражаются через тензорный базис (13.10)

Тензоры ядер ползучести второго порядка К^тп (I, тх, т2) записываются в следующем виде:

4-ГиГм6з*6зт ] 4“ Х^2Х16) (^, Тх, Т2) [Тгй63;6з/63т6зп]4” ТЦ$з$з$3т&зп 4~

Аналогичным образом конструируются тензоры ядер ползучести более вы­

сокого порядка.

Подставляя выражения (29.6) и (29.7) в уравнения (28.3), получим об­ щие соотношения между напряжениями и деформациями трансверсально-

функция влияния (см. (28.5)), т. е. значение этих ядер. Ясно также, что чем ближе моменты времени т1? т2, . . ., х к (к = 1,2, . . ., п) к моменту I, тем больше влияние, оказываемое напряжениями в эти моменты на дефор­

Рассматривая внешний интеграл правой части (30.1) и используя пред­ ставления ядер первого порядка, данное в § 2 в виде суммы сингулярной и регулярной составляющих, заключаем, что в ядрах (*, т2) должна содержаться сингулярная составляющая в виде 6-функции по разности двух аргументов I и тх. Рассматривая внутренний интеграл пра­ вой части (ЗОЛ) и применяя те же соображения, заключаем, что ядра

Кщф12], (*, т1» тг) Должны содержать также сингулярную составляющую по разности аргументов тх и т2. То же самое, очевидно, относится и к аргу­ ментам I и т2. Другими словами, ядра К& должны иметь следующий вид:

где учтена симметрия ядер К (2) по" аргументам тх и т2 и волной сверху обоз­ начены регулярные функции указанных аргументов.

Выписывая формулу, аналогичную (28.4) для интеграла любой крат­ ности тг, получаем

гг

содержать сингулярные составляющие по разности любых двух аргумен­