книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfКоординатная же плоскость yOz, уравнение которой х = О, пересекает данный эллипсоид по эллипсу
х = О
Таким образом, главные сечения данного эллипсоида определены: это эллипсы, лежащие в координатных плоскостях.
Координаты вершин этих эллипсов и определят координаты вершин эллипсоида. Вершины эллипсоида, лежащие в плоскости хОу, имеют координаты (5, 0, 0), (—5, 0, 0), (0, 4, 0) и (0, —4, 0); вершины эллипсоида, лежащие в плоскости хОг, имеют коор динаты (5, 0, 0) (—5, 0, 0) (0, 0, 2) и (0, 0, —2); вершины эл липсоида, лежащие в плоскости yOz, имеют координаты (0, 4, 0), (0, —4, 0) (0, 0, 2) и (0, 0, —2). Соединяя эти результаты, приходим
к такому заключению: у эллипсоида всего 6 вершин |
и их коорди |
|||||||||||||||||||
наты: |
А Л 5, |
0, |
0), |
А 2 (—5, |
|
0, |
0), |
А 3 (0, |
4, |
0), |
Л4 (0, |
- 4 , |
0). |
|||||||
A s (0, |
0, |
2) |
и А 6 (0, |
0, |
- 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Сравнивая уравнение данного эллипсоида с уравнением эл |
|||||||||||||||||||
липсоида (20, 7), |
заключаем |
следующее: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а? = |
25; полуось а — 5, а ось эллипсоида, расположенная вдоль |
||||||||||||||||||
оси |
Ох, |
будет 2а = 10; |
|
|
|
|
|
|
|
расположенная вдоль |
||||||||||
|
Ь2 = |
16; полуось b —4, а ось эллипсоида, |
||||||||||||||||||
оси |
Оу, |
будет 2b = |
8; |
2, |
а ось |
эллипсоида, |
расположенная |
по |
||||||||||||
|
с2 = 4; полуось |
с = |
||||||||||||||||||
оси Oz, |
равна 2с — 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Задача 20,36 (для самостоятельного решения). Определить |
|||||||||||||||||||
главные сечения эллипсоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— + — 4 - — = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
64 ~ |
49 ^ |
25 |
|
’ |
|
|
|
|
|
|
||
а также координаты его вершин и длину осей. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
От в ет . |
|
главных |
сечений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1) |
Уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а\ £1 . !Ц - г |
|
|
б) 6 4 + F 5 = L |
В ) £ |
4 - - |
- |
1 |
|
|
||||||||||
|
а> 64 + 49 ~ 1 |
|
|
49 + 25 — 1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 = 0 |
|
J |
|
|
|
|
у = 0 |
|
|
|
х = 0 |
|
|
|||
|
2) |
Длина |
осей: |
2a = |
16; |
2b = |
14; |
2с = 10. |
А о (—8, |
0, |
0), |
|||||||||
|
3) |
Вершины |
|
эллипсоида: |
А х (8, |
0, |
0), |
|||||||||||||
Л3(0, |
7, |
0), |
Л4(0, |
- 7 , |
0), |
Л 5(0, |
0, |
5) |
и Л 6 (0, |
0 / - 5 ) . |
|
|
||||||||
|
Задача 20,37. |
|
Найти линии |
пересечения поверхности гипер |
||||||||||||||||
болоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, У^__х |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
18 |
9 |
“ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
с координатными плоскостями и с плоскостями |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
2, |
х = |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ, а) Уравнение линии пересечения данного гипербо лоида с координатной плоскостью хОу
|
|
|
у2 |
»<2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- 4 - у— = \ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
27 “ |
18 |
|
(эллипс); |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 = |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
линии |
б) |
с |
плоскостью уОг гиперболоид пересекается по |
|||||||||
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
9 = |
1 |
(гипербола); |
|
|
|
|||
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
х = 0 |
|
|
|
|
|
||
|
в) с плоскостью хОг |
■по линии |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
9 ~ |
1 |
(гипербола). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
У = о |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение |
линии |
пересечения гиперболоида |
с |
плоскостью |
||||||||
2 = 2 |
|
|
у 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 I |
(эллипс, лежащий |
в |
|
|
||||
|
|
39+ *2в = |
|
|
||||||||
|
|
|
26 |
|
плоскости |
z = 2). |
|
|
|
|||
|
|
|
z = |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
с плоскостью х = 3 |
||||||||
Уравнение линии |
пересечения |
|||||||||||
|
|
|
г _— = I |
(гипербола). |
|
|
|
|||||
|
|
|
12 |
|
6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х = 3 |
|
|
|
|
|
||
Задача |
20, 38. |
Какие |
поверхности определяются |
уравнениями |
||||||||
1) x2 + y 2 — z2 = 0 ; |
|
2) г = х2 + у 2; |
||||||||||
3) |
y2 + z2- |
x-^ = 0; |
|
41 |
xl±Jl— yl |
_________ 1- |
||||||
|
у 2 |
tj 2 |
у 2 |
|
|
|
; |
6 |
15 |
|
||
|
|
|
|
6) |
_ х 2 + |
4 + |
у = 0; |
|||||
S l T - T + T - 1 » ^ |
||||||||||||
8) 2 = 1 —X2 — IА |
||||||||||||
7) |
г — — (л:2 + |
У2)', |
|
|||||||||
О т в е т . 1) Круговой конус, у которого осью |
является ось Ог. |
|||||||||||
2)Параболоид вращения, у которого осью является ось Ог.
3)Круговой конус, у которого ось вращения совпа дает с осью Ох.
4)Двухполостный гиперболоид вращения, у которого ось вращения совпадает с осью Оу.
5)Из сравнения с (20, 10) заключаем, что это одно-
полостный гиперболоид, ось которого совпадает
сосью Оу.
6)Конус, у которого ось совпадает с осью Ох.
7)Параболоид вращения.
8)Параболоид вращения.
Задача 20,39. Какие поверхности определяются уравнениями
1)2л:2 — 5у2 — 8 = 0;
2)4х2 — 8у2 + 16г2 = 0;
3)8х2 — 4у2 + 24г2 — 48 = 0;
4)у2 = 6х — 4;
5 ) 2 л:2 — у2 — г2 = 0 ;
6) Зх2 + 5г/2 = 12г;
7)л:2 + 4у2 — 8 = 0;
8)z2 — 4лт = 0;
9)2л:2 — Зг2 = —12у\
10)4л:2 — 12у2 — 6г2 = 12.
Отв ет . 1) Гиперболический цилиндр с образующими, парал лельными оси. Ог.
2) Из сравнения с (20, 15) очевидно,, что это конус.
3)Из сравнения с (20, 10) заключаем, что это однополостный гиперболоид, продольная ось которого расположена по оси Оу.
4)Параболический цилиндр с образующими, парал лельными оси Ог.
5)Перепишем уравнение в виде
у2 + г2 — 2л:2 = 0, или у ^ zZ — х2 = 0,
откуда видно, что это круговой конус, у которого ось совпадает с осью Ох.
6) Переписав уравнение в виде z = -j + |
> |
Т
0
можем заключить, что это эллиптический парабо лоид (20, 17).
7)Эллиптический цилиндр с образующими, парал лельными оси Ог.
8)Уравнение содержит две координаты. Это цилинд рическая поверхность. Перепишем уравнение в виде z2 = 4х (парабола).
Уравнение определяет параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Оу.
9) |
Уравнение |
перепишем |
в виде у = |
Z2 |
X2 |
|||||
|
------^ . |
|||||||||
Из |
сравнения |
с (20, 20) |
заключаем, |
|
что |
это гипербо |
||||
|
лический |
параболоид. |
|
|
|
|
|
|||
10) Перепишем уравнение в виде |
|
|
|
|
||||||
X3 |
У2 |
Z2 |
. |
у 2 . Z2 |
X2 |
= |
|
1 |
||
3 |
1 |
2 ~ |
1 |
или т + Т |
- Т |
- 1 - |
||||
Из сравнения с (20, 13) заключаем, что это двуполостный гиперболоид, ось которого совпадает с осью Ох.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стр. |
П редисловие................................................. |
|
............................................. |
|
3 |
|||||||||||
Первое практическое занятие. Координаты точки на плоскости. Расстоя |
6 |
||||||||||||||
ние между двумя точками . |
|
|
|
|
|
. |
|
отношении. |
|
||||||
Второе практическое занятие. Деление отрезка в заданном |
|
|
|||||||||||||
Координаты середины отрезка. |
Определение площади треугольника |
|
13 |
||||||||||||
по известным координатам его |
вершин |
|
|
|
|
. |
. |
|
|||||||
Третье практическое занятие. Различные виды уравнения прямой. Ис |
|
||||||||||||||
следование |
общего |
уравнения |
прямой. |
Построение прямой по ее |
|
||||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2 |
|
1 |
|
|
Четвертое практическое занятие. Уравнение прямой, проходящей через |
|
||||||||||||||
данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходя |
|
||||||||||||||
щей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие |
|
||||||||||||||
параллельности и перпендикулярности |
двух прямых. |
Определение |
33 |
||||||||||||
точки пересечения |
двух |
прямых |
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|||||
Пятое практическое занятие. |
Расстояние от данной точки до данной |
44 |
|||||||||||||
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шестое практическое занятие. Уравнение биссектрисы угла между |
50 |
||||||||||||||
двумя прямыми. Задачи повышенной трудности |
|
• |
. . |
|
|
||||||||||
Седьмое практическое занятие. Полярная система |
координат. Переход |
|
|||||||||||||
от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, |
|
59 |
|||||||||||||
определяемой уравнением в полярных координатах |
|
. |
|
|
|||||||||||
Восьмое практическое занятие. Составление уравнения кривой по ее |
|
71 |
|||||||||||||
геометрическим свойствам |
• |
• |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
Девятое практическое занятие. Продолжение упражнений в составлении |
|
75. |
|||||||||||||
уравнений линий |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Десятое практическое занятие. |
Кривыевторого порядка: окружность, |
|
80 |
||||||||||||
эллипс |
|
• |
|
|
|
• . |
|
|
|
|
. . . . |
|
|
||
Одиннадцатое практическое занятие. Кривые второго порядка: гипербола, |
|
87 |
|||||||||||||
парабола |
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Двенадцатое практическое занятие. Преобразование прямоугольных |
|
||||||||||||||
координат. Параллельный |
перенос |
координатных осей без измене |
97 |
||||||||||||
ния их |
направления |
|
. . . . |
|
|
. |
|
. |
|
|
|||||
Тринадцатое практическое занятие. Преобразование координат поворо |
108 |
||||||||||||||
том координатных |
осей без |
изменения |
начала |
координат |
|
|
|||||||||
Четырнадцатое |
практическое занятие. |
Упрощение общего |
уравнения |
4 |
|||||||||||
кривой |
второго порядка............................. |
|
|
|
|
. |
1 |
1 |
|||||||
Пятнадцатое практическое занятие. Определители и системы линейных |
|
122 |
|||||||||||||
алгебраических уравнений . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Шестнадцатое практическое занятие. Векторная алгебра . . |
|
|
137 |
||||||||||||
Семнадцатое практическое занятие. Основные |
задачи |
на плоскость . |
|
157 |
|||||||||||
Восемнадцатое |
практическое |
занятие. |
Основные |
задачи |
на прямую |
169 |
|||||||||
в пространстве |
. . |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
Девятнадцатое практическое занятие. |
Задачи |
на прямую и плоскость |
|
178 |
|||||||||||
Двадцатое практическое занятие. Поверхности второго |
порядка |
|
|
186 |
|||||||||||