1.3. СТАТИКА
ми σi, вычисленными в предыдущей задаче. Тогда максимальные касательные напряжения
τ12 = ± |
σ −σ |
2 = ± |
33 |
; τ23 = ± |
σ |
|
−σ |
|
= ± |
|
33 |
; |
τ31 = ± |
σ3 |
−σ1 |
= |
33. |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом наибольшее из этих напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τmax = τ31 = ± |
33. |
|
|
|
|
|
|
|
1.3.5. Статические граничные условия
Так же, как и кинематические, статические граничные условия при постановке задач ОМД назначаются на основе априорных или апостериорных представлений об изучаемом процессе. При этом на границе области движения сплошной среды задаются статические параметры.
Статические условия в напряжениях на границе Sσ с единичной внешней нормалью n (2.1.169) считаются заданными, если в каждой точке s этой границы известно полное поверхностное напряжение σn , которое по формуле О. Коши (1.3.13) определяет вид тензора напряжений:
Если граница Sα тела Mα содержит участки S0α, свободные от внешнего механического воздействия, то на таких участках статические граничные условия задаются в виде равенства нулю полного поверхностного напряжения:
При задании смешанных граничных условий используется либо нормальная pn , либо касательная τn к поверхности S составляющая полного поверхност-
ного напряжения. В первом случае на поверхности Spv или Spu статические граничные условия задаются в виде (1.3.15)
3 |
s S |
|
(s S |
|
). |
|
T Tn = pn |
pv |
pu |
(1.3.52) |
σ |
|
|
|
|
Во втором случае используется заданное значение τn |
касательного к поверх- |
ности Sτv или Sτu напряжения, связанного с девиатором напряжения формулой (1.3.27) или (1.3.28):
Рис. 43. Схема прокатки с задним и перед9 ним натяжениями
172
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
3
Dς n Dς Tn Ωn s SΩv (s SΩu );
n u(Dς n)un Wn s SΩv (s SΩu ). |
(1.3.53) |
Таким образом, формулы (1.3.53) показывают, что при определенных условиях (например, если для всего тела M имеем S = SΩu) для решения краевых задач напряженное состояние в сплошной среде M достаточно определить с точностью до гидростатического давления, т. е. определить только девиатор напряжений.
Задачи к пп. 1.3.5
Задача 1.3.5.1. Записать статические граничные условия, соответствующие процессу тонколистовой прокатки с задним ςɡɚɞɧ и передним Vɩɟɪ натяжениями (рис. 43).
Решение. На участке A1A2 должны быть заданы контактные касательные на-
пряжения Ωn Ω. Обычно последнее соотношение связывают с тем или иным законом трения. При этом необходимо учитывать (задача 1.2.8.1), что на контакте металл–валок имеется нейтральная точка (н.т.). При этом на участке от
н.т. до точки A2 (зона отставания) касательное напряжение Ωn , действующее на прокатываемый металл со стороны валка, является активным и обеспечивает сам процесс прокатки. На участке от н.т. до точки A1 (зона опережения) каса-
тельное напряжение (Ωn ) направлено в противоположную сторону, препятствует выполнению процесса прокатки и является реактивным. При этом модуль касательного напряжения на этих участках должен быть задан Ωn = Ω.
Участок A2A3 свободен от внешнего воздействия, если пренебречь влиянием
атмосферного давления. Поэтому на этом участке pn 0 и Ωn |
0. Такие же гра- |
ничные условия, из этих же соображений, следует записать для участка A6A1. На |
участке A3A4 действует только заднее натяжение. Поэтому pn |
ςɡɚɞɧ. На оси |
симметрии (участок A4A5) всегда касательное
напряжение Wn = 0. На участке A A действу- |
5 |
6 |
ет только переднее натяжение pn |
ςɩɟɪ. |
Теперь все известные статические граничные условия для рассматриваемого процесса можно представить в формализованном виде:
1.3. СТАТИКА
n υ(Dς n)υ n Ω s A1 ɧ.ɬ.; n υ(Dς n)υ n Ω s ɧ.ɬ. A2;
3 3
Tς Tn 0, n υ(Dς n)υ n 0 s A2 A3; Tς Tn ςɡɚɞɧ s A3 Ⱥ4 ;
|
3 |
n υ(Dς n)υ n |
0 s A4 Ⱥ5; Tς Tn ςɩɟɪ s A5 A6; |
3 |
0, n υ(Dς n)υ n 0 s A6 A1. |
Tς Tn |
Графически приведенные статические граничные условия показаны на рис. 44. Задача 1.3.5.2. Записать статические граничные условия при прессовании круглого прутка радиусом R1 из круглого контейнера радиусом R0 под действи-
ем давления q , приложенного к пресс-шайбе (рис. 45).
Решение. Если не учитывать атмосферное давление на участке B1B2, то на этом участке pn 0 и Ωn 0.
На участке B2B3 контактного взаимодействия прессуемого материала с матрицей и контейнером должен быть задан модуль касательного напряжения Ωn = Ω.
На участке B |
B |
4 |
может быть задано давление прессования. Тогда pn q. На |
3 |
|
|
|
оси симметрии (участок B4B1) касательное напряжение Ωn |
0. |
Формализованные перечисленные статические условия имеют вид |
3 |
|
|
|
|
Tς Tn 0, n υ(Dς n)υ n 0 s B1B2 ; n υ(Dς n)υ n |
Ω s B2 B3; |
3 |
|
|
Tς Tn q s B3B4 ; n υ(Dς |
n)υ n 0 |
s B4 B1. |
Самостоятельно изобразить графически перечисленные статические граничные условия для осесимметричного прессования.
Рис. 44. Статические граничные условия при про9 |
Рис. 45. Схема осесимметричного прес9 |
катке с задним и передним натяженияти |
сования прутка |
σβn .
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
1.3.6. Статика сплошных композитных сред
При решении задач о деформировании сплошных композитных сред (1.1.1), когда на границе Sαβ двух компонент Mα и Mβ такой среды отсутствуют разрывы, на этой границе необходимо учитывать соотношение сил взаимодействия этих компонент в соответствии с третьим законом И. Ньютона:
В общем случае напряженное состояние в α- и β-среде характеризуется собственными полями тензоров напряжений Tσα и Tσβ соответственно. Вследствие (1.3.6) и единства поверхности взаимодействия двух компонент из (1.3.54) имеем равенство по абсолютной величине полных поверхностных напряжений σαn
и Применяя формулу О. Коши (1.3.13), для контактирующих сред имеем
Tσα nα = Tσβ nβ s Sαβ, |
(1.3.55) |
где единичные внешние для сред Mα и Mβ нормали nα и nβ отличаются знаком: nα = −nβ.
Упражнение 1.3.8. Используя тензор Tnα , получаемый по формуле (1.2.172) с
помощью вектора nα и девиатора Dασ тензора напряжений Tσα , показать, что
на свободной поверхности S0α условие (1.3.55) можно заменить эквивалентными условиями
Tσα Tnα = 0; nα (Dσα nα ) = 0 s S0α |
(1.3.56) |
Ясно, что при отрыве компонент композитной среды друг от друга часть поверхности Sαβ, где произошел отрыв, в общем случае становится поверхностью SΣα и SΣβ, на каждой из которых условия (1.3.55) заменяются условиями (1.3.50) для α- и β-среды соответственно. В частности, при SΣα = S0α и SΣβ = S0β для этих сред условия (1.3.55) заменяются условиями (1.3.56) с соответствующими индексами α и β.
Если при решении задач о движении КМ нарушение сплошности среды не происходит, то на поверхности стыка контактирующих компонент композитной среды обычно вместо статических условий (1.3.55) записывают смешанные граничные условия, обеспечивающие непрерывность нормальной к поверхности Sαβ составляющей вектора скорости (1.2.171) и парность касательных напряжений:
1.3. СТАТИКА
Vα Tnα = Vβ Tnβ; nα (Dσα nα ) nα = nβ (Dσβ nβ ) nβ s Sαβ. (1.3.57)
В этом случае допускается возможное проскальзывание α- и β-среды на их общей границе Sαβ.
Контрольные вопросы
1.Чем характеризуется внешнее силовое воздействие на рассматриваемый объем сплошной среды и какова внутренняя реакция его на это воздействие?
2.Что называется напряжением?
3.В чем физический смысл компонент тензора напряжений?
4.Как по заданному напряженному состоянию определить напряжения на наклонной площадке с известной внешней единичной нормалью?
5.Какой физический смысл имеют сферическая часть тензора напряжений и девиатор напряжений?
6.В чем особенность напряжений на октаэдрических площадках главного множества координат тензора напряжений?
7.К каким изменениям нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке приведет равенство сферической части тензора напряжений нулевому тензору?
8.На каких площадках действуют экстремальные касательные напряжения? Сколько таких площадок?
9.Как определяются среднее напряжение и интенсивность касательных напряжений? Чему равно гидростатическое давление?
10.Какие типы граничных условий можно записать с помощью статических параметров?
11.Как записываются статические граничные условия на свободной границе?
12.В чем особенность граничных условий на поверхности, разделяющей компоненты КМ? Приведите примеры частных вариантов таких условий.
13.Как учитывается неразрывность КМ на стыке его компонент с учетом их возможного проскальзывания?
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 3 по разделу МСС «Статика»
По заданному тензору напряжений Tς = [[ςik]] определить: 1) полное ςn ,
нормальное pn и касательное Ωn напряжения на наклонной площадке с единичной внешней нормалью n [[n1 n2 n3]]; 2) главные напряжения; 3) полное
ςɨɤɬ , нормальное pɨɤɬ и касательное Ωɨɤɬ октаэдрические напряжения; 4) экстремальные касательные напряжения Ωik.
