книги / Физика колебаний
..pdfГрупповая скорость волны
|
|
u |
= dω = b |
|
χ |
cos kb . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dk |
|
m |
2 |
|
На рис. 7.2 отображена зависи- |
|
||||||
мость фазовой и групповой скоростей |
|
||||||
от волнового числа k. Обращение |
|
||||||
групповой |
скорости |
в |
нуль |
при |
|
||
k = π/ b связано с тем, |
что с физиче- |
|
|||||
ской точки зрения в рассматриваемом |
|
||||||
случае атомы как бы |
не связаны, |
|
|||||
а изолированы и каждый из них со- |
|
||||||
вершает |
гармоническое |
колебание |
Рис. 7.2 |
||||
с частотой |
ω= ωmax . При колебаниях |
|
на этой частоте центр инерции любой пары соседних атомов никуда не двигается, а фазы колебаний соседних атомов отличаются на π
(рис. 7.3).
Рис. 7.3
Если центр инерции любой пары соседних атомов неподвижен, то каждый атом совершает колебания около центра инерции и на атом действуют с двух сторон пружинки жесткостью 2χ (увеличение
жесткости связано с уменьшением длины пружинки в два раза). Таким образом, эффективная жесткость становится равной 4χ и часто-
та колебаний каждого атома составит
ω= 4χ = 2 |
χ |
= ω . |
|
||
m |
m |
max |
|
Очевидно, при этом не должно происходить никакого переноса энергии вдоль всей цепочки атомов, а так как скорость переноса
231
энергии определяется именно групповой скоростью, то ее значение обращается в нуль именно при ω= ωmax .
Зависимость частоты колебаний от волнового числа представлена на рис. 7.4. Из него, во-первых, хорошо видно, почему достаточно рассматривать значения волнового числа только в пределах −π/ b ≤ k ≤ π/ b. Во-вторых, для малых k (длинные волны) можно пользоваться непрерывной моделью твердого тела, в которой реализуется линейный закон дисперсии ω= k c, где c – скорость звука (при малых k нет существенной разницы между фазовой и групповой скоростями).
ω
2 mχ
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
π |
|
|||
−2π |
−π |
0 |
2π |
|||||
b |
b |
|
b |
b |
Рис. 7.4
Посмотрим теперь, каким образом должна отразиться ограниченность длины цепочки на спектре колебаний атомов твердого тела. Пусть число атомов в ней равно N, а ее длина равна L. Для цепочки из N атомов Борном и Карманом были предложены так называемые периодические условия ξ(n) = ξ(n + N ), которые можно интерпрети-
ровать как |
|
ξ(x) = ξ(x + L). |
(7.8) |
Частными решениями уравнения (7.5) в такой ограниченной цепочке атомов являются волны с одинаковой частотой, распространяющиеся за счет отражения от концов цепочки в разных направлениях:
232
ξ(x,t) = Aexp i(ωt ± kx) .
Условие периодичности (7.8) будет выполнено только в том случае, если волновое число k принимает следующие значения:
k = 2Lπ n,
где n – целое число.
При наложении отраженных волн внутри цепочки устанавливается стоячая волна, причем на длине цепочки в соответствии с условием (7.8) должно укладываться целое число длин волн. Каждой такой стоячей волне соответствует собственное, или нормальное, колебание цепочки атомов. Таким образом, ограниченность длины цепочки атомов приводит к тому, что спектр нормальных колебаний становится дискретным, эквидистантным по k с интервалом 2π/ L между разрешенными значениями волнового числа. К этому же выводу можно прийти и в общем случае, рассматривая собственные колебания в трехмерной кристаллической решетке, состоящей из одинаковых частиц. Только в таком твердом теле, если пренебречь анизотропией, к продольным колебаниям добавляются еще две ветви (моды) поперечных колебаний. При этом число нормальных колебаний утраивается.
Обобщим проведенный выше анализ на случай колебаний решетки в кристаллах с более чем одним атомом на примитивную ячейку. Для качественного решения воспользуемся опять одномерной цепочкой, состоящей из двух разных по массе атомов, чередую-
щихся друг с |
другом (рис. 7.5). Обозначим их массы через |
M |
||
и |
m (M > m), |
а их смещения из положения равновесия – через ξn |
||
и |
ηn |
соответственно. Постоянная упругой связи, как и ранее, |
рав- |
|
на χ. |
Расчет проведем в приближении ближайших соседей, т.е. |
при- |
мем во внимание силы взаимодействия только соседних атомов. Тогда по аналогии с уравнением (7.5) и в соответствии с рис. 7.5 получаем
233
M ξn = χ(ηn −2ξn +ηn+1), |
(7.9) |
|
mηn = χ(ξn−1 −2ηn +ξn ). |
||
|
m M
ηn−1 |
ξn−1 |
|
ηn |
ξn |
ηn+1 |
ξn+1 |
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.5 |
|
|
|
Как и ранее, будем искать частное решение этой системы урав- |
|||||||||
нений в виде бегущих волн: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ξ |
n |
= ξ |
0 |
exp i(ωt −knb) , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(7.10) |
||
|
η = η |
exp i(ωt −knb + kb / 2) |
|||||||
|
, |
||||||||
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
полагая, что k |
изменяется в интервале |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
− π |
≤ k ≤ π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
причем под b |
теперь будем понимать расстояние между двумя со- |
седними одинаковыми атомами. Сдвиг фазы бегущих волн на kb / 2 в выражениях (7.10) связан с тем, что положение разных атомов с одинаковыми номерами n отличается на b / 2. После подстановки выражений (7.10) в систему уравнений (7.9) приходим к системе линейных однородных уравнений:
|
|
|
|
i kb |
|
−i kb |
|
|
(M ω2 −2χ)ξ0 +χ e 2 |
+e |
2 |
η0 |
= 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.11) |
i kb |
|
−i kb |
|
|
|
|
|
|
|
|
+(mω2 −2χ)η0 = 0. |
||||||
χ e 2 |
+e |
2 |
ξ0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняв определитель этой системы нулю, получаем биквадратное уравнение относительно ω:
234
|
Mmω4 −2χ(M + m)ω2 + 2χ2 (1−cos kb) = 0, |
|
|||||
решение которого имеет вид |
|
|
|
|
|
||
|
ω2 = χ (M + m ± |
M 2 + m2 + 2Mmcos kb ). |
(7.12) |
||||
|
Mm |
|
|
|
|
|
|
Из-за того, что перед квадратным корнем стоит двойной знак, полу- |
|||||||
чаются две ветви частот. |
|
|
|
|
при M = m |
||
Рассмотрим сначала поведение выражения (7.12) |
|||||||
(этот вариант уже обсуждался ранее, и нам есть с чем сравнить). |
|||||||
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 = |
2χ |
1±cos kb , |
|
||
|
|
|
m |
|
2 |
|
|
или для знака плюс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω= 2 |
χ cos kb |
, |
|
||
|
|
|
|
m |
4 |
|
|
для знака минус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω= 2 |
χ sin kb |
, |
|
||
|
|
|
|
m |
4 |
|
|
что отображено на рис. 7.6. Это решение должно быть эквивалент- |
|||||||
ным решению для цепочки одинаковых атомов (7.7). Нужно только |
|||||||
помнить, |
что сейчас параметр |
|
|
ω |
2 χ |
||
b в два раза превышает преж- |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
нее значение постоянной ре- |
|
|
|
m |
|||
|
|
|
|
||||
шетки. Второе из написанных |
|
|
s |
c |
|||
решений |
(пропорциональное |
|
|
||||
|
|
|
2π k |
||||
синусу) совпадает с найденным |
2π |
|
0 |
||||
ранее решением (7.7), а первое |
− b |
|
|
b |
|||
(пропорциональное |
косинусу), |
|
|
Рис. 7.6 |
|
||
как нетрудно видеть, фактиче- |
|
|
|
|
|||
ски ему эквивалентно. При сдвиге всей кривой (c) на 2π/ b каждая |
|||||||
точка этой кривой переходит в кривую (s). Это означает, что можно |
не рассматривать первое решение (косинус).
235
|
|
ω |
|
|
|
При |
M ≠ m |
получаем |
две |
||
|
|
ω2 |
|
|
разные |
ветви частот (рис. |
7.7). |
||||
|
|
|
|
Знаку минус в выражении (7.12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
соответствует ветвь ω1(k), знаку |
|||||
|
|
ω1 |
|
|
|
плюс – ветвь ω2 (k). Ветвь ω1(k) |
|||||
|
|
|
|
|
называется акустической или де- |
||||||
|
|
|
|
|
k |
||||||
2π |
π |
0 |
π |
2π |
|
баевской, |
ветвь |
ω2 (k) |
– опти- |
||
|
ческой |
или борновской. Проис- |
|||||||||
− b |
−b |
|
b |
b |
|
||||||
|
|
Рис. 7.7 |
|
|
хождение этих названий связано |
||||||
|
|
|
|
|
|
с тем, что начальный участок |
|||||
акустической ветви соответствует звуковым (акустическим) волнам, |
|||||||||||
а частоты оптической ветви при всех k |
находятся в оптическом |
||||||||||
(а именно в инфракрасном) диапазоне. |
|
|
|
|
|
||||||
При малых |
k |
частота ω1 также мала и изменяется линейно |
|||||||||
в зависимости от |
k. |
В этом случае, как видно из уравнений (7.11) |
|||||||||
и рис. 7.7, |
ξ0 = η0. Это значит, что атомы, расположенные на малом |
||||||||||
по сравнению с длиной волны отрезке колеблются в одинаковых фа- |
|||||||||||
зах. Оптическая же ветвь ω2 (k) характеризуется тем, что при k → 0 |
|||||||||||
частота стремится к максимуму. Из уравнений (7.11) и рис. 7.7 сле- |
|||||||||||
дует, |
что M ξ0 = −mη0. Это означает, что соседние атомы с массами |
||||||||||
M и m колеблются в противоположных фазах. |
|
|
|
||||||||
На границе интервала |
−π/ b ≤ k ≤ π/ b |
характер колебаний ато- |
|||||||||
мов существенно изменяется. На рис. 7.8, а отображен характер ко- |
|||||||||||
лебаний акустической моды, а на рис. 7.8, б – оптической моды. От- |
|||||||||||
метим, что в каждой моде движутся лишь атомы одного типа. Мень- |
|||||||||||
шей частоте соответствует мода, в которой движутся более тяжелые |
|||||||||||
атомы (черные кружочки). |
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 7.8
236
В трехмерной кристаллической решетке, элементарная ячейка которых содержит s атомов, существует 3s ветвей нормальных колебаний. Из них три ветви акустические: одной соответствуют продольные колебания, двум другим – поперечные. Остальные (3s −3)
ветвей – оптические, при которых происходят сильные смещения атомов элементарной ячейки друг относительно друга.
7.3. Уравнение Клейна–Гордона. Природа дисперсии
Обычное волновое уравнение
∂2ξ(x,t) |
= v2 ∂2ξ(x,t) |
(7.13) |
∂t2 |
∂x2 |
|
и его дисперсионное соотношение ω= kv предполагают отсутствие дисперсии, т.е. фазовая скорость волны v = ω/ k не зависит от волнового числа k. А как может выглядеть уравнение, подобное (7.13), но описывающее распространение одномерных волн в среде с дисперсией? Для ответа на этот вопрос рассмотрим бесконечную одномерную цепочку не из частиц (атомов), а из тождественных связанных осцилляторов. Это может быть, например, цепочка математических
маятников массы m, имеющих собственную частоту ω0 = g / l. Связь маятников осуществляется пружинами жесткости χ (рис. 7.9, а). Или это может быть цепочка одинаковых пружинных маятников с собственной частотой ω0 , связанных между собой пружиной
(рис. 7.9, б).
ϕn−1 |
b |
b |
ϕn+1 |
χ |
χ |
χ |
|
χ |
ϕn |
χ l |
æ |
æ |
æ |
||
χ |
l |
l |
|||||
|
m |
|
m |
m |
m |
m |
m |
|
|
а |
|
|
Рис. 7.9 |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
237
Принципиальное отличие таких колебательных систем от рассмотренной нами ранее одномерной цепочки атомов заключается в том, что, если убрать связывающие пружины жесткости χ, то ко-
лебания в системе остаются. Если же убрать упругую связь между атомами в одномерной цепочке,
|
|
|
Un |
L |
Un+1 |
L |
то ни о каких колебаниях не мо- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In+1 |
жет быть и речи. Электрическим |
|
I |
n−1 |
|
q |
I |
n |
|
q |
аналогом таких одномерных ме- |
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
+1 |
|
ханических систем из большого |
|||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i nC |
|
|
|
|
L |
|
C |
числа осцилляторов является |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентная схема из LC-цепо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чек (рис. 7.10). Следует заме- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тить, что с помощью различных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.10 |
комбинаций LC-цепочек можно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реализовать практически любую |
дисперсионную зависимость, поэтому такие цепочки могут служить моделями при исследовании распространения волн в различных средах. Например, рассмотренная нам ранее в подразд. 6.4 цепочка, отображенная на рис. 6.10, вообще не обладает дисперсией, так как при предельном переходе уравнения колебаний в ней сводятся к обычному волновому уравнению (7.13).
Вернемся к нашей цепочке (см. рис. 7.10) и запишем закон Ома для произвольно выделенного участка с номером n, содержащего
индуктивность L с током In
L dIdtn =Un −Un−1 .
здесь Un = qn / C.
Из закона сохранения заряда следует
dqdtn = In−1 − In +in ,
где in – ток, протекающий через индуктивность L . Его значение при выбранном нами направлении подчиняется уравнению
238
L didtn = − qCn .
Из этих уравнений можно получить одно уравнение, связываю-
щее вторую производную |
qn |
с величинами заряда в данной точке |
||||||||||||
и двух соседних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q = |
1 |
(q |
|
−2q |
|
+ q |
) − |
1 |
q |
, n =1, 2, 3, ... |
(7.14) |
|||
|
|
|
L C |
|||||||||||
n |
LC |
n−1 |
|
n |
|
n+1 |
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение отличается от (6.16) наличием в правой части до- |
||||||||||||||
полнительного слагаемого qn /(L C). Если ввести обозначение |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω = |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
L C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то (7.14) можно переписать в виде дифференциально-разностного уравнения с разностью второго порядка
qn +ω02qn = |
1 |
(qn−1 −2qn + qn+1 ) . |
(7.15) |
|
LC |
||||
|
|
|
Легко проверить, что совершенно аналогично будут выглядеть и уравнения, описывающие колебания в бесконечных цепочках осцилляторов, представленных на рис. 7.9. Для рис. 7.9, а:
|
|
|
|
ϕ |
|
|
+ω2ϕ |
|
= |
χ |
|
(ϕ |
n−1 |
−2ϕ |
|
+ϕ |
n+1 |
) , |
|||
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ω2 |
= g / l, ϕ |
n |
– малый угол отклонения. Для рис. 7.9, б: |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ξ |
|
+ω2ξ |
|
= |
χ |
(ξ |
n−1 |
−2ξ |
|
|
+ξ |
n+1 |
) , |
||||
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
m |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ω2 |
= æ / m, ξ |
n |
– смещение маятника с номером n от положения |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равновесия.
Решение системы (7.15) будем, как и в предыдущем разделе, искать в виде одночастотных колебаний (аналогично (7.6))
239
qn = Aexp[iωt −inkb], qn−1 = Aexp[iωt −i(n −1)kb], (7.16) qn+1 = Aexp[iωt −i(n +1)kb],
где b – пространственный период повторения отдельных ячеек в бесконечной цепочке осцилляторов. Подставляя (7.16) в (7.15), по-
лучим для действительных значений волнового числа k |
закон дис- |
||||||||||
персии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 = ω2 + |
|
2 |
(1−cos kb) = ω2 |
+ |
4 |
|
sin2 kb , |
(7.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
LC |
0 |
|
LC |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
а для мнимых значений k = −iε ( ε – действительная величина) |
|||||||||||
ω2 = ω2 |
+ |
2 |
(1−ch εb) = ω2 |
− |
4 |
|
sh2 εb |
(7.18) |
|||
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
LC |
0 |
|
|
LC |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( sh x, ch x – гиперболические синус и косинус). Задавая в уравнении (7.17) частоту ω (т.е. оказывая на цепочку внешнее воздействие), можно найти значение волнового числа k. Если k получится действительным, то вдоль цепочки будет распространяться бегущая волна с частотой ω, если k – мнимое, то волна будет экспоненциально затухающей. Действительно, при k = −iε для qn имеем
qn = Aexp(iωt −inkb) = Aexp(iωt −nεb), т.е. с ростом номера ячейки n значение qn → 0.
Дисперсионное уравнение (7.17) определяет диапазон частот от
ω= ω |
до ω= ω = |
ω2 |
+ 4 /(LC), что соответствует значениям k от |
|
0 |
|
0 |
|
|
k = 0 до k = π/ b (рис. 7.11). Диапазон частот ω < ω< ω |
с соответ- |
|||
|
|
|
0 |
|
ствующими волновыми числами определяет область «прозрачности», в которой волны распространяются без затухания. Из (7.17) следует,
что условие ω< ω0 возможно только, если sin2 (kb / 2) < 0, т.е. при
мнимых k, соответствующая дисперсионная кривая представлена на рис. 7.12. Данным значениям 0 < ω< ω0 и 0 < ε < ε1 =
= (2 / b)Arsh ( LC / 2ω0 ) ( Arsh x – обратный гиперболический синус)
240