книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfПусть оболочка свободна оперта по торцам. Определим час тоту свободных колебаний вариационным методом. Для этого зададим функции ю, %, F в форме
aj==Te>0ei<“*+3t,c-rsin т хя cos щ ; |
j |
|
j£==£0e i“*+8c’l'r* sin т пх cos |
| |
(8.32) |
/? = /?0eim'+4c,t-*'smmju:cos«<p. |
J |
|
Здесь со — круговая частота; т — число полуволн |
по образую |
щей конуса; п — число волн по окружности; а>о, %о, Е0— постоян ные; х — новая координата, связанная с г равенством
г = гхе*5-*-; С = — In— ; 0 < л : < 1. |
(8.33) |
ЯГ 1
Вариационные уравнения в форме Бубнова таковы:
1
j |
[VnzV„2E - |
E k v M |
i F e * u* d x = 0; |
(8.34) |
|||
|
l |
|
|
|
|
|
|
Щ |
1 — J - |
V„2) X- |
<“] b t f? « * d x = 0 ; |
(8. 35) |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
VB,v A + V * #^ + |
e A ^ - w j 8we»««jrrfx = 0, |
(8.36) |
|||
где, как и ранее, |
|
|
|
|
|
|
|
V ц |
) = |
е~2чх |
( |
d20 |
" 2^2я2 \ . |
|
|
п |
|
(№rj)2 |
\ |
dx2 |
sin2 а |
} ' |
(8.37) |
|
|
-ЗЦпх |
|
d2() |
|
|
|
|
|
|
Ся |
Ся ctg а . |
|
||
V*a() = |
|
|
|
||||
(Сягj)3 |
\ dx2 |
|
|||||
dx ) |
|
|
Проводя интегрирование, приходим к следующей форме для определения частот собственных колебаний конической трех слойной оболочки:
- = _2_ 1 - |
е4*с |
___________ то2 + 16С2_______________ |
||||
Х4 1 - |
e8lcC |
k_ _ 4 _ |
1 — е6* (М + |
X |
||
9С2) (от2 + Щ 2) |
||||||
|
|
X2 |
3 |
1 _е8яС |
да2 + %2 |
|
|
(At - 9^2) ( М — t2) + |
шс2 (М — зс2) — 12; 2/я2 |
||||
|
|
|
/и2 + |
4£2 |
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
1 — е2^ |
2Х» |
(М — 2С2) RM — С2)2 + 4и 2; 2] |
|||
|
1 _ е^” |
X2 |
|
|
да2+ С2 |
|
4 - ц* cos2 а |
|
4 |
. |
|
(m2 + 9С2)(от2 + 16С2)___________ |
|
I — ев |
з (М — 16с2)(М — 4С2)— 32с2/и2 + 36С2(Л4— 8С2) |
( 8 . 3 8)
151
Здесь
|
|
|
л* 2 _ |
|
RfeA |
U) , JA--- |
12/?2(1 — v2) |
|
||
|
|
|
|
Dn* |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
А20 л 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
х 2= |
С2я2 |
|
_ |
А2я2 |
M = m 2 -j-— X2. |
(8 .39) |
||
|
|
|
sin2 а |
|
|
№ 2 ’ |
|
~ Я2 |
|
|
Для цилиндрической оболочки |
|
|
|
|||||||
|
|
а —*0; |
С—*0 ; |
Х2^ / 2//?2; RX= R . |
(8 .40) |
|||||
Для оболочки, у которой параметр |
£2> 1 , |
формулу (8.38) |
целе |
|||||||
сообразно записать так: |
|
|
|
|
|
|||||
ш* 2 __2 ______________w y |
-(- 16 |
T9 |
X |
|
||||||
|
|
ХИ |
4 |
k |
(Aii + 9 )(w V + 16) |
|
||||
|
|
+ |
3 |
X2 |
|
т2-гр + 9 |
|
|
||
Х[ |
(Afi — 9)(Af1 — 1) + 16(Л4г — 3 )— 12тЦ2 |
(8 .41) |
||||||||
|
|
т2чр + |
4 |
|
|
|||||
, |
2*» (A fi- З ) [(Л11- 1 ) 2 |
+ |
4 т У П |
■ |
|
|
||||
^ |
h |
|
тЦ2 + 1 |
|
]**" |
|
|
|||
+ -Vcos2a __________W |
+ 9)(m V+16)_________ |
|
||||||||
~ |
3 |
|
(Л4Х— 16) (Alj — 4) — 32т21)2 + |
36(Л1х — 8 ) ’ |
|
|||||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X,2— |
|
|
M |
^ m ^ + ^ r h 2; П2=С - |
(8 .42) |
|||
|
|
sm2 a |
|
|
|
1 я2 |
|
|
||
Из выражений (8 .38), |
(8.39) следует, что минимальной круго |
вой частоте соответствует одна полуволна в направлении обра зующей (т = 1).
Г л а в а 9
УСТОЙЧИВОСТЬ И ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
1. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
Система линеаризированных уравнений устойчивости сфери ческой трехслойной оболочки, нагруженной внешним гидроста тическим давлением интенсивности q, имеет вид
v V / ^ — |
v2 ( i — у v2) |
х; |
(9 Л > |
D ( 1 - VJT * 2) * V x + -7Г W |
+ - ¥ - V* (1 - |
- £ V2) Х = 0 . |
(9- 2) |
152
где R — радиус срединной поверхности сферы; V 2— оператор Лапласа в сферической или полярной системе координат; пос ледняя вводится при рассмотрении пологого сферического сег мента.
Покажем, что значение критического давления не зависит от краевых условий для функции тангенциальных усилий F.
Действительно, выполняя операцию Лапласа над уравнени ем (9.2) и используя уравнение (9.1), получим уравнение толь
ко относительно функции % |
|
|
|
|
D { l ~ T v2) vV v2 * + |
^ |
{ |
1 ~ Т ^ |
) Х + |
+ ^ - V 2V2( |
l - y |
V |
2) x = 0 . |
(9.3) |
Введя произвольную гармоническую функцию Д запишем урав нение (9.3) в виде системы двух уравнений
|
|
|
(9.4) |
V2/ = |
0. |
|
(9.5) |
Используем далее новую функцию |
согласно равенству |
||
/ = х х + ^ - / ; |
. |
(9-6) |
|
теперь уравнения (9.1) и (9.4) можно |
привести к |
следующей |
|
системе: |
|
|
|
v W = ^ - V 2( l ~ ^ V 2)x i; |
(9.7) |
+ Jf ^ v2 ( 1 “ T v2) Z i= 0 - |
(9*8) |
Если для функций % можно сформулировать три независимых от F краевых условия, а это так в подавляющем большинстве случаев, то функцию / можно считать тождественно равной ну лю. Для доказательства достаточно сформулировать эти крае вые условия относительно хь тогда вследствие единственности
решения краевой задачи для уравнения Лапласа (9. 5) |
получим |
[ = 0 и система (9.7) — (9.8) будет эквивалентна системе |
(9.1) — |
(9 .2 ). |
|
153
Найдем критическое давление для полной сферической обо лочки. Пусть
V2f c = - X 2Xi- |
(9-9) |
Из (9 .8) находим выражение интенсивности (внешнего давления q в зависимости от параметра Я2
|
2 |
—i - J ----- (-— |
— . |
(9.10) |
||
|
а2 |
' х2 |
т |
v |
’ |
|
Вводя безразмерные параметры |
|
|
|
|
||
q |
2D1&' |
и— А2л2 . |
1 2 ^ ( 1 - |
у2) . |
|
|
р/?2 ’ |
^ |
0А2я4 |
’ |
|
||
|
|
12 |
Л* |
|
(9.11) |
перепишем (9. '10) в форме, полностью совпадающей с выраже нием для параметра осевой силы цилиндрической оболочки ра диуса R
ЬУЩ |
(9. |
12) |
1 + km-i
Повторяя рассуждения разд. 2 гл. 3, получим следующие зна чения параметра критического давления:
при —^ — < |
1 |
|
|
1 — *(1. |
|
|
|
|
|
^ m n = tl ( 2 - Э Д ; |
(9.13) |
|
|
|
|
при y.k |/г>— 1 |
|
|
|
т1= |
p.V "'«+— . |
(9.14) |
|
»*1 |
= —^="5 <7mln= |
|
|
|
У v |
k |
|
Однако должно еще существовать решение уравнения |
|
||
|
V ^ + ^ m i X i - O |
(9.15) |
при условиях конечности решения в полюсах сферической сис темы координат, вследствие чего формулы (9.13) — (9.14) будут давать несколько заниженные значения критического давления. Уравнение (9. 15) будет иметь нетривиальное решение при зна чениях mi, удовлетворяющих следующему условию:
л2т 1= т (m -f 1), |
(9.16) |
из этого уравнения может быть определен параметр волнообра зования т ( т — целое положительное число).
1 5 4
Задача устойчивости пологого сферического сегмента с радиу сом основания а, свободно опертого по контуру, решается ана логично, так как краевые условия для х приближенно можно принять в форме
X = V 2x = W x = 0 при г = а , |
(9.17) |
где г — полярная координата. |
|
Параметр X, фигурирующий в уравнении |
(9.9), определяется и» |
характеристического уравнения |
|
/»(Ад) = 0, |
(9.18) |
где J n(x) — функция Бесселя первого рода п-го порядка; п — число волн по окружности основания сегмента, образовавшихся в результате потери устойчивости. Числа Ха и п определяются так, чтобы параметр X2 был (в зависимости от характеристик оболочки) как можно ближе к одной из величин
R2 1 _ Л(/ /?2 у - |
(9.19) |
к |
|
соответствующих минимуму правой части (9.10). Здесь R — ра |
|
диус оболочки; (1, k — безразмерные параметры. |
|
Краевые условия (9. 17) соответствуют свободному |
опира- |
нию сегмента. Приведенное решение, однако, может быть ис
пользовано и для других случаев закрепления, |
если минимум |
|||||
правой |
части |
(9. 10) реализуется не на первом корне уравнения |
||||
(9. 18), |
т. е. |
если при |
потере устойчивости |
основная |
вмятина |
|
охватывает |
только часть сегмента, что обычно |
имеет |
место. |
|||
В противном |
случае |
следует составлять |
характеристическое |
уравнение с учетом действительных условий закрепления.
2. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА
Полагая в (9.2) <7=0 и добавляя поперечную инерционную силу, приходим к уравнениям малых поперечных колебаний трехслойной сферической оболочки;
(9-20)
(9.21)
Полагая, что функции F и % являются гармоническими функци ями времени
F = F 0 cos u>t;
(9.22)
X =X ocos<
155
получим систему уравнений для определения собственных час тот
(9.23)
D I 1 ~ i’т V1 у2у2х° + Т |
eAt°2 ( ! “ Т V1 Хо==0- |
(9- 24) |
И здесь легко доказывается, что собственная частота не за висит от вида краевых условий для Fo и определяется только из уравнения
0 ( 1 - ° у V ) v’v *z„ - (<!*»*+-— ) ( ' - у 7’ ) Х .- 0 - |
(9- 25> |
Однако на первую собственную частоту вид краевых усло вий функции хо влияет более существенно, чем на величину кри тического давления, так как ей соответствует наименьший ко рень характеристического уравнения.
Действительно, пусть
v-zo.— ;>/.«, |
(9. 26) |
из уравнения (9. 25) получим
(9.27)
отсюда следует, что наименьшему значению со соответствует наименьшее значение к.
Положим
(9.28)
после подстановки (9. 28) в уравнение (9. 25) приходим к куби ческому уравнению для параметра z
( 1— & kz)z2~ х2( 1— kz) = 0. |
(9.29) |
Здесь
(9.30)
Используя теорему Виета, имеем соотношения
(9.31)
156
Здесь z u z?, гА— корни уравнения (9.29). Пусть z x действитель ный отрицательный корень
Z\ ——Я2, |
(9.32) |
тогда из (9. 29) имеем |
|
4_Щ уХ 2 |
(9. 33) |
Остается выразить z2 и z3 через К2, они являютод корнями квад ратного уравнения
|
|
и2—2 |
1 + kvl2 и + — |
1 +kvX2 = 0, |
(9.34) |
||||
|
|
|
|
2kv |
|
|
kv |
1 4- kl2 |
|
решая которое получим |
|
|
|
|
|
|
|||
Z»= |
2 |
1 + kvl2 |
|
|
|
|
|
AJtvl2 |
(9.35) |
№2= |
------- |
|
|
|
|
(1 + *X 2)(1 + kvl2) |
|||
2 |
r |
2kv |
|
|
|
|
|
||
г = г \ t = |
|
[,+/ |
|
1 |
________ Akvl2________ |
|
|||
|
|
|
(1 +ЙХ2)(1 + Й1/Х2) |
|
|||||
Как правило, |
2kv |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
(9.36) |
||
|
|
|
|
1 -MX2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 + |
kvl2 |
|
|
|
2kvl2 |
|
|
|
|
2kv |
l 2 - |
|
(1 + |
*X2)(1 + kvl2) |
|
Если изгибной жесткостью несущих слоев можно пренебречь (у<С 1), а при определении низших частот это допустимо в по давляющем большинстве случаев, то следует положить т)=оо.
Теперь для Хо в случае замкнутого в вершине сегмента имеем общее решение
Хо= [ а /л ^ - г| - | - Я / ,,^ г)+ С / л( - ^ Г) ] созя?. |
(9.37) |
Здесь /„ (х), /„ (х) — соответственно функция Бесселя и моди фицированная функция Бесселя первого рода порядка п; г — полярная координата (0< г < а ) ; п — число волн по окружности.
Если приближенно принять для свободно опертого сегмента краевые условия в виде
Xo=V2Xo = v V x o = ° . при г = а , |
(9.38) |
157
то из общего решения (9.37) получаем |
характеристическое |
уравнение |
|
J n ( h ) = 0 , |
(9.39) |
где |
|
4 |
(9.40) |
а — радиус основания сегмента.
При этом частота свободных колебаний определяется по фор муле
|
|
D |
^ |
4 l + |
kxv\i2 |
. |
Eh |
(9.41) |
|
|
a*Qh |
1 |
l + |
^ iM |
_l~^2gA |
||
|
|
|
||||||
Здесь |
|
|
|
h.2_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.42) |
||
|
|
|
4 — Pa2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Для жестко защемленного сегмента краевые условия будут |
||||||||
( * — - |
j |
- |
= |
^ V *X o = 0 , |
при г — а . |
(9.43) |
Используя общее решение (9.37), получаем характеристическое уравнение
(1 + |
^ |
1)Л,(Ч); |
(in); |
( i - M b / » ( ^ ) ; |
= о |
||
4 -4 |
(4)> |
Нт/ц' ([*l)> |
|
^1/д (Лх)» |
|||
|
|
||||||
й /Д Ч ); |
- i * ! / / (1*1 ); |
|
-л?Л,'(Лх), |
(9.44) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 = |
|
я а |
|
|
|
|
|
^х= — |
|
|
|
||
|
|
|
4 = - ^ . |
|
|
(9.45) |
|
Для осесимметричных колебаний в случае, когда |
изгибной |
||||||
жесткостью |
можно |
пренебречь, уравнение (9.44) приобретает |
|||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + 4 ^ - / O(4)/ I 0*I )+ / 1(4)/O(PI )= ‘O, |
(9.46) |
|||||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н = — у |
\ |
- • |
|
(9.47) |
|
|
|
/ 1 |
+ *i4 |
|
|
|
158
Г л а в а 10
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ
1.ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть а — радиус поперечного сечения оболочки, R — радиус большого круга. Вводя безразмерный параметр
|
|
|
|
Ч“ |
|
- < |
1 , |
|
(Ю -1) |
перейдем к |
классическим тороидальным |
координатам |
|||||||
|
|
х — с V 1 — ч2 |
cos 9; |
|
|
||||
|
|
|
|
1 — |
1] c o s 0 |
|
|
|
|
|
|
У = |
С S |
1 |
Т|2 |
sin <р; |
|
( 10. 2) |
|
|
|
|
|
1 — |
1) c o s 0 |
|
|
|
|
|
|
z — |
ci) |
sin |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 — |
Т] c o s 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(0 < ср < 2я; — я < 0 < я). |
|
||||||
Здесь с — размерная |
величина, |
связанная с радиусами а и R |
|||||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = -----01 |
|
|
R = — |
— —- . |
(10.3) |
|||
|
|
-|/"1 — I)2 |
|
|
У 1 — I)2 |
|
|||
Параметры |
Ламе |
и радиусы |
главных кривизн для |
координат |
|||||
<р = Хь 0 = х 2 соответственно равны |
|
|
|
||||||
|
д _ |
С / 1 |
— |
Т]2 |
^2 |
С1) |
|
||
|
1 |
|
|
* |
1 — ij cos 0 |
|
|||
|
1 — 1) co s 0 |
|
|
(10.4) |
|||||
|
D |
с / 1 - |
Ч2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1cos 0 — Т)
Вдокритическом безмоментном состоянии в оболочке возник нут тангенциальные усилия Nt и N2, удовлетворяющие уравне ниям
d(AtN 20) |
-Л у dAi = 0; |
|
|
d6 |
d6 |
|
|
( 10. 5) |
Ri |
R2 |
— Я- |
|
(q — интенсивность гидростатического давления).
159
Используя условие периодичности, из этих уравнений можем получить значения докритических тангенциальных усилий
1 |
сп |
N o = - . - r q |
_____ |
2 / 1 —-,2
( 10. 6)
т ^ О + ^ т ^ ) :
Обозначая гю (<р, 0) — прогиб оболочки в момент потери устой чивости, находим выражения для изменения кривизн
*il= |
_(1 — njcos 0)2 (_Л _ |
52ге> |
|
ц sin |
dw |
||
c2i|2 |
.2 ~df2 |
1 — ц cos 8 ~дЪ) |
|||||
|
|
\1 — Т)! |
|
|
|||
*22 = |
(1 — цcos 0)2/52ю> |
|
i) sin 0 |
|
dw \ |
||
'~~ |
[ 502 |
1 — T] COS I |
50 |
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*Ц+ *22= |
— V2®, |
|
|||
то оператор Лапласа V 2() записывается в форме |
|||||||
|
(1 — 7|COS 0)2 |
Г |
* 0 |
|
и2 |
д\) |
|
|
V2()= |
С2т)2 |
L |
d02 1 |
1 _ i|2 |
a<p2 |
|
|
|
Система уравнений устойчивости имеет стандартный вид:
(10.7)
( 10. 8)
^ 2F = E h v ^ w ; |
(10.9) |
D ( l v j v V x + V ^ + A ^ A u + ^ s s ^ O ; |
(10.10) |
А2 _ 2\.. ... |
(1 1 . 1 1 ) |
( j - y v j x = « - |
|
Здесь V s2— оператор следующей структуры:
_ _ 1 Г д |
/ А2 J _ |
5 ( ) \ |
. 5 |
( At |
J |
_ д() \1 |
|
ММ L <*Р |
\ ^1 |
/?2 |
ду ) |
50 |
\ А% R\ |
50 /J ’ |
|
в нашем случае он таков |
|
|
|
|
|
|
|
V ар-— С1— ^cosQ)2 |
|
с°зе_ л )1 й -] + |
^ |
) . (1°Л 2) |
|||
С3!)2(1 — т)2)1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
Принимая |
|
|
|
|
|
|
|
W (<р, 0)= |
Щ> (0) COS fUf', |
|
|
|
|||
|
0)= |
х (6) cos/Kp; |
|
|
(10.13) |
9 ) = F (0) cos «у
160