книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.2. КИНЕМАТИКА

строение функции выполним по аналогичной процедуре. Тогда в соответствии с (1.2.104) для ik-го слоя получим векторное поле объемного течения

По этой же формуле определяется поле скоростей в более сложном случае,

когда функции <i и Lk3 зависят от всех эйлеровых координат E1, E2, E3.

Применение метода построения поля скоростей для объемных стационарных течений рассмотрим на примере деформации основного слоя прямоугольного сечения с частичной двусторонней плакировкой и симметричным расположением плакирующих слоев относительно плоскости E3 = 0. Предполагается, что искривление поверхностей < = и < = в направлении оси E3 и искривление поверхностей L3 = L3 и L3 = L3 в направлении оси E1 пренебрежимо мало (рис. 34). Сначала с помощью основного решения с функцией тока в

Рис. 34. Поперечное сечение тела с двусторонней частичной плакировкой

121

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

По аналогии с построением основного решения (П3.54) в плоскости E3 = 0 построим такое же решение в плоскости E2 = 0 с лагранжевой координатой

где b0, b – начальная ширина всего тела и ширина его в момент деформации

При этом Lr0 = L3; f0 = L+3 . Во всех ik-х слоях, кроме последних по индексу k, коэффициенты стыковки слоев вычисляем по формулам (1.2.200)

В последнем по индексу k M-м слое

В формулах (1.2.209), (1.2.210) коэффициенты ck и dk полностью определяются значениями Lrk−1 на стыке слоев у входа в зону их возмущенного движения

( Lrk−1 = sk ) и от точек Ec′k до выхода из этой зоны ( Lrk = fk ).

Функции сцепления Bc′k в (1.2.209) и (1.2.210) могут быть представлены общей для всей объемной области течения непрерывной функцией Bc, принимаю-

122

1.2. КИНЕМАТИКА

щей постоянное значение Bc = 1 в точках E2 = Eп и значение Bc = 0 в точках E2 = Eс. Как отмечалось, в упрощенном варианте эта функция при плоской деформации в каждом слое аппроксимируется функциями (1.2.204), а при объем-

ной деформации – дополнительно аналогичными функциями:

Eп′k – уровень E2 начала значимого изменения ширины k-го слоя; Ec′k – уро-

вень этой же координаты, где начинается сцепление слоев по их боковым поверхностям.

Теперь с помощью (1.2.209), (1.2.210) запишем для каждого из рассматриваемых слоев (рис. 31):

Подстановка (1.2.207) и (1.2.215) в (1.2.206) позволяет построить объемное поле скоростей в рассматриваемой области с учетом кинематического взаимодействия ik-х слоев по схеме П–С. Так же как при плоской деформации, для моделирования объемного течения со схемой С–П кинематического взаимодействия слоев достаточно поменять местами положения точек

Eпk , Eп′k и Eck , Ec′k соответственно. Следует отметить, что кинематические

параметры объемного многослойного течения, построенные на функциях (1.2.190), (1.2.191), (1.2.201), (1.2.202), неоднозначно определяют как вид мно-

123

1.2.13.Кинематика сплошных сред с включениями

Вобласти : рассмотрим движение сплошной композитной среды M, пред-

ставляющей собой объединение среды-окружения M и нескольких сред-вклю- чений MΕ. Пусть в этой области построено множество функций Lk, определяющих по формуле (1.2.95) поле скоростей среды-окружения. В областях :Ε:,

занятых средами-включениями, множество лагранжевых координат LΕk пост-

роим на множестве лагранжевых координат Lk среды-окружения как на основном решении:

должны удовлетворять однородным граничным условиям для сохранения

сплошности всей композитной среды. При этом изолинии = const и

= const, образующие границы SΕ, должны входить в семейство изолиний

Lk = const.

Из закона сохранения (1.2.10) среды-включения

124

1.2. КИНЕМАТИКА

по формуле (1.2.95), представленной в виде (1.2.92), определим вектор скорости в области Ωβ

где компоненты Diβ вспомогательного вектора Dβ получаются так же, как и ранее (1.2.93), из якобиана

путем замены дифференцирования лагранжевых координат Lβk по эйлеровой

координате Ei дифференцированием по времени t.

Упражнение 1.2.25. Показать, что якобиан (1.2.219) связан с якобианом JE (1.2.20) соотношением

где D – вспомогательный вектор поля скоростей (1.2.95), построенного на основном решении

125

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Подстановка (1.2.220) и (1.2.222) в (1.2.218) приводит к равенству полей скоростей среды-окружения и сред-включений

Однако, как будет показано в п. 1.5, вид поля скоростей (1.2.95) в этом случае зависит от свойств и геометрических параметров всех компонент гетерогенного тела и в общем случае отличается от поля скоростей, описывающего движение гомогенного тела при прочих равных условиях.

Таким образом, приходим к выводу, что любая корректировка лагранжевых координат Lk, построенная на них как на основном решении (1.2.216), в области движения композитной среды не приводит к необходимости построения новых полей скоростей в областях движения каждой составляющей такой среды. Физически это объясняется тем, что корректировка в (1.2.216) предполагает отсутствие разрывов кинематических параметров на поверхности Sαβ, разделяющей α- и β-среды. Однако в реальных условиях в общем случае такие разрывы допустимы. В этом случае скорректированные лагранжевы координаты в областях Ωβ следует представлять в виде

заменяя, при необходимости, в корректировке эйлеровы координаты на соответствующие основные лагранжевы координаты. Ясно, что при полной замене первых на последние, из (1.2.224) получим (1.2.216).

Теперь проследим за кинематическим взаимодействием двух компонент Mα и Mβ сплошного композитного тела M = MαUMβ на их общей границе Sαβ. Для этого назначим лагранжевы координаты так, чтобы граница Sαβ совпала с одной из изоповерхностей Li = const. Тогда на основании (1.2.20) и (1.2.95) для обеих компонент тела M находим:

Отсюда ясно, что нормальные к Sαβ составляющие векторов скорости V α и

V β обеих компонент на участке Li = const одинаковы и имеют вид

∂Li

∂Ek ∂Ek

126

1.2. КИНЕМАТИКА

Таким образом, в рассматриваемом варианте движения КМ на общей поверхности контактирующие компоненты КМ никогда не проникают друг в друга и никогда не отрываются одна от другой.

Учитывая, что отношение градиента лагранжевой координаты Li к модулю этого градиента равно единичной нормали ni к поверхности Sαβ, с помощью (1.2.167) определим тангенциальные к этой поверхности составляющие обоих векторов:

что соответствует относительному проскальзыванию компонент КМ. Если же в

какой-либо точке поверхности Sαβ наблюдается равенство Viατ = Viβτ , то это означает, что в этой точке произошло сцепление компонент. При этом необходимо отметить, что сцепление является необходимым, но не достаточным условием надежного соединения компонент КМ.

Контрольные вопросы

1.В чем сходство и принципиальное различие лагранжевых и эйлеровых координат движущихся материальных частиц? Как отражается это различие на записи параметров движения сплошной среды в обоих множествах координат?

2.Поясните физическую разницу между двумя равенствами нулю частной и полной производных по времени характеристик движения в эйлеровых координатах.

3.В чем сходство и различие компонент тензоров конечных и малых деформаций?

4.В чем физический смысл диагональных и боковых компонент тензоров конечных деформаций Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и тензора малых деформаций?

5.Поясните физический смысл якобианов преобразования координат Лагранжа и Эйлера, укажите пределы изменения значений этих якобианов.

6.На какие простейшие составляющие можно условно разложить всякое механическое движение и какими величинами характеризуются эти составляющие по теории малых деформаций?

127

1.МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

7.Запишите алгоритм вычисления компонент вектора скорости по заданному закону движения в эйлеровых координатах.

8.Какими параметрами характеризуются скорость поступательного движения и составляющие искажения во времени окрестности материальной частицы?

9.Чем в общем случае отличаются траектория материальной частицы и линия тока; когда оба эти понятия совпадают?

10.Как записывается условие неразрывности среды в эйлеровом и лагранжевом множествах координат?

11.Какие виды механического движения описываются вектором скорости и составляющими вектора скорости дисторции?

12.Какие типы граничных условий можно записать с помощью кинематических примеров?

13.Каковы условия совместного движения компонент сплошной композитной среды?

14.Какие разрывные поля скоростей называются кинематически возможными?

15.Чем отличается кинематическое воздействие контактирующих слоев многослойного тела в зонах их проскальзывания и сцепления?

16.В каких случаях кинематика КМ описывается единым для всего КМ и индивидуальными для каждой компоненты КМ полями скоростей?

Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 2 по разделу МСС «Кинематика»

Пункт А ДЗ № 2. По заданному закону движения в виде L = L(Ei , t) или

E = E (Li , t) определить: 1) вектор перемещения; 2) тензоры конечных деформаций А. Е. Грина и Ж. Лагранжа или О. Коши и Л. Эйлера; 4) вектор скорости; 5) тензор малых деформаций; 6) девиатор и сферическую часть тензора малых деформаций; 7) якобиан преобразования координат JL или JE; 8) вычислить все параметры по подпунктам 1)...7) в точке M (1, 2, 3) к моменту времени t = 1 и описать физический смысл компонент тензоров конечных деформаций.

Варианты ДЗ № 2 по пункту А

128

1.2. КИНЕМАТИКА

Продолжение вариантов ДЗ № 2 по пункту А

129

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Продолжение вариантов ДЗ № 2 по пункту А