книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfР е ш е н и е . Вычислим прежде всего определитель системы
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
5 —1 —1 |
— 48. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 —1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку этот определитель |
не |
равен |
нулю, |
система |
имеет ре |
||||||||
шение, и притом единственное. |
неизвестных |
по формулам (15, 9): |
|||||||||||
Приступаем к определению |
|||||||||||||
— 2 ! 1 |
|
|
3 — 2 1 |
|
3 1 — 2 |
||||||||
10 — 1 — 1 |
|
|
5 10 — 1 |
|
5 — 1 |
|
10 |
||||||
- 1 2 — 1 |
5 * и — 1 — 12 5 * У -- |
1 — 1 |
— 12 |
||||||||||
3 |
1 |
1 ’ |
У — 3 |
1 |
|
1 » 6 |
— 3 |
1 |
1 |
||||
5 — 1 — 1 |
|
|
5 - 1 - 1 |
5 |
|
5 — 1 |
— 1 |
||||||
1 — 1 |
5 |
|
|
1 — 1 |
|
|
1 —1 |
|
5 |
||||
Определитель, |
стоящий в |
|
знаменателях |
этих |
дробей, нами |
уже вычислен. Он равен — 48. Вычисляем определители, стоящие в числителях этих дробей:
|
— 2 |
1 |
1 |
|
А* |
10 |
—1 —1 |
— 48; Ах = — 48; |
|
|
—12 —1 |
5 |
|
3 |
— 2 |
1 |
= 96; |
Dy = 96; |
Dy |
5 |
10 |
—1 |
||
|
1 |
—12 |
5 |
|
|
|
3 |
1 — |
2 |
|
|
Dz |
5 —1 |
10 = |
144; |
|
Dz = 144; |
|
1 —1 —12 |
|
|
|
|
|
|
48 |
= 1; |
x = 1; |
|
|
|
48 |
|
|
|
У |
|
ЛЁ______ 2 ‘ и ------- 2' |
|||
— _ 48 — |
А |
У— |
|||
г |
_ |
И4 __ |
о. |
. _ |
о |
- = 4 8 “ |
— |
|
6‘ |
||
|
|
||||
Задача 15, 14 (для самостоятельного |
решения). Решить си |
||||
стему уравнений |
2 xt + х2 — х3= 0 |
|
л |
||
|
|
||||
|
хг— х2 — Зх3 = 13 |
г |
|||
|
Зх2 — 2х2 + 4х3= — 15 > |
О т в е т . Xi = — 1; х2 = — 2; х3 = — 4.
Задача 15, 15 (для самостоятельного решения). Решить си стемы уравнений:
1) *1 + |
Зх2 — Зх3 |
= |
13 |
] , |
2) 2хг — |
х2 + |
х3 = |
— 4 1 |
|
2хх — Зх2 + |
Зх3 |
= |
— 10 1; |
3xi + |
х2— |
х3 |
— 1 | > |
||
xi |
- f |
ха = |
0 |
J |
4хх — 2х3+ 3 д :з = |
— 7 J |
|
3) |
|
2xi + |
X3 — 6 |
| |
|
|
|||
|
|
2x2 — |
x$ — 2 |
|
I . |
|
|
|||
|
|
Зхг — 4X 2 = — 2 i |
|
|
||||||
О т в е т . 1) *! = 1; x2 = 3; x3 = — l; |
2 ) |
= — 1; x2 = 3; |
||||||||
x3 = l f 3) X\ = x2 = X3 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 15, 16. Решить |
систему уравнений |
|
||||||||
|
х -f- Зу — |
4z = |
5 |
I |
|
|
||||
|
2х — Зу + |
6z = |
11 }. |
|
|
|||||
|
8х — З у+ I0z = 21 J |
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . |
Вычисляем |
прежде |
всего |
определитель системы |
||||||
|
D = |
|
1 |
3 — 4 |
|
0. |
|
|||
|
|
2 —3 |
6 |
= |
|
|||||
|
|
|
|
8 —3 |
10 |
|
|
|
|
|
Итак, определитель системы равен нулю. |
|
|||||||||
Минор этого |
определителя, |
стоящий в |
левом |
верхнем углу, |
||||||
|
Д = |
|
1 |
3 |
= ~ 9 Ф 0 . |
|
|
|||
|
|
2 —3 |
|
|
|
|
|
|
Это обстоятельство указывает на то, что третья строка опре делителя является линейной комбинацией двух первых. И дей ствительно, если элементы первой строки умножить на 2, а вто рой— на 3 и сложить, то получатся элементы третьей строки (проверьте!).
Вычислим теперь определители Dx, Dy и Dz, и если окажется, что хотя бы один из них не равен нулю, то из этого будет следовать, что система не имеет решений, т. е. она несовместна, или противоречива.
5 3 —4
Dx = 11 —3 6 = — 132.
21 —3 10
Таким образом, по пункту 2 (стр. 127) правил исследования системы уравнений получается, что система несовместна. Если умножить левую часть первого уравнения на 2, а второго — на 3 и полученные произведения сложить,, то получим левую часть третьего уравнения
2(х + Зу — 4z) + 3 (2х — Зу + 6г) = 8* — Зу + Юг.
Отсюда заключаем, что она является линейной комбинацией ле вых частей первого и второго уравнений. Но если правую часть первого уравнения умножить на 2, а второго — на 3, то полу чится 2 . 5 + 3- 11 = 43, тогда как правая часть третьего урав нения не 43, а 21. Отсюда и произошла противоречивость си
стемы.
Итак, предложенная система уравнений решений не имеет.
Задача 15, 17 (для самостоятельного решения). Решить си стему уравнений
* + у — З г = |
7) |
|
|
|||
3* — у + 2г = |
4 . |
|
|
|||
7х — у + г |
= 17 I |
|
|
|||
О т в ет . Система несовместна |
(см. п. 2, стр. 127) |
и |
решений |
|||
не имеет. |
|
|
|
|
|
|
Задача 15, 18. Решить систему уравнений |
|
|
||||
*1 + 3*2— |
* з = 0 ] |
|
|
|||
%Xl |
*2+ |
3*з = 1 | , |
|
|
||
7*i -f- 7*2 -f* 3*з = 2 1 |
|
|
||||
Р е ш е н и е . Прежде |
всего |
вычисляем определитель |
системы |
|||
и находим, что D = 0. |
|
|
|
|
|
|
Один из миноров определителя |
|
|
|
|||
Д = |
1 |
3 |
= — 7 =£ 0. |
|
|
|
2 —1 |
|
|
||||
Это указывает на то, что один из рядов определителя D яв |
||||||
ляется линейной комбинацией |
двух |
других рядов |
(проверьте, |
|||
что если сложить утроенные элементы первой строки |
с соответ |
ствующими удвоенными элементами второй строки, то получатся соответствующие элементы третьей строки).
Теперь вычислим Dx, |
Dy |
и |
D2 и |
получим, |
что |
Dx = D y = |
||||
= D2 = 0. |
не только |
D = 0, |
но |
и |
Dx = |
0; |
Dy = 0 |
и |
Dz = 0. Из |
|
Итак, |
||||||||||
того, что |
все эти |
определители |
равны |
нулю, а |
минор |
Д ф 0, |
||||
на основании пункта 3 (стр. 127) следует, что |
одно из |
урав |
||||||||
нений системы является следствием двух других, |
и |
система не |
||||||||
определенна. Действительно, третье уравнение мы получим, |
если |
|||||||||
первое умножим на 3, второе — на 2 и почленно сложим. |
|
|||||||||
Отсюда уже заключаем, |
что третье уравнение удовлетворяется |
|||||||||
решениями первых двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
*1 + 3*2 — * з = 0 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
2*i — |
х2 -j- З*3 = |
1 / ’ |
|
|
|
и система приводится к двум уравнениям с тремя неизвестными. Из того, что
13
Д= 2 —1 Ф 0,
следует, что эта система может быть разрешена относительно
*1 И * 2.
Перепишем уравнения последней системы в таком виде:
*1 + 3*2 = Х3 |
\ |
2*, — *2= 1 — 3*., / •
Теперь по хорошо известным формулам |
получаем |
|||
1 |
3 1 |
о |
3— 8x3в |
|
_ | 1- |
- 3 * э -- и |
|||
1 |
31 |
Xl = |
у |
1 |
12 |
-11 |
|
|
|
11 |
|
бл'з — 1 |
|
|
12 1 — 3*з |
|
|||
1 |
3 |
X* ==■ |
|
|
|2 |
— 1 |
|
|
|
Давая неизвестному х3 произвольные значения, будем полу чать соответствующие значения для хг и х2. Предложенная си стема уравнений имеет решения, и этих решений бесконечное множество.
Задача 15,19. Решить систему уравнений
|
|
3*! + 2х2— х3 = 3 |
j |
|
|
* i— х2 + х3 = 1 }. |
|
|
|
13^1 -]- 2^24* ха = 13 ) |
|
О т в е т . |
Система |
неопределенна: хг = |
5~ ^ ; х2 — -g-х3. |
Задача 15, 20. Решить систему уравнений |
|||
|
|
х-\- Зу — Аг = 3 |
|
|
|
7г/ — 7г = 1 . |
|
|
|
2х — у — г = 5. |
|
О т в е т . |
Система |
неопределенна: х = -8-у -7г ; у = - 7г. |
Давая неизвестному г произвольные значения, будем полу чать соответствующие значения х и у. Предложенная система уравнений имеет решения, и этих решений бесконечное множество.
Задача 15, 21. Решить систему уравнений
|
|
х — 2 у + |
2 = 3 ] |
|
|
|
|
2х — 4у + 2г = 5 }. |
|
||
|
|
Зх — бу 4* З2 = 9 ) |
|
||
Решение. Вычисляем определитель системы |
|||||
|
|
D = |
1 —2 1 |
|
|
|
|
2 — |
4 2= 0. |
|
|
|
|
|
3 — |
6 3 |
|
К этому заключению мы |
приходим немедленно, замечая, что |
||||
элементы |
первого |
столбца |
равны соответствующим элементам |
||
третьего |
столбца. |
|
|
|
|
Исследуем миноры определителя D: |
|
||||
|
II —2 |
= 0; |
|
1—2 1 |
= 0. |
|
|2 —4 |
|
1—4 2 |
Из этого следует, что коэффициенты при соответствующих неизвестных первого и второго уравнений пропорциональны. Оказывается, что и
1 —2 |
= 0; |
1 1 1 п. — 2 |
= 0. |
3 — 6 |
з з | = и> — 6 |
Это показывает, что соответствующие коэффициенты при не известных в первом и третьем уравнениях также пропорцио нальны.
Определитель
3 —2 1
D.5 —4 2 = 0.
9 —6 3
Минор же этого определителя
Д “ |1 _ | | ------ |
2 ^ 0. |
Таким образом, определитель системы D и все его миноры равны нулю, один из коэффициентов при неизвестных нулю не равен; оказалось, что и один из миноров определителя Dx не равен нулю. На основании пункта 4 (стр. 127) заключаем, что система несовместна (противоречива) и, значит, решений не имеет.
Всего этого исследования можно было бы и не производить, если заметить, что коэффициенты при неизвестных во втором уравнении получаются из коэффициентов при неизвестных в пер вом уравнении умножением на 2, а свободный член второго уравнения не получается из свободного члена первого уравнения умножением его на 2. Отсюда сразу можно было сделать заклю чение о противоречивости системы.
Задача 15, 22. Решить систему уравнений
х — 4t/ + Зг = 5 ) 2 х — 8у + 6г = 10 }
Зх — 1 2 у + 9г = 15 )
Р е ш е н и е . Определитель системы
1 — 4 3
D = 2 — 8 6 = 0,
3 —12 9
поскольку имеет место пропорциональность соответствующих элементов, например, первого и второго столбцов (свойство 2).
5 — 4 3
Dx 10 — 8 6 = 0, 15 — 12
так как легко усмотреть пропорциональность соответствующих элементов, например, первой и второй строки (свойство 2).
1 |
5 |
3 |
Dy 2 |
10 |
6 = 0, |
3 |
15 |
9 |
так как сразу |
усматриваем, что элементы первого столбца про |
|||
порциональны |
соответствующим |
элементам |
второго и третьего |
|
столбцов (свойство 2). |
|
|
что |
|
На том же основании сразу заключаем, |
||||
|
|
1 — 4 |
5 |
|
|
Dz |
2 — 8 |
10 = 0. |
|
|
|
3 —12 |
15 |
|
Легко проверить, что все миноры определителей D, Dx, Dy, Dz также равны нулю. И так как один из коэффициентов при неизвестных нулю не равен, то система неопределенна, имеет решения, и решений будет бесконечное множество (см. пункт 5 на стр. 127).
Мы легко усматриваем, что второе и |
третье уравнения |
си |
|||
стемы |
получаются из |
первого |
умножением соответственно |
на 2 |
|
и на |
3, т. е. второе и |
третье |
уравнения |
являются следствиями |
первого, а потому решения первого уравнения удовлетворяют второму и третьему.
Значит, система трех уравнений в нашем случае приводится к одному первому уравнению
х — 4г/+3г = 5,
откуда
* = 5 + 4у — 3z.
Давая у и z произвольные значения, получим соответствую щие значения х. Система имеет бесконечное множество решений.
Задача 15, 23 (для самостоятельного решения). Решить системы уравнений:
1) 2*х — 3*2+ |
5х3= — 71 |
2) |
2*х — |
5х2 + 4*, = 11 1 |
||||
|
Xi |
х2 ~Ь |
х3 = — 4 | |
|
7xi — |
3*2— х3 = 17 | ; |
||
|
бХц+Зл^ — 4*3 = 11 |
j |
|
16*х— 11*2 + 2*, = 20 J |
||||
3) |
2*! + 3*2— 4*з = — 4) |
4) 2 * + |
|
у — г = 11} |
||||
|
3*х+ |
2*2+ |
5*з = 22 |
|
; |
3 * + |
|
2у — 4z = 15 ; |
|
*i — |
*2 + |
*з = 2 |
J |
|
4* |
3у — 7z = 19 J |
|
|
|
|
5) 2* + |
3у — |
5z = |
4 1 |
||
|
|
|
4 * + 6t / r - 10z = 8 }. |
|||||
|
|
|
8* 4- 12у — 20z = 16 J |
|||||
О тв ет . |
1) *! = 1; *2= |
— 2; *3= — 3. |
||||||
2) Система несовместна. |
|
|
|
|
|
|||
3) |
*х= 1; *2= |
2; *3= 3. |
|
|
|
|
4) Система неопределенна. Она допускает бесконечное мно жество решений: х = 7 — 2г; у = — 3 + 5z.
5) Система неопределенна. Она допускает бесконечное мно-
жество решении: х = 2 — у У + у г.
ШЕСТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а н и е : Векторная алгебра.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Это занятие посвящается векторной алгебре, имеющей очень большое значение для механики, электротехники и других техни ческих дисциплин. Напомним основные сведения из векторной алгебры.
Различают два рода величин: скалярные и векторные.
/70- |
|
3 |
|
|
Фиг. |
16,1. |
|
1. Если некоторая |
величина |
вполне определяется ее |
число |
вым значением, то ее |
называют |
скалярной. Примерами |
скаляр |
ных величин могут служить масса, плотность, работа, сила тока, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление,, возведение в сте пень и т. д.
2. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее
направление, то такая величина называется |
векторной, или |
век |
|||||
тором. Примерами векторных величин являются |
скорость, уско |
||||||
рение, |
сила. Длина вектора называется |
также его модулем, |
или |
||||
абсолютной величиной. |
графически |
отрезком |
прямой, |
на |
ко |
||
3. |
Вектор обозначается |
||||||
тором |
ставится стрелка, |
указывающая |
направление |
вектора |
|||
(фиг. |
16, 1). Мы будем вектор обозначать одной буквой с черточ |
||||||
кой над ней, например, а, |
а модуль этого вектора— той же бук |
вой, только без черточки над ней, т. е. а. Модуль вектора а
часто обозначается |
| а |. |
|
где А — начало |
|
|
Вектор |
мы будем |
также |
обозначать Л В, |
и |
|
В — конец |
вектора, |
а его |
модуль — теми же |
буквами, но |
без |
черточки |
наверху. |
|
|
|
|
4.Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.
5.Два вектора а и Ъназываются равными, если 1) равны их мо дули, 2) они параллельны и 3) направлены, в одну и ту же сторону.
Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных
|
прямых, но противополож |
|
|
но направленные, называ |
|
|
ются противоположными. |
|
|
Вектор, |
противоположный |
|
вектору |
а, обозначается |
|
через — а. |
|
|
6. |
Сложение векторных |
|
величин |
производится по |
Фиг. 16,2. |
правилу параллелограмма: |
|
|
сумма двух векторов а и Ь, |
приведенных к общему началу, есть третий вектор с, длина которого равна длине диагонали параллелограмма, построенного на век
торах а и Ъ, а направлен он от точки А к точке В |
(фиг. 16,2) |
а + b ~ с. |
|
Модуль вектора с вычисляется по формуле |
|
с — j/^a2+ Ьг + 2ab cos (a, b). |
(16,1) |
Фиг. 16,3.
7. Сумму нескольких векторов, например а, Ь, с и 5, стр°ят так: берут произвольную точку О плоскости и Из нее строят
вектор ОА, |
равный |
вектору а; |
из точки А |
проводит |
вектор |
||||||
АВ, равный |
вектору |
Ъ, из точки |
В — вектор |
ВС, |
равный |
век* |
|||||
тору с и, |
наконец, из |
точки С |
строят |
вектор |
СО, |
равный |
век* |
||||
тору d. |
Вектор |
0D, |
замыкающий |
полученную Ломаную |
линию |
||||||
OABCD, |
и будет |
суммой векторов а, |
Ь, с и |
d (фи^. 16,3): |
|
||||||
|
|
|
|
OD = |
|
\- с |
d- |
|
|
|
|
По такому же правилу строится и сумма любого числа век торов.
8. Разностью двух векторов а и b называется_такой третий вектор с, который равен сумме векторов а и — b (фиг. 16,4).
Вектор — Ь параллелен вектору Ъ, равен ему по модулю, но противоположно направлен:
с = а — Ъ = а + (— Ъ) = ОС.
Фиг. 16,5.
9.При умножении вектора а на скаляр k получается вектор
Ь, |
модуль которого равен модулю вектора а, умноженному на |
|||
к, |
т. е. Ь = ак. Направления |
векторов |
а и Ь совпадают, если |
|
к > 0, |
и они противоположны, |
если к < |
0. Имеем |
|
|
|
k- а = b, или а = ^ b {к Ф 0). |
||
|
10. |
Два вектора, лежащие на параллельных прямых, неза |
||
висимо от того, направлены они одинаково или противоположно, |
||||
называются коллинеарными. |
|
|
||
|
11. |
Единичным вектором, или ортом данного вектора, назы |
||
вается |
вектор, совпадающий по направлению с данным вектором |
|||
и имеющий модуль, равный ^единице. |
|
|||
|
12. |
Проекцией вектора |
а на ось |
7 называется длина отрезка |
А'В', заключенного между проекциями начала и конца вектора
на эту ось. Этой длине приписывается знак плюс, если направ ление отрезка А'В' совпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси.
Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (фиг. 16, 5).
Проекция вектора а на ось I обозначается через щ |
или прщ, |
|
а угол |
между осью 7 и вектором а будем обозначать |
так: (/,"с). |
Таким |
образом, |
|
|
ai = пр*а = acoscp. |
(16,2) |
Если, а, р и 7— углы, образованные вектором а с коорди натными осями Ох, Оу_ и Ог прямоугольной системы координат,
то проекции вектора она координатные оси будут равны
ах = |
a cos а |
| |
|
ау = |
acos(3 |
>. |
(16,3) |
аг = a cos 7 J |
|
В дальнейшем предполагается, что система координат — прямо угольная.
Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле
а = У <&+ $ + <& |
(16,4) |
т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадрат ного корня из суммы квадратов его проекций.
Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при вы
воде необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).
Если |
векторы ах и |
а2 равны, |
то равны и их проекции: |
||||||||
|
|
|
0 \х = |
&2х\ |
0 \у = а2и> а\г = 0,2г. |
|
(16, 5) |
||||
Если |
для |
вектора |
а |
известны |
координаты |
его |
начала |
||||
А (хъ уь_г]) и координаты его конца |
В {х2, |
у2, г2), |
то |
проекции |
|||||||
вектора а на |
координатные оси определяются |
по формулам |
|||||||||
|
|
Ох = |
Х2 — |
X j j |
dy = У2 |
У1* Oz — |
Z2 |
Z\, |
|
(16, 6) |
|
а модуль вектора |
в этом случае |
определится |
по формуле |
||||||||
|
a = |
У (х2 - |
+ (у2 - |
i/i)2+ |
(z, - |
г,)2. |
|
(16, 7) |
Очевидно, что по формуле (16,7) следует вычислять и рас стояние между точками А (хъ Уъ Zj) и В (х2, у2, z2).
13.Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна
алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось. Из векторного равенства
а = + |
а2 + |
о3 + |
. . . + |
оп |
(16, 8) |
|
следуют такие три скалярные равенства: |
|
|
||||
ах = |
0 \х + |
02х + |
азх + |
• • • + |
опх; |
|
аи = |
а\у + |
02У+ |
Озу + |
• • • + |
опу\ |
(16, 9) |
Ог = й\г 4* 02г 4" ^3z 4“ ♦• • 4" а М‘
14. |
Если |
t, |
J и k — векторы, по |
модулю |
равные единице |
и направленные |
по |
координатным осям |
Ох, Оу и |
Ог, то разло |