книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfоно описывает поперечный изгиб трехслойного стержня. По скольку через функцию % выражаются перемещения, а следова тельно, моменты и поперечные силы, будем называть уравнение (1.67) разрешающим уравнением.
Угол поворота ф нормали в заполнителе, моменты и попереч ные силы через функцию перемещений % выражаются так:
. |
dw |
/, |
. |
Л2 |
1 ■ |
|
d2 |
d l |
|
Y |
dx |
V |
|
р |
|
|
dx2 |
dx |
|
H ~ |
■Dy dx2 ; |
|
|
|
|
|
|
||
M |
в |
( ' - |
&Л2 |
(fi |
\ |
d*X . |
|
(1. 68) |
|
— |
p dx* |
I |
d x i |
’ |
|
|
|||
|
dH |
|
d3X . |
|
|
|
|
|
|
Qa= ^ - = - D |
y ^ ± |
; |
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
dx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rf3X |
|
|
|
rfjc |
|
V |
p |
rfjc2 / rfje3 |
|
|||
Теперь |
легко |
получаем |
условие |
совместности моментов |
|||||
М и Я |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
H _ M |
d W |
|
|
(1 .69) |
||
|
|
|
|
V |
dx* |
г |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
которое будет использовано в § 9. |
|
|
|
||||||
|
|
|
6. |
ПАРАМЕТРЫ |
|
|
|||
В разрешающем |
уравнении |
(1.67) |
и соотношениях (1.65), |
( 1. 68) естественным образом выделились три безразмерных па раметра ©, ft, у. полностью характеризующие структуру трех слойного стержня с точки зрения его сопротивления изгибу. Д а дим им механическую интерпретацию и определим пределы их изменения.
Параметр ©, входящий в выражение для изгибной жесткости
стержня |
|
£ ) = - ^ - 0 , |
(1.70) |
характеризует взаимное расположение слоев, поскольку приве денный модуль упругости Е зависит только от суммарной жест-, кости слоев на продольное растяжение (сжатие). Из двух трех слойных стержней с одинаковым набором слоев тот составлен рациональнее, у которого больше параметр ©. Через безразмер ные жесткости уг и безразмерные толщины tk
; * * = А * А -1 |
О - 7 1 ) |
21
параметр @ может быть записан в форме
0= YA2 + YA2 + YA2 + ^Yi А ~Мз~ YI A +4) + Yg A + Q F +
+^Yg A + tz+ Yx A +4) — Yg A + « Р +
4"ЗУз[Yi A -f- ^з) — Yg A + A]2- |
(^• 72) |
Умножая это выражение на E h3bl 12 и переходя к модулям упругости материалов слоев, получаем
з
(т Al+T k*-ThCw)+
к- 1
+АМ(-~ A+4-^+TACl3)2+W^ AV?3‘ |
(1'73) |
Теперь видно, что D есть изгибная жесткость стержня, |
вычис |
ленная относительно оси, отстоящей на расстоянии |
|
e ^ \ hc™ = \ h [YiA -K)-Yg А +4)1 |
О-74) |
от средней линии заполнителя, — линии приведения для полной продольной силы N. Именно относительно этой линии изгибная жесткость стержня является наименьшей. В последнем легко убедиться, приравнивая нулю производную от D по C13 и перехо дя к безразмерным параметрам уи, 4 ; в результате для Сц по лучится выражение (1. 74).
Наиболее простая форма записи для © такова:
|
0 = i * |
(3- |
2Y3)+ 6/3 (YA + Yg4)+4(YA2 + Ya42)~ 3^,. |
(1.75) |
||||||||
Для |
стержня |
симметричной структуры |
(T)I= |
T}2, |
ft = 4) выраже |
|||||||
нию (1. 75) можно придать вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
e = 4 a+ ( i - Ys)(i+4)- |
|
|
0-76). |
|||||
Из этого равенства |
легко |
получаем |
границы |
изменения |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
1 < 0 ^ 3 . |
|
|
|
|
(1.77) |
||
Верхняя граница достигается для стержня, у которого несу |
||||||||||||
щие |
слои |
не сопротивляются |
изгибу, |
а |
заполнитель — про |
|||||||
дольным |
напряжениям |
(YI = Y2= 1/2 |
А = 4 = 0, у з= 0, |
4 = |
1); |
|||||||
нижняя граница реализуется для однородного стержня (Y I^ Y ^ |
||||||||||||
= 0 , 4 = 4 = 0, Y3=l, 4 = 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отметим, что 0 |
наибольших значений достигает для |
стерж |
||||||||||
ней |
симметричной |
структуры, |
что |
согласуется |
с интуитивным |
|||||||
представлением о характере работы трехслойного |
стержня |
при |
||||||||||
поперечном изгибе, однако не всегда |
вопросы жесткости |
имеют |
||||||||||
решающее значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Перейдем к рассмотрению параметра -в* |
|
||
Vi*i2+ V2^22 |
j Зуз 4y1Y2(<i2— t\ti + 1£) 4- уз (Vi^i2+ Уг^г2) |
/j ^g\ |
|
в |
в |
12VIY2 +Y3 (4— Зуз) |
' |
Если заполнитель считать легким (у з= 0 ), то параметр # ра вен отношению суммы собственных изгибных жесткостей несущих слоев к полной изгибной жесткости стержня
Ь = Е № + Е № ь |
(1 .7 9 ) |
12£> |
v ' |
Но при узт^О в (1.78) имеется второе слагаемое, обусловлен ное тем, что заполнитель сопротивляется продольным деформаци ям. Обычно Ys<Yi> Y2 и второе слагаемое мало по сравнению с первым, поэтому можно считать, что # характеризует собствен ную изгибную жесткость несущих слоев. В частности для несу щих слоев — мембран (t{ = t2= 0) из (1.78) имеем # = 0 .
Теоретически пределы изменения параметра # весьма широ
ки |
|
0^ # < 1. |
(1.80) |
Верхняя граница -0= 1 достигается, когда трехслойный стер жень вырождается в однослойный, состоящий из одного несу щего слоя, например, первого (у2= У з= 0; & = *з= 0; Yi = ^ = U> Для стержней симметричной по толщине структуры форму
ле (1. 78) |
можно придать вид (Y I=Y2; t\ = t2) |
|
||
|
S = 2YI*I2 |
/1 _|_ 3^з |
\ |
(1.81) |
|
0 |
\ ' 1 + 4 ч, |
/ ’ |
|
в случае |
легкого заполнителя |
(Y I =Y 2= 1/2 ; у з= 0) |
она сущест- |
|
венно упрощается |
|
|
|
|
|
0 |
t\ |
|
(1.82) |
|
* |
|
||
|
1 + |
|
|
|
Отсюда |
0 < ^ ^ 0 ,2 5 ; |
|
(1.83) |
|
|
|
|||
практически |
|
|
(1.84) |
|
|
# < 0,1, |
|
это обстоятельство позволяет в ряде случаев полагать, не теряя
точности, # = 0 |
и производить расчет по более простым форму |
||
лам. |
|
|
|
Параметр у имеет пределы изменения |
|
||
|
|
0 < Y < 1 . |
(1.85) |
причем Y= 0> когда |
отсутствует заполнитель (уз = 4 = 0), |
и Y = 1> |
|
когда несущие слои |
суть мембраны (^ = ^ = 0 ; # = 0). Выраже |
||
ние для параметра у таково: |
|
||
Уз^з2 + |
ЗУз^з [Vi<i + Y2^2 + (Vi + Уг) ^з] + 6у1Уг<з (1 4- h) |
( 1. 86) |
|
Y = |
|
е |
|
|
|
|
23
в случае стержней симметричной структуры |
(у1=уг; h = t2) |
|
2t£ + (1 — Уз) *з (3 + *з) |
fl |
g7) |
3<32 + 2 (1 -у з)(1 + <з) ' |
{ |
’ |
Параметр у равен отношению поперечной силы, воспринимае мой заполнителем, к полной поперечной силе (Qa/Q).
Как будет видно из дальнейшего, в задачах поперечного из гиба и устойчивости стержня параметр у в явном виде не фи гурирует, однако он появляется при определении сдвигающих напряжений.
Для ориентировки в порядках введенных параметров |
приве |
|||||||||
дем |
их |
значения для |
конкретного |
случая |
y i= 0,6; |
у2==0,3; |
||||
у3=0,1; |
/,=0,2; |
f2= 0,1; |
t3= 0,7; cI3=0,30; 0= 1,840; |
у = 0,8150; |
||||||
0 = 0,0163. |
Из |
приведенного примера |
видно, |
что |
даже для |
|||||
стержня |
с |
достаточно |
мощными |
несущими |
слоями |
вели |
||||
чина |
параметра |
■О весьма мала. Тем |
не менее было бы гру |
бой ошибкой рассматривать только упрощенную теорию, поло жив 0 '= 0 . Дело в том, что параметр # фигурирует при старших производных, поэтому, полагая “0 —0, мы приходим к качествен но новой задаче, что в свою очередь может привести к качествен но отличным результатам.
7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Для полной формулировки задачи о деформациях трехслойно го стержня необходимо к уравнениям равновесия
|
|
|
( 1. 88) |
D 1 |
Ш |
сР \ d*x |
(1.89) |
|
|
рdx2 / dx4
присоединить граничные условия, отражающие влияние закреп ления краев стержня и действия краевых нагрузок. Но прежде чем переходить к конкретизации краевых условий, остановимся на вопросе определения соответствия между кинематическими и си ловыми факторами. Этот вопрос просто и однозначно решается для перемещений v(x) и w (x). Непосредственно из внеинтегральных слагаемых равенства (1. 46)
- ^ 8^ + у И ^ у 8а — ^ - ) + (у -1/ / -Ж )у8а |
(1.90) |
следует, что на перемещении bv совершает работу полная |
про |
дольная сила N, а на перемещении b w — полная поперечная сила Q =dM /dx. Сложнее обстоит дело с угловыми перемещениями 6а и dbwjdx, здесь соответствие зависит от выбора двух независи мых базисных факторов.
24
По причинам, которые легко понять, в качестве исходных фак торов нами были приняты полный момент М и угол ау, пропорци ональный углу сдвига, после чего внеинтегральные слагаемые виртуальной работы внутренних сил (1.46) однозначно опреде лили соответствие между моментами и углами
|
, , |
~-® = |
dw |
|
|
М |
у а ---------; |
|
|
|
|
|
dx |
(1.91) |
|
ау |
5 = у- 1 И — М , |
|
|
при этом законы |
связи |
между |
кинематическими |
и силовыми |
факторами приобрели вид |
|
|
||
M = D |
s = |
D ____d (ctv) |
(1.92) |
|
|
dx |
|
1 — % dx |
|
Потенциальная энергия деформации |
|
|||
|
|
i |
L d x , |
|
|
|
П = J |
(1.93) |
|
где |
|
|
|
|
L = |
L \ N -??L + H — - M |
(.1.94) |
||
|
2 I |
dx |
dx |
|
записывается в виде квадратичной формы, приведенной к глав ным осям,
L =
.95)
или
i ^ ~ № + ^ [ /№ +1T i s ’ + 5!T ± ) ( v J £ U *]- Д 9 6 )
Исходя из этих выражений плотности потенциальной энергии деформации, получаем формулы Лагранжа
|
dL |
(1.97) |
|
(df_\ |
д(ау) — \ - 1 Q s |
||
|
д
)
и формулы Кастилияно в теории трехслойных стержней
dL __dv |
dL |
d<f _ |
dL |
day |
' |
dL |
ay. |
(1.98) |
|
~ Ш ~ с Ы ’ |
dM |
dx * |
dS |
dx |
' |
dQ3y - 1 |
|||
|
|
Причина выбора в качестве обобщенного перемещения величи ны ay, а не просто а и соответственно Y- 1Q3, а не Q3 состоит в
25
том, что выбранные величины в своих выражениях через функ цию перемещений х не содержат параметра у
<гу= |
р |
dx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d x3 |
|
|
|
|
__ |
/I |
<гл* а* \ахdy_ |
1 |
|
||
|
l |
P d x l1 dx |
(1.99) |
|||
М : |
D ( 1 |
ш |
dl |
\ |
||
|
||||||
|
|
|
||||
|
\ |
P dx* )' dX2 |
|
|||
5 = |
— D |
• |
|
|
|
|
|
р |
dx4 ’ |
|
|
|
W-
I Р djfl ) Л
Таким образом, выбором обобщенных перемещений и соот ветствующих им силовых факторов удалось исключить один из параметров.
Поставим теперь граничные условия для ряда случаев за крепления стержня.
Наиболее общими линейными граничными условиями для уравнения ( 1. 88) будут
|
E h b ~ = n 0v |
при |
* = 0; |
|
|
|
|
E hb |
— = — ntv |
при |
х = 1 . |
|
(1 .1 0 0 ) |
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
Здесь |
«о^О; |
0 — жесткости упругих |
связей, |
препятст |
||
вующих |
продольному перемещению |
соответственно |
левого и |
|||
правого |
торцов. Условия ( 1 . 100) |
вытекают |
из равенства N— |
—N p = 0, где сила Np считается положительной, если она направ лена от торца. Давая положительное перемещение (вправо) левому торцу, получаем положительное реактивное усилие, рас
тягивающее стержень, |
W0=/toO>0, и, напротив, положительное |
|||
перемещение (вправо) |
правого торца вызывает реактивную си |
|||
лу, сжимающую стержень, |
N i= —щю. Этим объясняется разли |
|||
чие в знаках краевых условий (1 .1 0 0 ). |
|
|||
Когда жесткость связи |
равна |
нулю, т. е. торец |
свободен, |
|
имеем |
|
|
|
|
— = 0, |
или |
N = 0. |
(1.101) |
|
dx |
|
|
|
|
26
Если же связь обладает бесконечной жесткостью, краевое усло вие приобретает вид
о = 0 . |
(1. Ю 2) |
Перейдем к рассмотрению краевых условий для уравнения (1.89).
Рассуждая так же, как и ранее, получаем граничные усло
вия для упруго-проседающих опор |
|
|
|
||
Q = |
r 0w |
при |
х = 0 ; |
1 |
(1.103' |
Q= |
— r,w |
при |
x = l . |
J |
|
Здесь го^ 0 ; г{ ^ 0 жесткости упруго-проседающих |
соответ |
ственно левой и правой опор.
Условия (1.103) через функцию перемещений выражаются
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о ( , |
ш |
d2 \ |
|
|
1 |
A2 |
d2 |
Х= 0 |
при л := 0; |
|
||
|
р |
dx2) dxз |
+ |
0 \ |
P |
dx2 |
|
|
|
|
(1. 104) |
|
|
«А2 |
d2 \. d3l |
r |
( 1 |
A2 |
d2 |
Х= 0 |
при |
х ~ 1 . |
|||
|
|
|||||||||||
|
Р |
dx2)' dx2 |
|
1 \ |
P |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
Здесь возможны два предельных случая: |
|
|
||||||||||
а) |
опора обладает бесконечной жесткостью |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
I , |
h2 |
d2 |
\ |
|
п. |
|
|
|
|
|
|
го=(1-тдг)х=0' |
|
(1.105) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
вертикальная опора отсутствует |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
J _ |
<Ш |
d2 |
\ |
* * = 0 . |
|
(1.106) |
|
|
|
Q * = - D |
Р |
dx2) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dxз |
|
|
|
|||
Переходя к постановке граничных условий для моментов, от |
||||||||||||
метим, что |
помимо |
внешних |
связей |
на |
торцах |
стержня |
могут |
|||||
быть |
поставлены |
внутренние |
связи, |
препятствующие |
относи |
|||||||
тельному сдвигу |
внешних слоев. |
Они |
осуществляются |
в виде |
диафрагмы или путем связи с опорой. Если эти связи отсутству ют, это означает, что торец свободен и граничные условия за писываются следующим образом:
М = 0; 5 = 0, |
(1. 107) |
или |
|
- * 1 = 0. |
(1.108) |
dx■* |
|
Если диафрагма бесконечно жесткая, относительный сдвиг слоев на торце невозможен, поэтому
a Y==_ ( l _ 8) l i | l = o. |
(1.109) |
27
Вид второго краевого условия зависит от условия прикреп ления торца к опоре. Так, если на торец не наложено внешних связей, то
M = - D ( I - ™ L -2L\ |
( l . i i o ) |
||
V |
р |
dx*) dx2 |
' |
а при наличии жесткого |
прикрепления торца |
(учтено условие |
|
1.109) |
|
|
|
• ср=ау — — = |
— — = 0 . |
(1.111) |
|
|
dx |
dx |
|
В промежуточном случае, когда торец присоединен к упру- го-вращающимся опорам, граничные условия имеют вид
|
|
М = т0<р |
при |
х = 0 \ |
^ ^ |
|
|
М = — т1«р |
при |
х = 1 . |
|
Здесь |
/гао^ 0 , т ^ О —жесткость соответственно левой и пра |
||||
вой |
опор. |
|
|
|
|
Запишем условия (1.112) через функцию |
перемещений х- |
||||
Так |
же, |
как и в случае (1.111), |
учтем условие |
(1.109) |
0 ( 1
D(l
Г
Ш |
flf2 \ |
<&г — т0- ^ = 0 при JC= 0; |
|
Р |
dx1 J |
dx2 |
dx |
Ш |
d2 \, |
d4 |
(1.113) |
= 0 при Х = 1 . |
|||
Р |
d x 4 |
dx* |
dx |
Однако любая диафрагма имеет ограниченную жесткость, поэтому условие (1. 109), строго говоря, не выполняется. Фор мально можно ввести коэффициенты жесткости диафрагмы /го, hi
S = h 0ay |
при |
* = 0 ; |
) |
^ |
S — — А,ау |
при |
х = 1 . |
) |
|
Но влияние диафрагмы будет зависеть не только от ее собст венной жесткости, но и от изгибной жесткости несущих слоев и заполнителя. Кроме того, и это главное, влияние торцевой ди афрагмы носит локальный характер и быстро затухает при уда лении от торца. Учитывая приближенный характер излагаемой теории будем предполагать, что на торцах стержня а5у = 0 . Когда S = 0 — диафрагма отсутствует, если ж е а у = 0 — имеется бесконечно жесткая диафрагма. Это позволит рассмотреть два крайних случая и тем самым в случае необходимости оценить влияние упругой диафрагмы на напряженно-деформированное состояние стержня.
В заключение сформулируем однородные граничные условия цля пяти типичных случаев опирания стержня:
28
а) торец свободно оперт, диафрагма отсутствует (ш =М = = S = 0)
|
|
|
|
X = ^ |
1 . = |
^ L = 0 - , |
|
|
(1.115) |
||||
|
|
|
|
|
сРх |
|
d*x |
|
|
|
|
|
|
б) торец свободно оперт, имеется бесконечно жесткая диа |
|||||||||||||
фрагма (ш=ЛГ = ау = 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 - |
Л2 |
сР \ |
|
|
|
%h2 |
dP |
\ |
d4 |
d 4 |
=0; (1.116) |
|
|
р |
dx2 J л |
V |
|
р |
diс2 |
J |
dx2 |
dx3 |
||||
в) |
торец жестко заделан |
(ау = < р = а у = 0 ) |
|
|
|||||||||
|
|
(1 - |
- £ |
- £ - ) |
y = z ^ jL ~ ^ jL ==o- |
(1.117) |
|||||||
|
|
V |
|
Р |
dx2 ] |
|
dx |
dx3 |
|
|
|||
г) |
торец свободен от связей (M = S = Q = 0) |
|
|||||||||||
|
|
ЧЧ =А Ч |
|
( ! _ |
|
Л _ \ Ч Ч ^ 0 . |
(1 . 118) |
||||||
|
|
dx2 |
dx4 |
|
\ |
|
Р |
dx2) dx3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
д) |
торец |
свободен |
от |
внешней связи, |
имеется |
бесконечно |
|||||||
жесткая диафрагма (Af=Q = ay= 0) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
V |
|
р |
dx2 ) dx2 |
dx3 |
|
о. |
(1.119) |
||||
|
|
|
dxs |
|
|||||||||
Наличие у уравнений |
(1 .8 8 )— (1.89) , восьми |
линейно не |
зависимых решений обеспечивает условие существования реше ния задачи, однако не гарантирует его единственность. Методом от противного легко показать, что введенные краевые условия обеспечивают единственность решения при условии, что в случае недостатка внешних связей активная нагрузка соответствующим образом самоуравновешивается.
8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Как уже отмечалось, параметр # (1.78) обычно очень мал. Если формально положить •б,= 0 и у ф 1 , то разрешающее урав нение (1. 89) потеряет два порядка
D |
, |
(1.120) |
29
а дифференциальные зависимости (1.99) приобретут вид
|
W- |
/, |
А2 сР \ |
|
|
|
ср=ау- |
d w |
dx |
|
|
|
dx |
dx |
’ |
||
|
|
|
|||
|
|
h 2 d *y |
|
|
|
|
< xv = ----------- — |
|
|
||
|
|
p |
dxз |
|
( 1. 121) |
|
M = - D |
d-4 |
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|
|
|
D |
g . ; |
|
|
5 = |
0. |
|
|
|
И в этом случае число кинематических |
(w, ф) и статических |
||||
(Q, М) |
факторов соответствует порядку уравнения (1.120). По |
||||
лагая в |
(1. 104) и (1. 113) |
Ф = 0, приходим к краевым условиям |
для упруго-проседающих и упруго-вращающихся опор: п р и х = 0
D d*X |
|
r o ( ■ - |
||
|
dx* + |
|||
|
d2l |
|
|
(1.122) |
D |
|
dx _ |
||
dx2 |
|
mci 1 |
— |
|
при х = 1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
D |
dxз |
|
r. ( x |
- |
|
|
i V |
(1.123) |
|
D <&г |
|
ml |
||
+ |
|
|||
|
dx2 |
|
dx |
|
обеспечивающих единственность решения уравнения (1.120). Краевые условия, связанные с торцевой диафрагмой, в дан
ном случае выполняются автоматически, поэтому теперь диаф рагма поворачивается вместе с торцевым сечением стержня на угол <р, не деформируясь и, следовательно, не препятствуя попе речному сдвигу.
Исходя из (1. 122) — (1. 123) получаем краевые условия для идеальных опор:
а) торец свободно оперт (w = M = 0 )
_ <P-L |
-0; |
(1.124' |
|
|
dx2 |
|
|
б) торец жестко заделан |
(до= ф = 0) |
|
|
р |
dx 2/ |
» S - = 0 ; |
(1 . 125; |
dx |
|
30