книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfдля вариации потенциальной энергии, получим следующее вы ражение:
8П = - j j { |
2 |
(ЛГ11>1 + ЛГ|<1в)8и,®+ 2 |
+ |
+ |
2 |
( |
/ |
|
|
+[2 мч.ц~Ъ^(*v+*y)+2
Л/ |
|
<J |
г |
|
|
|
+ | [ 2 |
ЛгЛ |
° + 2 Я /28а|- М |
2^ |
, | + (Л*м* + 2Мил + |
||
1 |
2 |
,2-^22) 8®] ^i|oa4" J |
[ 2 |
|
|
^ Д 8а/— |
— iMu8®tl + |
( i Wuj +2i Wu a + |
8 |
® |
] |
<afAT2|o‘ — |
|
|
|
— 2УИи8® |o*o*- |
|
(2.75) |
Отсюда следует, во-первых, законность отбрасывания потенци ала Y при вводе выражений (2.64) и выводе уравнения (2.72), так как и Мц не содержат Ыц\ во-вторых, что естественные граничные условия должны формулироваться относительно мо ментов H {j и Mij, причем контурные и внешние нагрузки долж ны быть приведены к поверхности, расположенной на расстоя нии '/г hc\z от срединной поверхности заполнителя. Действитель но, вычислим относительно этой поверхности, например, момент
М\\ (штрих поставлен для отличия от момента М ц), имеем
M'U = M U- - L h N n c1A^ M lv |
(2.76) |
Итак, если за поверхность приведения принять поверхность, расположенную на расстоянии xhhc\z от срединной поверхнос ти заполнителя, то нелинейные уравнения равновесия будут иметь вид
- f (1 _ v) v2*®'= E h (6ииу,22— 2kuw,п +
+ * 22®,и+ w*u - « , Л ’2); |
(2.77) |
^ (1 - - у - v2) VV z + { Е ж + ЧГ) (V - ®.и)-
- 2 Я , „ (А ц - в .и Ж Л и + ’Г) (*■ -«.«)=А' + ЧГ.1®.1 + ЧГ.1« >,; (2.78)
---------- V acp=cp. |
(2.79) |
61
Нормальные перемещения (прогиб) |
w и функции at через ос |
|||
и ф выражаются следующим образом |
(ф нормировано по-иног |
|||
му): |
|
|
|
|
|
|
® = ( 1 ~ y V a) X; |
(2.80) |
|
а 1— |
~ |
?.* j > а2= |
~|^y(V ax),a+?,ij- |
(2.81) |
Тангенциальные удельные усилия через функцию F опреде ляются по формулам
iVii==F 22 + ^ ; Л^12 = —^,12; ^22 = -P,n+ ^ - |
(2.82) |
Полные удельные |
изгибающие и крутящий моменты имеют вид |
|
М 11 • !_ |
D ( - ^ + v - £ - V l - i £ v * ) x + |
|
|
дх221\ |
В V IA- ~ |
+ D ( l - v ) ( l - & ) d2<p
дхгдх2
22 |
dx ? }\ |
- D { 1 _ V)(1 — f t ) - ^ - - dxrfxi
d2
M n = — D ( l - v )
дхгдх2
ftft2
■ )x -
(2.83)
Обобщенные изгибающие и крутящий моменты, соответству ющие параметрам а», записываются в форме
/y,t = _ 0 v ( £ r2+ v ^ |
) x + O v (, - v ) |
dxidx2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
_^ (а5 +v |
|
д2? . |
|
||
(1^v)dxidx2 |
|
(2.84) |
|||
|
|
|
|
|
|
— D y(l — v) |
д2Х |
y D y ( l - v ) ^ |
д&? |
д29 \ |
|
дххдх2 |
дх22 |
дху2) ‘ |
|
||
|
|
|
Теперь сформулируем несколько случаев граничных условий. Прежде всего отметим, что граничные условия относительно тангенциальных перемещений и тангенциальных усилий форму лируются точно так же, как и для однородных оболочек. Так,
например, если на |
крае x i= x i° потребовать выполнения усло |
вий ЛГц = е22=0, то |
для функции F получим следующие краевые |
условия: |
|
V 2( f + 4 f)= 0 . |
(2. 85) |
Поэтому рассмотрим граничные условия, касающиеся |
функций |
X и ф, характеризующих изгиб оболочки. |
|
1. Край Х\ = х\° свободно оперт: |
|
62
а) диафрагма, препятствующая относительному сдвигу несу щих слоев вдоль края, отсутствует (ay=Afn = # n = # i2= 0)
|
|
* ) * - < * |
|
|
v 5 |
- £ * - = 0 ; |
(2. 86) |
|
) z _ ( 1 ~ v) 3X10X2 |
|
|
д2 |
____1 |
/ д2 ___ |
|
дххдхз |
2 |
\dx<p dxi2) T = ° ; |
|
б) имеется диафрагма бесконечной жесткости, препятствую щая относительному сдвигу несущих слоев вдоль края ободоч
ки (W— M u = # 1 1 = 02= 0), |
|
|
|
|
|
д21 _ |
д*1 ^ |
д? _ 0 |
(2.87) |
|
d.*i2 |
дхг* |
dxi |
|
|
|
|||
2. |
Край xi= xi° защемлен: |
|
|
|
а) |
диафрагма, препятствующая |
относительному сдвигу не |
||
сущих слоев вдоль края оболочки, |
отсутствует |
(ay= w,i = ai = |
||
= #12 = 0) |
|
|
|
|
|
О - у V2) x = Z .i - ( V 2x).t=<P=0; |
(2.88) |
б) имеется диафрагма бесконечной жесткости, препятствую щая относительному сдвигу несущих слоев вдоль края оболочки
(w = w,i= a i = a e = 0 ),
|
|
|
(2.89) |
J j L -----* L = 0 ; |
J ^ L + J S - = 0 . |
||
дх\ |
дх2 |
дх2 |
дх\ |
3. Край xi = xi° свободен от |
связей. Имеем (Mn = # n = Qi + |
||
+ 12,2=# 12 = |
0) |
|
|
(2.90)
_ ( l _ v)(l _ d) |
* |
= 0 ; |
|
|
|
д*23 |
|
dxidx2 |
2 \Д^г2 |
|
JCI2/' |
63
Таким образом, для рассматриваемых случаев опирания на крае существуют по 4 граничных условия относительно функций X и ф и два граничных условия для функции F, что соответству ет двенадцатому порядку уравнений (2.77) — (2.79).
Заметим, что уравнение (2. 79) имеет решение типа краево го эффекта, т. е. решение, быстро затухающее при удалении от края. Очевидно различие решений, соответствующих краевым условиям а) и б), не должно быть существенным при определе нии таких интегральных характеристик оболочки, как крити ческая сила и частота колебаний. Это позволяет во всех случаях приближенно положить tp=0 и таким образом снизить порядок уравнений на два. Не имея возможности останавливаться на этом подробно, отметим лишь, что расчеты подтверждают это предположение. Значительно сложнее обстоит дело с третьим типом граничных условий. Для совершенно свободного от свя зей края, по-видимому, можно считать ф=0 и игнорировать пос леднее граничное условие, но при наличии диафрагм, связыва ющих несущие слои в продольном, а особенно поперечном на правлении, следует использовать полную систему уравнений. Во всяком случае этот вопрос нуждается в детальном исследовании.
Взаключение распорядимся постоянной, которая появилась
впроцессе интегрирования функции f'{z ). Очевидно, что одной из пяти величин %, п , -тз, /+, f_ можно придать совершенно про извольное значение, тогда остальные будут однозначно опреде лены. В дальнейшем примем Я=0.
6. ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Когда нагрузка, действующая на оболочку, достигает неко торой определенной величины, первоначальная форма равнове сия перестает быть единственно возможной. Математически это означает, что уравнения равновесия в этом случае могут иметь не единственное решение. Соответствующая нагрузка называет ся критической, она может быть определена из линеаризирован ных уравнений устойчивости, поскольку волнообразование про исходит при малом отклонении от первоначальной формы рав новесия. Критические нагрузки, найденные из линеаризирован ных уравнений устойчивости, называются верхними критически ми нагрузками. Итак, линеаризируем уравнения (2 .7 7 )— (2 .7 8 ).
Пусть первоначальная форма равновесия характеризуется перемещениями
«Д а Д w°; |
(2 .91) |
удельными усилиями и удельными моментами
№ Н ° М° |
(2.92) |
64
Поскольку все эти компоненты выражены через функции х. Ф, найдем,что функциями
Х°, Ф° , Р |
|
|
(2.93) |
определяется первоначальная форма равновесия. |
|
||
Пусть нагрузка ри рг, Я такова, |
что уравнениям равновесия |
||
и граничным условиям наряду с функциями |
(2. 93) |
удовлетво |
|
ряют другие, отличающиеся на произвольно |
малую |
величину, |
|
функции |
|
|
|
Х°+ 8Х> Ф°+ 8Ф> |
+ 8^> |
|
(2- |
где е — малый параметр. |
|
|
|
Подставляя функции (2.94) в уравнения |
(2 .7 7 )— (2.79) и |
учитывая, что функции (2. 93) являются решением этих уравне
ний, после пренебрежения в этих |
уравнениях слагаемыми |
с |
||||||
приходим к уравнениям относительно х» ф и F |
|
|
|
|||||
V2V2T7= £ A [knw i2a— 2£1аадila- f k22w и + |
|
|
|
|||||
|
+ 2 W IJ2W % |
- гв® |
|
|
|
(2.95) |
||
_ ^ - 2 v j W |
x + F я |
(All- |
w|u)- |
2^,12 (bu - |
w?12) + |
|
||
+ F ,u (k22 — ‘w°m)— N u w .n — 2^V®|®.u— |
|
|
|
|||||
|
|
= чг.х®.1 + |
ф.«®.«; |
|
|
(2.96) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(2.97) |
|
|
|
® = ( 1 — f - v l) ъ |
|
|
(2. 98) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
или, предполагая |
первоначальное |
состояние безмоментным |
и |
|||||
PI= 7?2= 0, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
V*v277 = £’A \kuw ^ — 2А12ге>да+ |
|
(2.99) |
||||||
D ( |
l |
v2) VV |
X + / \ 2A I - |
2/\1A 8 + |
|
|
|
|
+^.11*2»+№птюЛ1- |
2№nw ,u + |
= |
°; |
(2.100) |
||||
|
|
1— V |
Д2 |
|
|
|
(2.101) |
|
|
|
2 |
р |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения пригодны для исследования потери устойчи вости при малых перемещениях пологих трехслойных оболочек и непологих трехслойных оболочек в том случае, когда потеря устойчивости происходит с образованием, по крайней мере в од ном направлении, большего числа волн.
65
Относительно граничных условий заметим, что, поскольку они формулируются относительно х, Ф и F с помощью линейных выражений, их вид не изменится.
В дальнейшем будет рассмотрена потеря устойчивости сво бодно-опертых цилиндрических и конических оболочек. Поэто му, на основании замечания, сделанного в конце предыдущего параграфа, полагаем ср=0.
7. ДВА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ ПО ТОЛЩИНЕ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
До сих пор функция }'(z) считалась совершенно произволь ной, но для практического использования полученных уравне ний необходимо придать ей конкретный вид.
Здесь мы сравним два вида распределения поперечных сдви гов по толщине заполнителя, определяемых функциями
/ / ( * ) = 1 и / ,'( * ) = ( 1 — £ ) • |
(2 . 102) |
Первый закон распределения вытекает из уравнений равно весия сплошного тела с легким заполнителем (уз = 0). Действи тельно, из условия уз= 0 следует, что нормальные и касательные напряжения ef,, о*2, з\2 равны нулю, поэтому, решая уравнения
равновесия, получим
дг ’ дг
т. е. касательные напряжения и, следовательно, деформации по перечного сдвига распределения равномерно по толщине запол нителя. По существу этот закон использовался в подавляющем большинстве работ, посвященных трехслойным пластинам и обо лочкам. Ему соответствует кинематическая гипотеза, которая формулируется следующим образом. Нормаль к исходной по верхности в заполнителе в процессе деформации оболочки по ворачивается, не искривляясь, не деформируясь в поперечном направлении, но и не оставаясь перпендикулярной к деформи рованной исходной поверхности [10, 11]. Отсюда следует, что щ являются углами поворота нормали в заполнителе, дополни тельными к углам поворота нормали в несущих слоях, т. е. угла ми сдвига несущих слоев относительно друг друга.
Обобщенные моменты Нц оказываются просто частью пол ных моментов Мц, которая при деформации совершает работу и на углах а*.
Из формулы (2.6) — (2.9)
f(z)=Z\ То=Т1 =Т2=Тз=/+= ^-=1,
66
поэтому согласно (2. 55) получим |
|
|
|
Т)1=0Ь 7)2= 01 + 02, 7)3—01 + 202 + 03, |
|
(2. 103) |
|
где |
|
|
|
®1 =^з2П + 2 (y1 -f- у2) — 3(Yi |
Y2)2]; |
| |
|
0 2:=::3^зУз(у1^1-|-У2^2)_1'^УЛ4(^1_1_4)> |
| |
(2- Ю4) |
|
0 3 = 4 (у!*!* + у242) - з (YA - |
У А ? - |
' |
|
Рассмотрим, в каких пределах |
изменяются параметры т)з, |
|||
О, У |
|
принимает максимальное значение |
||
Легко видеть, что т)з= 0 |
||||
при у1= у 2, f\ = h, т. е. для |
оболочки симметричной |
структуры. |
||
Вычисляя, имеем |
|
|
|
|
|
0 =^з8 -)-4 \’i (t^ -j-З^х/3 -f-2/j2), |
|
||
или, принимая y i= V2 (легкий заполнитель), |
|
|||
|
в = .1-]-/3-|-4а- |
|
||
Наибольшее |
значение этого |
выражения при условиях 2/ 1+ /з= |
||
= 1, 1^ г*з^ 0 |
равно 3, наименьшее |
— 1. Вычисления |
показыва |
|
ют, что 0 ^ 1, поэтому оно изменяется в пределах |
|
|||
|
1 < 0 < 3 . |
|
(2.105) |
|
Нетрудно показать, что выражение |
|
|
||
|
D = ----- — ----- 0 |
(2.106) |
||
|
|
12(1 — V2) |
|
является цилиндрической жесткостью составной оболочки отно
сительно поверхности, |
расположенной |
на расстоянии |
lk h c\ i= |
|
= lkh (y \ t+ y {tz—y2t2—Y2h) от |
срединной |
поверхности |
заполни |
|
теля, т. е. относительно поверхности приведения. |
|
|||
Теперь получим оценку й. Согласно (2. 69) |
|
|||
^ ^ •^йз— |
— &22 |
(2.107) |
||
|
W3 |
Si6 |
||
|
|
|||
Для оболочки симметричной |
структуры с легким заполните- |
|||
лем |
|
2 1 -1 |
|
|
4 |
|
|
||
,+3(1+t)] |
(2. 108) |
|||
|
|
|
|
|
Отсюда |
0 < 0 ^ 0 ,2 5 . |
|
(2.109) |
|
|
|
В случае легкого заполнителя О представляет собой Отношение суммы собственных цилиндрических жесткостей несущих слоев к цилиндрической жесткости всего сечения, вычисленной отно сительно поверхности приведения. Для жесткого заполнителя О
6 7
претерпевает незначительные изменения за счет собственной жесткости заполнителя на изгиб, однако пределы изменения О
не меняются, так как Ф= 0 |
только в том случае, когда несущие |
|||
слои являются мембранами |
(h = t2= 0), |
а й = 0 ,2 5 , когда толщи |
||
на заполнителя равна нулю (/3= 0 ). Практически |
|
|||
|
0<О,1. |
|
(2.110) |
|
Наконец, для у непосредственно из |
формулы |
(2.70) следу |
||
ют пределы изменения |
|
|
|
|
0 < |
у = |
в| -р 02 |
< 1- |
(2. 111) |
01 -+•202 + 0з |
||||
|
|
|
||
Как следует из (2. 83) |
и (2.84) с точностью до членов, содержа |
щих ■О, коэффициент 1—у определяет ту долю общего момента Mij, которая воспринимается несущими слоями за счет их жест кости на изгиб.
Второй закон распределения фигурирует в уточненной тео рии однородных пластин (у з= 1), согласно которой (16] сдвига ющие напряжения и деформации поперечного сдвига оказыва ются распределенными по закону квадратной параболы.
Используя формулы (2.6) — (2 .9 ), |
при Я =0 |
найдем |
т0 |
; U |
t - = 2_ |
|
|
3 |
Для rii, т|2, т]з имеем выражения |
|
|
(2. 112)
4, = - f - ( 9 ,+ e + -l-T A * ):
Tls= ®1 Н"2@2Н~ ®8"
Из этих формул следует, что туз, как и в первом случае, рав но 0 . Это вытекает из физического смысла коэффициента
ЕИ?
D — 12 (1 — V2) в ,
не зависящего от способности заполнителя сопротивлению
«двигу.
Для ■&имеем выражение
0103— 6у*____
вв,( ' + ш ; '" ¥ )
(2. ИЗ)
68
Различие между коэффициентами Ф для первого и второго случаев распределения сдвигов незначительное, следовательно, различие в коэффициентах уравнения определяется величиной |3. Значения коэффициента р для первого и второго случаев со ответственно будут
|
|
о |
126^3(1 — v 2) . |
|
|
||
|
|
Pi— |
So |
|
’ |
|
|
& = |
72 |
G<3( l - v 2) |
|
|
(2. 114> |
||
5 |
£ |
0! |
|
16 |
|||
|
1 + |
Уз*з2 |
|
||||
|
|
|
|
|
35 |
|
|
Отношение Pi/p2 вычисляется по формуле |
|
|
|
||||
|
р2 |
в |
\ ^ |
.350! ) |
|
(2.115) |
|
|
|
v |
' |
Исходя из физического смысла и структуры уравнений рав новесия можно утверждать, что способность оболочки сопротив ляться нагрузке будет тем меньше, чем меньше коэффициент р. Тогда используя формулу (2.115), можно сделать вывод, что при у3^2/3 следует отдать предпочтение равномерному распре делению поперечных сдвигов по толщине заполнителя, тогда как при у3>2/3 — распределению по квадратной параболе.
8. УЧЕТ НАЧАЛЬНОГО ПРОГИБА ОБОЛОЧКИ
Форма недеформированной оболочки обычно более или ме нее отличается от той идеальной формы, к которой стремились при ее изготовлении. Учет несовершенства оболочки, начальных неправильностей при решении задачи может изменить характер работы оболочки и в ряде случаев приблизить результаты рас четов к экспериментальным. В этом параграфе приводятся не линейные уравнения пологих трехслойных оболочек с учетом на чального прогиба и при отсутствии начальных напряжений.
Пусть функция координат ыР(Х\, х2) характеризует от клонение оболочки от идеальной формы (начальный прогиб)* тогда компоненты деформации будут вычисляться по фор мулам
е „ = у («/., + М + k Hw + у w ’iw -i + у
|
(2. 116) |
а уравнения равновесия (2.77) — (2.79) запишутся в |
форме |
v V -F + (1 — v) V2,F = - J - E h [{2kn — W:11— |
+ |
+ ( 2 k n - w ,n - w % ) w ,n + 2w% + 2w ,v (2'af i u - 2kv)\> (2- 117>
6»
D (1 - у |
V2) VV |
* + ( F M + *P) (kn - w°n - ® tU) - |
- 2 F i12(ka - |
w% - |
wiU) + (F ,n + f ) (k22- ®°22- да |
(2.118’
(2.119)
При этом по-прежнему w через функцию %(выражается так:
(2. 120;
Поскольку компоненты деформации ац и % остались неизмен-- ными, легко видеть, что учет начальных прогибов влияет толь ко на формулировку граничных условий для тангенциальных усилий и перемещений.
9. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнения поперечных колебаний трехслойных пологих обо лочек можно получить из уравнений (2.77) — (2.79), добавля; на основании принципа Даламбера к левой части уравнени; (2.78) инерционную силу
( § eA)'SL=( § cA)|r( |
)x . (2.121? |
где рй — удельная плотность материала k-ro слоя |
(& = 1, 2, 3) |
10. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Рассмотрим общую теорию оболочек симметричной по тол щине структуры. Для развития теории трехслойных оболочек существенное значение имели исследования Э. Рейсснера* по те* ории упругих плоских пластин конечного прогиба. Определяя! деформации с точностью до квадрата угла поворота, считая не сущие слои мембранами, работающими при конечных прогибах а заполнитель — воспринимающим только малый поперечный сдвиг, несжимаемым в поперечном направлении и присоединен ным к срединным поверхностям несущих слоев, он получил сов местную систему дифференциальных уравнений относительна прогиба да, силовой функции плоской задачи F и функции по
* Reissner Е. Finite Deflections of Sandwich Plates. Joum. of Aero. ScL 1948. vol. 15. No, 7. pp. 435—440.
70