книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Вместе с уравнением неразрывности среды (1.2.143) и первым соотношением в (1.5.31), записанным через коэффициент объемной вязкости k* = (3λ* + 2μ*) в виде

уравнение К. Навье–Дж. Стокса (1.5.33) представляет замкнутое множество при заданных значениях массовых сил F и функций состояния вязкой среды λ* , μ*.

Для несжимаемых сред k* = ∞, а вследствие (1.2.98), (1.2.146), (1.2.148), (1.2.149) имеем Sξ = 0. Поэтому при вычислении среднего напряжения по формуле (1.5.34) или сферической части Sσ тензора напряжений по формуле (1.5.31) получаем неопределенность. Этот факт, установленный А. Пуанкаре, свидетельствует о том, что в несжимаемой среде напряжения определяются по кинематическим параметрам лишь с точностью до произвольного среднего напряжения (1.3.20). Для таких сред в (1.5.31) девиатор напряжений пропорционален тензору скоростей деформаций

так как в разложении (1.2.142) сферическая часть Sξ этого тензора вследствие выполнения условия несжимаемости (1.2.98) равна нулю.

Для несжимаемых сред уравнение К. Навье–Дж. Стокса (1.5.33) упрощается:

и вместе с условием несжимаемости (1.2.98), когда плотность ρ = ρ0=const, оно образует замкнутое множество. Общее количество скалярных уравнений в этом множестве можно сократить, если воспользоваться записью поля скоростей через функцию тока Ψ и лагранжеву координату L3 в виде (1.2.104), приводящей к безусловному выполнению (1.2.98) вследствие тождества (П1.85). В этом случае уравнение К. Навье–Дж. Стокса имеет вид

скалярная форма записи которого содержит три уравнения относительно трех неизвестных величин σ0, Ψ и L3.

241

1.МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Внекоторых случаях решение задачи удается разделить на две части: определение НДС с точностью до среднего напряжения в первой части с последующим интегрированием уравнения движения (1.4.16) во второй части. В таких случаях постановка первой части не должна содержать ни в замкнутом множестве, ни в краевых условиях среднее напряжение, и все параметры НДС при ее реализации должны зависеть от констант интегрирования уравнения движения.

Упражнение 1.5.9. Доказать тождество

Теперь, повторяя замену девиатора напряжений Dσ на выражения, определяемые функциями Ψ и L3 так, как это было сделано при выводе уравнения (1.5.37), из (1.5.39) получим

{μ*[ ( Ψ L3 ) + ( Ψ L3 ) ]}+

При решении задач ОМД уравнение (1.5.40) часто используется без учета инерционных и массовых сил:

Граничные условия к решению уравнения (1.5.29) получают из граничных условий, приведенных в табл. 6, где вместо тензора напряжений используют его значение, рассчитываемое по формуле (1.5.13). Аналогичным образом в других вариантах кинематической постановки краевой задачи при записи граничных условий используют краевые условия основного множества уравнений (табл. 6), в которых статические параметры исключаются с помощью соответствующих рассматриваемым средам определяющих уравнений.

При решении некоторых задач МСС, например теории упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором перемещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении

242

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

(1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравнений типа (1.5.30) на кинематические параметры.

В частности, для изотропных сред из (1.5.1) с помощью (1.5.9) получаем (1.5.10) и соотношения, аналогичные (1.5.31):

В этом случае из основного множества (табл. 5) имеем

Для линейно-упругих сред, когда параметры λ и μ постоянны, из (1.5.43) получаем уравнение Г. Ламе:

На основе приведенных выше дифференциальных уравнений и соответствующих краевых условий выполняются кинематические постановки задач МCC.

1.5.5. Статическая постановка задач

Если в математической постановке краевой задачи все параметры движения сплошной среды записаны через статические параметры, то это означает, что сформулирована статическая постановка краевой задачи. В частности, после подстановки (1.5.28) в (1.2.88) получаем замкнутое относительно компонент тензора TΦ функций напряжений множество дифференциальных уравнений, называемое обобщенными уравнениями Э. Бельтрами, без учета массовых и инерционных сил:

Статические граничные условия для постановки краевой задачи с использованием уравнения (1.5.45) записывают с помощью (1.4.19) в виде (1.3.50):

Статическая часть смешанных граничных условий (1.3.52) и (1.3.53), представленных в табл. 6 и 7, также записывается через тензор функций напряжений TΦ:

243

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Кинематическая часть этих условий может быть задана с помощью формул Е. Чезаро, представляемых за счет подстановки определяющего уравнения (1.5.28) в (1.2.89) в виде

x4

+∫ [Tc ( 2 TΦ )] dy = U p s Sτu ;

либо в другом виде после аналогичной подстановки в (1.2.167):

244

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

При кинематических граничных условиях полный вектор перемещения на поверхности Su или полный вектор скорости на поверхности Sv могут быть зада-

ны своими касательными U τ или V τ и нормальными U p или V p составляющими к этим поверхностям (1.5.48) или (1.5.49) соответственно. Либо для поверхности Su они задаются с помощью (1.2.89) и (1.4.19):

а для поверхности Sv – с помощью (1.2.167) и (1.4.19):

Обозначения параметров, входящих в формулы (1.5.48), (1.5.50) и (1.5.49), (1.5.51), совпадают с обозначениями этих же параметров в формулах (1.2.89) и (1.2.167) соответственно.

1.5.6. Диаграммы механических испытаний металлов

Среди M-опытов, направленных на определение механических свойств металлов, используются процессы ОМД, для которых априори известна схема НДС. Наибольшее распространение среди таких процессов получили испытания образцов на одноосное растяжение или сжатие и кручение. Кинематические параметры первых двух процессов при однородной деформации образцов из несжимаемых материалов, полученные в пп. 1.2.6, представлены в табл. 10.

Если требуется определить механические свойства деформируемого металла, практически несжимаемого в исследуемом процессе ОМД, в зависимости от степени и скорости деформации, то для условий многих таких процессов в соответствии с постулатом макроскопической определимости испытания M-об- разцов из этого металла могут быть сведены к их растяжению или сжатию

245

(1.2.168) при постоянном значении интенсивности сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161). Для обеспечения в испытаниях плоской деформации (Ν = 2) используют образцы в виде тонкой широкой полосы; для обеспечения осесимметричной деформации (Ν = 3 ) – в виде круглого цилиндра; для объемной деформации (Ν = 3 ) – в виде прямоугольного параллелепипеда (табл. 10). Испытания с фиксированной скоростью деформации (1.2.168) можно осуществить на кулачковом пластометре (рис. 50).

Упражнение 1.5.10. Показать, что текущий радиус кулака пластометра (рис. 50) при изменении высоты образца по закону (1.2.117), определяемому функцией (1.2.168), обеспечивает выполнение условия Н = const = Н*, если он рассчитан по формуле

246

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Рис. 50. Принципиальная схема кулачкового плас9 тометра:

1 – образец на растяже9 ние (вверху) или сжатие (внизу); 2 – г идроци9 линдр; 3 – вертикальный шток с поршнем; 4 – го9 ризонтальный шток с пор9 шнем; 5 – ролик; 6 – ку9 лак в утопленном (пунк9 тир) и выброшенном положениях; 7 – барабан (маховик)

где kп – передаточное число гидравлического редуктора; Μ – текущий угол поворота барабана радиуса rб; Ζ – угловая скорость вращения барабана, Ζ = Μ/t. Знаку плюс в (1.5.52) соответствует растяжение, а знаку минус – сжатие

Если дополнительно к приведенным условиям требуется изучить влияние гидростатического давления на механические свойства, то аналогичные испытания можно выполнить на специальной установке (рис. 51), в которой образец деформируется за счет гидроэкструдирования связанной с ним заготовки переменного сечения.

Упражнение 1.5.11. Показать, что для обеспечения постоянства интенсивности сдвиговых скоростей деформаций (Н = Н*) при испытании на установке, показанной на рис. 51, текущий диаметр Dz выдавливаемой гидроэкструзией заготовки рассчитывается по формуле

где Vи – скорость истечения заготовки из канала матрицы диаметром d; z – текущая высота рабочего участка заготовки.

Пояснения к решению. При E1 = h по данным табл. 10 получить значение скорости V1 V1ɩ, которая из условия постоянства потока материала заготовки связана со скоростью ее истечения из канала матрицы соотношением V1ɩDz2 Vɢd 2

При осадке круглого образца из изотропного материала с постоянным объемом в условиях однородной осесимметричной деформации НДС характеризу-

247

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ется нижеследующими тензорами напряжений, деформаций и скоростей деформаций:

248

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

тальной диаграммы механического состояния металла при растяжении или сжатии определить зависимость функции состояния среды от степени деформации (рис. 52).

Другим распространенным способом испытания механических свойств металлов является кручение, при котором круглый образец подвержен действию крутящего момента М. При простом кручении, когда угол закручивания образца линейно изменяется по его длине, закон движения (1.2.9) в эйлеровых координатах EΥ, EΜ, Ez имеет вид

где – длина образца; Μ – угол поворота торца образца при Ez = . Упражнение 1.5.12. Используя (1.5.56), показать, что при простом кручении

изотропного материала параметры НДС имеют вид

249

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Пояснения к решению. Воспользоваться формулой О. Коши (1.2.70) в цилиндрических координатах

соотношением (1.5.31) и отсутствием нормальных напряжений на цилиндрической поверхности образца

Параметры НДС в (1.5.57) не являются однородными и в общем случае меня-

ются в пределах 0 ≥ ξϕz ≥ −ϕ 2R ; 0 ≥ σϕz ≥ −ϕ R2μ в интервале изменения эйле-

ровой координаты 0 ≤ Еρ ≤ R. Ясно, что в соответствии с условиями проведения M-опытов не всякий образец может быть использован при кручении в качестве M-образца. В частности, к большим погрешностям приводят испытания, в которых в качестве образца используются пруток или толстостенная труба. Для тонкостенных труб, подвергаемых кручению, вместо переменной сдвиговой деформации εϕz используют ее усредненное по толщине t стенки трубы значение

250