книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdfРис. 4. Схема тела для вывода уравнения теплопроводности
Рассмотрим произвольный объем V сплошной среды, ог раниченный поверхностью S. Пусть п - внешняя нормаль к ограничивающей поверхности. Обозначим через Qv мощность
внутренних источников или стоков тепла, плотность тела — через р, а теплоемкость — через с. Рассмотрим элемент dV объема; масса этого элемента равна р dV.
Изменение внутренней энергии среды в данном объеме в единицу времени на величину:
а_
dt JpcTdV
По закону сохранения энергии изменение внутренней энер гии среды в объеме V равно потере тепла через поверхность
S, ограничивающую данный объем, т.е.
S
Запишем уравнение теплового баланса для рассматривае мого объема:
J(Xgrad Tn)dS+ jo .d V ' |
(1.4) |
s |
V |
z
Рис. 6. Цилиндрическая система координат
z
Рис. 7. Сферическая система координат
Для цилиндрической системы координат (рис. 6 ) необхо димо записать:
дI2Т ±дТ_ J _ ^Т _
дгг + Г д Г + Г2 д&2 + dz2
Для сферической системы координат (рис. 7) имеем:
Дифференциальное уравнение теплопроводности описы вает целый класс явлений. Для выделения из этого класса един ственного явления необходимо к дифференциальному уравне нию добавить начальные и граничные условия.
Совокупность начального и граничного условий называет ся краевыми условиями: начальное условие называется вре-
I |
[ " "I |
136 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
менным краевым условием, а граничное условие - простран ственным краевым условием.
Начальное условие определяется заданием закона распре деления температуры внутри тела в начальный момент вре мени, т.е.
Т(х, у, z, 0) = Г(х, у, z) = f(x,y,z),
где f — известная функция.
Во многих задачах принимают равномерное распределе ние температуры в начальный момент времени, тогда
Т(х, у, z, 0) = Гн = const.
Граничные условия связаны со взаимодействием тела и ок ружающей среды и могут задаваться четырьмя различными спо собами.
1. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени, т.е.
Ts =T(x,y,z,t) = f(x,y,z,t).
В частном случае Ts = const.
2. Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени, т.е.
gs = - ^дп = f(*,y ,*,f) или
^ = <p(X,y,Z,f),
дП
где Цх, у, z, 0 , ф (х , у, z, t) - известные функции.
П р и м е р . Такой случай теплообмена имеет место при нагревании тел в высокотемпературных печах, где пере дача тепла в основном происходит при помощи излучения по закону Стефана-Больцмана, когда температура тела зна чительно меньше температуры излучающих поверхностей.
3. Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окру жающей средой при постоянном потоке тепла (стационарное температурное поле):
Q s= ~x § = а & - т>)'
где Tf —температура окружающей среды;
а — коэффициент темплообмена.
Граничное условие третьего рода часто используют при ре шении практических задач.
4. Граничное условие четвертого рода соответствует теп лообмену поверхности тела с окружающей средой (конвектив ный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприка сающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова. Т.е. это условие сводится к одно временному заданию равенства температур и тепловых потоков на границе раздела, когда решается задача о теплообмене двух сред (твердое тело - жидкость, тело— тело, жидкость — жид кость), в каждой из которых перенос тепла описывается своим уравнением теплопроводности:
Т - Т |
л |
^ |
1 - л |
2 I |
4 IS ~ 2 /S ' |
_ Л 1 |
|
|
Отметим одно важное обстоятельство. Именно через гра ничные условия теплообмен зависит от формы и размеров тела, которое взаимодействует с потоком.
полнительные условия, полностью определяющие краевую за дачу.
Обратная задача. Определить граничные условия или ко эффициенты, входящие в основное дифференциальное урав нение, если известно математическое описание процесса
итемпературное поле.
Вдальнейшем будем рассматривать только прямые задачи теплопроводности.
Кроме того, краевые задачи можно подразделить на ли нейные и нелинейные. Напомним, что уравнение называется
линейным, если оно линейно относительно неизвестной функ ции (температуры).
Если в математическом описании задачи хотя бы одно урав нение нелинейно, то и краевая задача нелинейна.
В зависимости от того, в каком уравнении и в каком члене уравнения сосредоточена нелинейность (нелинейностью будем называть зависящую нелинейно от температуры величину), не линейные краевые задачи можно классифицировать следую щим образом:
а) краевые задачи с нелинейностью первого рода— от тем пературы зависят коэффициенты теплопроводности ЦТ), ко эффициенты удельной объемной теплоемкости cv(T), плотность
материала р(7); б) краевые задачи с нелинейностью второго рода— от тем
пературы нелинейно зависят плотность теплового потока на поверхности тела q(Ts), коэффициент теплоотдачи а(Г5);
в) краевые задачи с нелинейностью третьего рода - от тем
пературы нелинейно зависит мощность внутренних источни ков теплоты qv(T).
Сюда же относят задачи отвердевания (плавления). Однако можно формулировать и решать краевые задачи,
содержащие нелинейности всех трех родов.
140 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Математика - единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос.
А. Эйнштейн
Существующие методы решения краевых задач можно клас сифицировать по различным признакам. Один из них - фор ма, в которой получаются результаты решений. Решение зада
чи может быть представлено в виде формулы, позволяющей по заданному значению аргумента получить значение искомой функции. В этом случае говорят, что решение получено анали тическим методом.
С помощью численных методов решение может быть пред ставлено численными значениями функции в некоторых задан ных численных значениях аргумента.
Часто для анализа аналитического решения на некотором этапе применяют численные методы, т.е. в этом случае можно говорить о синтезе аналитических и численных методов.
Аналитические методы позволяют получить более нагляд ные решения по сравнению с численными методами, по кото рым легко проанализировать влияние всех факторов на ре зультат решений.
Использование численных методов часто дает возможность решать сложные краевые задачи, недоступные для решения аналитическими методами. Однако это не умаляет роли ана литических методов решения краевых задач теплопроводнос ти, особенно в тех случаях, когда аналитическое решение мо жет быть получено точнее и быстрее, чем численное.
Важным критерием для аналитических методов является возможность решения нелинейных краевых задач. Если метод разработан для решения нелинейных задач, то он применим
идля решения линейных задач, обратное же часто невозможно.
Ометодах решения
краевых задач 141
