книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

ЗадаНа

i, 12. Найти

расстояние между точками А (4, —5) и

В (7, - 1 ) .

По формуле (1,1) для расстояния d между двумя

Р е ш е н и е .

точкам»1, если

взять

в

ней х1= 4;

х2 = 7;

ух= —5;

уг — — 1,

получаем

d ~ Y ( l — 4)2 +

I—1 — (—5)]2;

d = 5 ед. масштаба.

Задана

1,13

(для

самостоятельного

решения).

Опреде­

лить расстояние

между точками

А (—3, Ъ) и В (3,

1).

масштаба.

О т а е т. d — 10 ед.

Задача

1,14

(для

самостоя­

тельного решения). Найти длину

отрезка АВ,. соединяющего точки

Задача

1,15. Под каким углом

к положительному

направлению

оси ОХ наклонен отрезок, сое­

диняющий

точки

А (—1,

3)

и

5(7, —3)?

Р е ш е н и е . По известным координатам точек

Л

и

5

можно

определить тангенс угла, под которым отрезок АВ

наклонен коси

Ох. Если хх и Ух— координаты

точки

А,

а х2

и

у2— коорди-

наты точки 5, то из фиг. 1,8 усматриваем,

что величина АС =

= Xi-—xlt

а величина ВС = уг— у1г и

тогда

tg<p =

Уг — Уг

( 1. 2)

Xst —Xi

По этой формуле определится тангенс угла между

отрезком

АВ

и положительным

направлением

оси Ох, причем

этот

угол от­

считывается от оси Ох против

часовой

стрелки,

формула

(1,2)

верна При любом расположении точек Л и 5 на плоскости.

Подставляя в формулу

(1,2)

координаты

точек

Л

и

б,

по­

лучим, что

tgcp =

- З - ( - Ф - З )

3

7 — (—1)

4 ’

tgcp = —

или —tgtp = 0,75.

Но —tg<p = tg(180° — ср), и у

нас

tg (180° — <р) = 0,75;

отсюда

180° — <р = 36°52',

а

ср =

180° —

—36°52' == 143°08'. В дальнейшем мы будем

пользоваться форму­

лой (1,2) для определения угла между

прямой и положительным

Задача

1,16.

Отрезок А В соединяет

точки

Л (—6,

.7) и

5(1, —2). Определить длину этого отрезка

и

угол между ним й

положительным направлением

оси Ох.

в

ней

ху = —6,

хг ==

Решение. По формуле (1,1), полагая

= 1, уг = 7,

у2=

—2, получаем,

что длина

А В ^ 11,4

ед.

мас­

штаба (знак

означает, что имеет место приближенное равенство).

Теперь по формуле (1,2) находим

угловой

коэффициент

отрезка

А В: tg<p = — у .

Перепишем

это

равенство

в

виде

—tg ср —

~

7

следует,

что

tg(180° — <р) = 1,2857,

и

по

таблицам

Отсюда

найдем, что

<р=

127°52'.

длину

Задача

1,17

(для самостоятельного решения). Найти

отрезка АВ, соединяющего точки Л (—4, 5) и

В (—6, 7)

и угол

между этим отрезком и положительным направлением оси Ох.

Ответ. АВ = У~8 ед. масштаба; <р=

135°.

если

координаты

Задача

1,Л8. Найти периметр треугольника,

его вершин

известны: Л (—3,

—6);

В (4,

— 1);

С (5,

—2).

От ве т . Л 5 ^ 8 ,6

ед. масштаба;

AC zz 8,9

ед. масштаба;

5 С ^ 1,4 ед. масштаба;

АВ +

АС +

ВС % 8,6 +

8,9 -f- 1,4 =

=

периметр

треугольника

18,9 ед.

масштаба.

Задача

1,19

(для самостоятельного решения). Найти периметр

треугольника с вершинами Л(1, 3), 5(4, 5), С(—5, —7).

Ответ. Периметр треугольника приближенно

равен

30,3 ед.

масштаба.

1,20.

Доказать,

что треугольник,

вершины

которого

Задача

Л (2, 3); 5(6, 7); С (—7, 2) — тупоугольный.

Р ешен ие .

1) Определяем длины сторон и находим,

что

АВ = У 32 ед. масштаба;

АС = У 82 ед. масштаба;

ВС = У 194 ед. масштаба.

Значит, 5С2 > Л 5 2+

ЛС8

(194 > 32 + 82); треугольник

действи­

тельно тупоугольный.

З а м е ч а н и е . Из

элементарной геометрии

известно,

что если

квадрат одной стороны треугольника

равен сумме квадратов двух

других сторон,

то треугольник — прямоугольный;

если

квадрат

рат большей

из сторон треугольника больше суммы квадратов

двух других

сторон,

то треугольник — тупоугольный.

Пользуясь

этим

замечанием, решите самостоятельно следую­

щую задачу.

С о д е р ж а н и е : Деление

отрезка в заданном отношении. Координаты

середины отрезка. Определение

площади треугольника

по

известным коорди­

натам его вершин.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1.

Если хг и ух— координаты точки

А,

а х2 и

у3— коорди­

наты точки В, то координаты х н у

точки С, делящей

отрезок

АВ в отношении X= АС

определяются по формулам

_ *i 4=- Хха

„

ух-f- Хуа

(2, 1)

~

1 ^ Х ’ у — 1^Х '

Если X= 1, то точка

С (х,

у)

делит

отрезок АВ

пополам,

и тогда координаты х н у

средины

отрезка

А В

определятся по

формулам

___ *1 - f *4 ..

!/1 4 - У2

(2, 2)

л —

о

» У — ----о

•2

шин A (xlt ух),

В (х2, у2), С (лг3, у3)

вычисляется

по формуле

— 2

((^1

хз) (Уз

Уз)

(-*2 — *з) (Уi

Уз)!*

(2,3)

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по

абсолютной величине.

Задача 2,1.

Найти

координаты

точки

С — средины

отрезка,

соединяющего точки А (—2, 4) и В (—4,

10).

Р е ш е н и е .

Воспользуемся формулами (2,2). Запомните, что

каждая координата средины

отрезка равна полусумме

соответ­

ствующих координат его концов.

Задача 2,7.

Даны

координаты средин сторон

треугольника:

£(7,8); £ ( —4,

5);

/С (1, —4). Определить координаты вершин

треугольника.

треугольника,

Р е ш е н и е . Пусть точки А, В и С— вершины

точка £ — средина

стороны АВ , точка F — средина

стороны АС,

а

К — средина стороны ВС. Требуется найти координаты точек Л,

£

и С.

и уа — координаты вершины А ,

Обозначим через ха

»

хв

и ув — координаты вершины В,

»

Хс и ус — координаты вершины С.

Хе =

ХА

2

ХВ. .

=

УА4- УВ

(*)

’ уе

2

’

Хр =

ХАФ ХС.

Ур

—

УА * Ус.

2

’

2

’

Хк — ХВ+ ХС. Ук

Ув -ЬУс

(* *

Подставляя в эти формулы координаты

точек £,

F и

К, мы

для

определения

неизвестных

получим следующие

уравнения:

а)

Уравнения,

отмеченные

(*),

после подстановки в

них

коор­

динат

точки

£

запишутся так:

,

ХА ^ ХВ.

о

Уа + Ув

7 —

2 > о —

2

•

или

ха +

хв = 14;

уА +

ув =

16.

б)

Уравнения,

отмеченные

(**),

если подставить в

них

коор­

динаты точки F, запишутся

в виде

- 4

=

хд -ф- хс

уА

ус

----2

’

5 =

2

’

ИЛИ

ха + хс = — 8;

Ул +Ус = Ю.

в)

Если же

в уравнения,

отмеченные (***),

подставить

коор­

динаты точки

К, то эти уравнения запишутся так:

«

* в ^ хс

А

Ув + Ус

1 = — — ; ~ 4 = — — •

или

ХВ + ХС = 2,

Ув+ Ус = —8.

Итак, для

определения шести неизвестных мы получили такие

две системы

уравнений:

Первая

система уравнений

Вторая

система уравнений

ха +

хв =

14 '

Уа + Ув — 16

"I

хА + хс = —8 ..

Уа +

Ус = Ю

I.

Хв + хс = 2 ,

Ув + Ус = — 8 J

ха + Хв + ха = 4.

(2,4)

Так как

на

основании третьего

уравнения

первой

системы

хв + хс = 2,

то из

(2,4) получаем Ха + 2 = 4 ,

а

хА = 2;

исполь­

зуя второе

уравнение первой

системы ха +

хс = — 8,

получим

хв — 8 = 4;

хв =

12; на основании первого

уравнения

первой си­

стемы Ха +

Хв =

14, и

уравнение

(2, 4)

примет вид

Хс + 14 = 4;

а хс = — Ю.

Итак,

12; ха = —10.

хл = 2 ;

Хв =

Поступая

так же, найдем

из вто­

рой системы уравнений

Уа = 17; ув = — 1; Уа = —7.

Вершины треугольника

имеют та-

Фнг. 2,1.

кие координаты:

Л ( 2,

17); В (12,

- 1 ) ;

С (-1 0 ,

- 7 )

Задача 2,8 (для самостоятельного решения).

Координаты сре­

дин сторон треугольника Е (—4, 6); F (2, —6);

К (0,

—4). Найти

координаты

вершин треугольника.

хл — —2;

хв = —6; Хс=6;

Ответ,

ха + хв 4- Хс = —2;

Уа -j- Ув 4- Ус = —4;

уа = 4 ;

ув = 8;

ус — —16.

Задача 2,9. Точки Л (2, 4), В (—3, 7) и

С (—6,6) — три

вер­

шины параллелограмма,

причем Л и

С — противоположные

вер­

шины. Найти четвертую

вершину.

«найти

четвертую вершину»

Р е ш е н и е . Требование задачи:

означает, что следует найти ее координаты.

Решение задачи облег­

наты одного из ее концов

В (—3, 7), по формулам

(2, 2) легко

определим

искомые

координаты

вершины

D

параллелограмма.

В формулах (2, 2) Надо положить х = — 2;

у = 5; xL= —3; уг =

= 7.

Искомыми будут Хо а уо — координаты точки D. Получаем

такие

уравнения:

О

"4 " XD .

,

Q I

1

— 2 —

—

, —4 = —3 -f- XD>XD ------1

Итак,

вершина Z> (— 1, 3).

решения). Три вершины

Задача

2, 10 (для

самостоятельного

параллелограмма

имеют

координаты

Л (—6,

—4);

В (—4,

8);

С (—1, 5),

причем А и С — противоположные

вершины. Опреде­

лить координаты четвертой вершины параллелограмма.

О тв ет .

Координаты

точки

Е

пересечения

диагоналей

Y ') . Координаты четвертой вершины параллелограмма

E>(—3, —-7).

связанных с делением отрезка

Теперь

решим несколько задач,

АВ в данном отношении (формула (2,1)).

Если точка С делит

отрезок А В в отношении X, то это следует понимать так: X =

^g.

Числитель

этой дроби есть длина отрезка,

начало

которого

на­

ходится в точке

А — в

начале

отрезка

А В,

а конец в точке С,

имеющего начало в точке С, а

конец в

точке В — в

конце от­

резка АВ,

Это замечание, разъясняющее смысл числа X, поможет

избежать

ошибок.

В формулах

(2, 1) в

числителе

X является

множителем при координатах конца отрезка.

А (2, 5) и

Задача

2, И .

Отрезок

АВ,

соединяющий точки

В (4, 9), разделить

в отношении

1:3.

Р е ш е н и е .

Условие

задачи требует найти координаты точки

ее концом. В формулах

(2,1) х и

у — искомые координаты точ­

ки С,

и Ух — координаты

точки А, х2 и у2— координаты точ­

ки В;

X= у .

Значит,

у нас хх —- 2; хг =

4; ух = 5 ; уг = 9. Итак

по формулам

(2,1)

H

1

4

5

y 4

2 * T

'

_ *

v _ ____ •

V -- --

— \ x —

^

2

T

з

Уо

-

4

Уо = Т -

Задача

2 , 1 3 (для

самостоятельного решения). Найти коорди­

наты

точек,

делящих

отрезок

с

началом

в

точке

А (;—6,

10)

и концом , в точке В(—2, —6)

в отношениях:

1)

х =

2) X=

2;

3)

X=

=

1

; 4)Х =

|

Ответ.

1)

/

14

14\

Г

3 ’

3 ]‘

2)

/ _ *2-

2 '\ .

3) ( - 5 ,

6)V

I

з ’

3

4)

I

22

18\

Г ~ 5 ’

т ) ‘

координаты центра тяжести однородной

Задача

2 ,14. Найти

соответствуют координаты: A(xlt y j, В(х2, у2), С (х3, у3)

(тол­

щину пластинки не учитывать).

Решение . Центр тяжести треугольника, указанного в усло­

вии задачи, находится в точке пересечения его медиан. Из

эле­

пересекаются

в одной точке, причем эта точка делит медианы

в отношении

2:1,

считая от вершины треугольника. Обозначим

эту точку буквой Е , ее координаты — Хе и уе (фиг.

2.3).

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины А. Один ее

конец А

имеет координаты (хх, у^, а координаты другого ее конца

получим,

как

координаты средины отрезка ВС,

концы которого

имеют известные

координаты: В (х2, у2), С (х3,

у3).

Координаты

х0 =

х*^

_ Уг Н~ Уг .

*2 + *3

Уг + Уг

Уо =

2 *

)•

2

° (

Теперь, зная

координаты

начала

А и

конца D отрезка AD

и то, что точка

Е {хь, Уе) делит этот отрезок в отношении X = 2,

по формулам (2,1) получаем

з-------

* Хв ~

----------3--------

_ Уг^Уг-^Уз.

=

У1 - ¥Уг^Уз

-

з------

. Уе

§-----

находятся в точках А (2,

—3), В (1, 1), С (—6,

5).

Р е ш е н и е .

Задачу

очень

просто

решить,

воспользовавшись

формулой (2,3), в которой нужно взять

=

2,

л"2 = 1»

Хз =

3,

= —3,

у2 = 1 , Уз = 5.

Подставляя

эти

числа

в

(2, 3), получим

^ =ТГ U2 — (— 6)1 • (1 — 5) — [1 — (— 6)]-. (— 3 — 5)} =

= I

{(2 + 6) • (-4 ) -

(1 +

6) •

(-8)}

=

\ [-3 2 -

(-56)] =

=

1 .

(-3 2 +

56) = 1 . 2 4

= 12;

S =

12

кв. ед.

Решение

задач,

в

которых требуется

определить

площадь тре­

еще одной задачи.

самостоятельного

решения).

Координаты

Задача

2, 17

(для

вершин треугольника:

А (—2, 4), В (—6,

8), С (5,

—6). Опреде­

лить площадь этого треугольника.

О т в е т .

5 = 6 кв. ед.

А(1, 8),

В{—2, —7),

Задача

2, 18.

Доказать, что три точки

С{—4, —17) лежат на

одной прямой.