книги / Физика колебаний
..pdfСледует обратить внимание на то, что последнее выражение для |
|||||||
x не является непосредственным результатом дифференцирования x |
|||||||
по времени t, |
так как истинная производная имеет вид |
|
|
|
|||
|
x = −uωsin ωt + v cos ωt +u cos ωt + v sin ωt, |
|
|
||||
что отличается от (2.14). Поэтому мы должны считать, что перемен- |
|||||||
ные (u, v) связаны дополнительным условием |
|
|
|
|
|||
|
|
u cos ωt + v sin ωt = 0. |
|
|
|
(2.15) |
|
Переход |
от |
переменных |
(x, x) |
x |
v |
|
|
к переменным (u, v) эквивалентен пе- |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
u |
|
|
||||
реходу от одной декартовой системы |
x |
P(x, y) |
|||||
координат к другой, также прямо- |
a |
|
x |
x |
|||
угольной с общим началом системы |
ωt |
v |
|
|
|||
координат, повернутой на угол ωt по |
|
|
|||||
|
|
|
u |
||||
часовой стрелке (рис. 2.19). Это озна- |
|
|
|
||||
чает, что система координат |
(u, v) |
|
|
|
|
||
в координатной плоскости (x, x) вра- |
Рис. 2.19 |
|
|||||
щается с угловой скоростью ω. |
Если |
|
|||||
|
|
|
|
||||
продифференцировать по времени второе выражение в (2.14) (полу- |
|||||||
чаем x ) и подставить результат в уравнение (2.13) с учетом выраже- |
|||||||
ния для x, то приходим к уравнению |
|
|
|
|
|||
|
|
−uωsin ωt + vωcosωt = µf (u, v,t ) , |
|
|
(2.16) |
||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
f (u, v,t) = f (u cos ωt + v sin ωt, −uωsin ωt + vωcosωt ) .
Умножая (2.16) последовательно на sin ωt и cos ωt и складывая, получаем с учетом (2.15) систему уравнений
u = − |
µ f (u, v,t)sin ωt, |
v = |
µ f (u, v,t)cosωt . |
(2.17) |
|
ω |
|
ω |
|
|
|
|
|
81 |
Эта система двух дифференциальных уравнений первого порядка точно соответствует исходному уравнению (2.13) второго порядка. Она не дает никаких преимуществ в смысле упрощения решения задачи. Однако из нее следует, что производные u и v имеют порядок малости µ, что подтверждает справедливость выбранных усло-
вий u << u и v << v. Существенный шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если заменить мгновенные значения правых частей уравнений (2.17) их средними величинами за каждый период колебаний, равный 2π/ ω. Произведя усреднение по времени от нуля до 2π/ ω, приходим к системе так называемых «укороченных» уравнений
u = − |
1 |
2π/ ω |
µf (u, v,t )sin ωtdt, |
v = |
1 |
2π/ ω |
µf (u, v,t )cos ωtdt, (2.18) |
|
∫ |
∫ |
|||||||
2π |
2π |
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
в которых величины u и v, входящие под знак интеграла, предполагаются временно постоянными. Эта система вида
u = ϕ(u, v), v = ψ(u, v)
уже не содержит в правых частях в явном виде время и во многих случаях ее можно проинтегрировать, получая временной ход медленно меняющихся функций u(t) и v(t), являющихся «амплитуда-
ми» искомого решения. Систему уравнений (2.18) можно получить из системы (2.17), если ее правые части разложить в ряд Фурье и отбросить все осциллирующие члены. В этом и заключается «укорачивание», приводящее от системы уравнений, точно соответствующих исходному уравнению (2.13), к приближенным укороченным уравнениям.
Полученная система укороченных уравнений позволяет отыскивать состояния равновесия для переменных u и v, что соответствует стационарным движениям. Для стационарных движений (состояний)
u = ai , v = bi , u = 0, v = 0
82
и тогда
ϕ(ai ,bi ) = 0, ψ(ai ,bi ) = 0.
Решения этой системы уравнений должны дать возможные стационарные амплитуды гармонических движений, приближенно отражающих реальный стационарный процесс.
Устойчивость стационарных движений можно определять известным методом теории возмущений, заключающимся в составлении уравнений для малых вариаций вокруг найденных стационарных значений u = ai , v = bi , соответствующих равновесию вспомогатель-
ной системы, описываемой укороченными уравнениями. Если задать u = ai +η, v = bi +ζ, то для вариаций η и ζ имеем уравнения
η= ϕ(ai +η, bi +ζ), ζ = ψ(ai +η, bi +ζ).
Разлагая правые части этой системы в ряд в окрестности стационарных значений ai , bi и пренебрегая высшими степенями малых величин η и ζ, получим систему линейных уравнений
η= |
∂ϕ |
|
|
|
η+ |
∂ϕ |
|
|
|
ζ = α11η+α12ζ, |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
∂u |
|
a |
,b |
|
∂v |
|
a ,b |
|
|
|||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
i |
i |
|
(2.19) |
|
∂ψ |
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
η+ |
|
ζ = α η+α |
|
ζ. |
|||||||
ζ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|||
|
∂u |
|
|
|
∂v |
|
21 |
|
|||||
|
a |
,b |
|
a |
,b |
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
i |
i |
|
|
Полагая зависимость вариаций от времени в виде η= η0eλt , ζ = ζ0eλt и подставляя эти выражения в (2.19), находим два линейных уравнения для амплитуд вариаций η0 и ζ0:
(α11 −λ)η0 +α12ζ0 = 0, (2.20) α21η0 +(α22 −λ)ζ0 = 0.
83
Как обычно, поведение вариаций будет определяться видом решений характеристического уравнения, которое получается из условия нетривиальности решения системы (2.20):
|
α11 −λ |
α12 |
|
= 0. |
(2.21) |
|
|
|
|||||
|
α21 |
α22 −λ |
|
|||
Если оба корня имеют знак минус у вещественной части λ, |
то |
|||||
соответствующее стационарное решение u = ai , v = bi |
устойчиво. |
Ес- |
ли же хотя бы одно из значений λ имеет знак плюс у вещественной части, то исследуемое решение неустойчиво. Наличие или отсутствие мнимой части в λ определяет характер устойчивости или неустойчивости стационарного решения. Мы не будем сейчас углубляться в детали вопроса об исследовании устойчивости стационарных движений, а вернемся к нему позднее при рассмотрении параметрических и неавтономных систем. Для диссипативных же систем, очевидно, может существовать только одно стационарное состояние – состояние покоя, которое всегда устойчиво.
Рассмотрим теперь другой вариант метода ММА с переходом от исходных переменных (x, x) к новым переменным – амплитуде A и фазе θ, которые также являются медленно изменяющимися функциями времени. Будем искать решение исходного уравнения (2.13) в виде
x= A(t)cos ωt +θ(t ) .
Здесь A и θ представляют собой полярные координаты описывающей точки на плоскости переменных u и v (см. рис. 2.19). Очевид-
но, между переменными |
A,θ и u, v существует связь |
u = Acos θ, |
v = Asin θ и A2 = u2 + v2 , |
tg θ = −v / u. |
|
Введем новую переменную x: |
|
|
x = −Aωsin (ωt +θ). |
(2.22) |
|
84 |
|
|
Эта переменная, как и ранее в соотношении (2.14), не есть результат дифференцирования x по времени, ибо истинная производная от x по t имеет вид
x = Acos(ωt +θ) − Aωsin (ωt +θ) − Aθsin (ωt +θ).
Поэтому для согласования с выражением (2.22) нам приходится полагать
Acos(ωt +θ) − Aθsin (ωt +θ) = 0. |
(2.23) |
Это соотношение можно рассматривать как дополнительное условие, накладываемое на переменные A и θ.
Если переменную x продифференцировать по времени и вместе с x подставить в уравнение (2.13), то приходим к уравнению
−Aωsin (ωt +θ) − Aωθcos(ωt +θ) =µf ( A,θ,t), |
(2.24) |
|
где |
|
|
f ( A,θ,t ) = f Acos(ωt +θ), –Aωsin (ωt +θ) . |
|
|
|
|
|
Из системы уравнений (2.23) и (2.24) нетрудно найти |
|
|
A = − µ f ( A,θ,t )sin (ωt +θ), |
|
|
ω |
|
|
Aθ = − |
µ f ( A,θ,t )cos(ωt +θ). |
|
|
ω |
|
Здесь A(t) и θ(t) являются медленными функциями времени, что
позволяет усреднить правые части данной системы уравнений за период T = 2π/ ω, считая, что за это время A и θ не изменяются. Выполнив процедуру усреднения по времени, приходим к системе двух укороченных уравнений:
A = − |
µ |
2π/ ω |
f ( A,θ,t )sin (ωt +θ)dt, |
|
||
|
∫ |
|
||||
2π |
|
|
||||
|
|
0 |
|
(2.25) |
||
|
|
µ |
2π/ ω |
|||
Aθ = − |
|
|||||
∫ |
f ( A,θ,t)cos(ωt +θ)dt. |
|
||||
2π |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
85 |
С целью упрощения вычислений интегралов в (2.25) введем замену α = ωt +θ (напомним, что величина θ под знаком интеграла
считается постоянной). Тогда данная система перепишется в виде
A = − |
µ |
2π |
( Acos α, –Asin α)sin αdα, |
||||||
∫ |
f |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
2πω 0 |
|
|
|
(2.26) |
|||
|
µ |
|
2π |
|
|
||||
θ = − |
|
f ( Acos α, –Asin |
α)cos |
αdα. |
|||||
|
|
∫ |
|||||||
2πAω |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|||||
Здесь f ( Acos α, − Asin α) |
есть значение функции |
f (x, x), входящей |
|||||||
в исходное уравнение (2.13) при x = Acosα, |
x = −Asin α. |
Из системы укороченных уравнений (2.26) можно определить стационарные значения амплитуды и фазы колебаний, исследовать процессы установления этих величин (переходные процессы), а также определить устойчивость найденных решений. Первое из этих уравнений определяет амплитуду колебаний в стационарном режиме, второе – зависимость частоты колебаний от амплитуды. Так как в стационарном режиме A = const, то из второго уравнения (2.26) следует
θ = ∆ωt +θ0 ,
где величину ∆ω можно трактовать как малую поправку к частоте ω. В общем случае эта поправка зависит от амплитуды колебаний. Тогда решение исходного уравнения (2.13) будет иметь вид
( |
) |
0 |
|
x = Acos |
ω+∆ω |
t +θ |
. |
Применение такого варианта метода ММА иногда упрощает нахождение стационарных решений, особенно в задачах, где отсутствует опорное колебание, вызванное, например, внешней силой, модуляцией параметра, синхронизирующим сигналом, фазовый сдвиг которого относительно искомого решения естественно вошел бы в решение. К подобным системам относятся, в частности, пассивные линейные и нелинейные колебательные системы, автоколебательные
86
системы и др. Некоторое облегчение этот вариант метода ММА дает также в случаях, когда нелинейные характеристики каких-либо параметров колебательной системы аппроксимируются высокими степенями разложения в ряд.
Проиллюстрируем теперь метод ММА на некоторых простых примерах, для которых мы уже знаем решение, что позволит сравнить результаты применения различных методов.
Гармонический осциллятор с постоянным затуханием. Ко-
лебания в рассматриваемой системе описываются уравнением (2.2)
x + 2βx +ω02 x = 0.
Перепишем данное уравнение в виде
x +ω02 x = −2βx.
Тогда условием применимости метода ММА в данной задаче будет требование малости коэффициента затухания β. Очевидно,
µf (x, x) = −2βx. Применим вариант метода с медленно меняющими-
ся амплитудой и фазой. В этом случае укороченные уравнения (2.26) для осциллятора с трением будут иметь вид
A = − |
1 |
|
2π |
|
|
|||
|
|
∫ 2βω0 Asin2 αdα, |
||||||
|
2πω |
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|||
θ = − |
1 |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
∫ 2βω0 Asin αcos αdα. |
|||||
2πAω |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|||
Отсюда находим |
|
A = −Aβ, |
Aθ = 0. |
|||||
|
|
|||||||
Эти уравнения легко интегрируются: |
|
|||||||
|
|
A = A e−βt , |
θ = θ |
, |
||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
идля переменной x получаем
x= A0e−βt cos(ω0t +θ0 ).
87
Заметим, что найденное приближенное решение несколько отличается от точного решения
x = A0e−βt cos(ωt +θ0 ),
где ω= ω02 −β2 , т.е. скорость уменьшения амплитуды та же, что
и в точном решении, а частота колебаний немного отличается.
Нелинейный контур без затухания. Рассмотрим электриче-
ский контур с конденсатором, заполненным сегнетоэлектриком (см. подразд. 1.3). Уравнение колебаний заряда на конденсаторе имеет вид
x +ω02 x + γω02 x3 = 0,
или
x +ω02 x = −γω02 x3 , |
(2.27) |
где γ – малый коэффициент нелинейности (подобное уравнение по-
лучается и для нелинейного осциллятора). Это уравнение принадлежит к типу (2.13) и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v, т.е. решение будем искать в виде
x = u cos ω0t + v sin ω0t.
Однако на этом пути нас ждут неприятности. Дело в том, что мы ищем решение на той же частоте, что входит в уравнение (2.27), т.е. на резонансной частоте (об этом подробно говорилось в подразд. 1.2). В этом случае окончательное решение должно содержать секулярный член, пропорциональный времени, т.е. не существует стационарных колебаний. Наличие же стационарной ненулевой амплитуды в данной системе вытекает из условия ее консервативности. В связи с этим решение уравнения (2.27) будем искать в виде
x = u cos ωt + v sin ωt, |
(2.28) |
где ω≠ ω0 – неизвестная пока частота. Для того чтобы можно было воспользоваться методом ММА, перепишем (2.27):
88
x +ω2 x = (ω2 −ω02 )x −γω02 x3 |
(2.29) |
||
и введем малый параметр |
|
|
|
ξ = |
ω2 −2ω02 |
<<1, |
|
|
ω |
|
|
характеризующий относительную расстройку частоты. В этом случае, пренебрегая произведением ξγ, уравнение (2.29) можно перепи-
сать как
x +ω2 x = ξω2 x −γω2 x3.
Тогда система укороченных уравнений (2.18) будет иметь вид
u = − |
1 |
2π/ ω |
ω2 |
(ξx −γx3 )sin ωtdt, |
|
∫ |
|||||
2π |
|||||
|
0 |
|
|
||
v = − |
1 |
2π/ ω |
ω2 |
(ξx −γx3 )cos ωtdt, |
|
∫ |
|||||
2π |
|||||
|
0 |
|
|
где x задано уравнением (2.28). После интегрирования получаем
u = |
ωv |
−ξ+ |
3 |
γ(u |
2 |
+ v |
2 |
|
, |
||||||
2 |
|
4 |
|
|
) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v |
= |
ωv |
|
3 |
γ(u |
2 |
+ v |
2 |
|
|
|
||||
2 |
ξ− |
4 |
|
|
) . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь величина u2 + v2 |
есть квадрат амплитуды колебаний: u2 + v2 = |
||||||||||||||
= a2 (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не занимаясь решением полученной системы укороченных уравнений, исследуем возможность установления стационарного режима колебаний с постоянной амплитудой a0. Установление данно-
го режима (u = 0, v = 0) требует удовлетворения системы уравнений
|
−ξ+ |
3 |
2 |
|
= 0, |
|
ξ− |
3 |
2 |
|
= 0. |
v0 |
4 |
γa0 |
|
u0 |
4 |
γa0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
Это возможно, если u0 = v0 = 0 или ξ = 34 γa02. Первая возмож-
ность соответствует состоянию покоя. Наличие же стационарной ненулевой амплитуды возможно только при ненулевой расстройке. Отсюда находим значение частоты
2 |
|
|
|
ω02 |
|
|
ω |
= |
|
|
|
. |
|
1− |
3 γa2 |
|||||
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Данное соотношение, отражающее неизохронность рассмотренной нелинейной системы, было получено нами ранее другими методами (см. выражение (1.24)). Заметим, что если бы мы в самом начале при выборе решения положили расстройку равной нулю, то единственным стационарным состоянием было бы состояние покоя при
u0 = v0 = 0.
90