книги / Физика колебаний
..pdfствуют неустойчивому верхнему положению равновесия маятника – максимуму потенциальной энергии. Убегающие траектории, которые
получаются при w > ω02 , соответствуют вращательным движениям
маятника. Эти движения возникают при сообщении маятнику начального импульса, который обеспечивает прохождение маятника через верхнее положение с отличной от нуля скоростью. На фазовой плоскости это будет соответствовать выходу описывающей точки за пределы области, ограниченной кривыми C1 и C2. Эти кривые, про-
ходящие через седла и являющиеся в окрестности данных точек асимптотами гиперболических фазовых траекторий, являются сепаратрисами. Они разделяют топологически разные области на фазовой плоскости: область траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность, и область замкнутых траекторий. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением чисто колебательных движений, соответствующих замкнутым фазовым траекториям.
u(x)
x
x
C1 x
C2
Рис. 1.7
Прежде чем приступить к отысканию закона колебаний маятника, т.е. решению уравнения (1.12), найдем выражение для периода колебаний T (заметим, что T ≠ 2π/ ω0 !). Для этого применим энер-
21
гетический подход. ной энергии самое чивого равновесия).
Выберем в качестве начала отсчета потенциальнижнее положение маятника (положение устойТогда из закона сохранения энергии следует
1I dϕ 2 = mgL(cosϕ−cos a) ,
2dt
где a – максимальное значение угла отклонения (амплитуда колебаний). Найдем из этого уравнения скорость колебаний
|
|
dϕ = |
4π |
sin2 a |
−sin2 ϕ |
, |
(1.13) |
|
|
dt |
T |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
где T = 2π |
I |
– период колебаний маятника в приближении ма- |
|||||
|
|||||||
0 |
mgL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лых амплитуд. Для определения истинного периода колебаний T |
|||||||
разрешим уравнение (1.13) относительно dt, |
проинтегрируем его по |
углу от ϕ = 0 до ϕ = a и умножим результат на четыре. В итоге по-
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
T = |
T |
a |
dϕ |
|
|
|
|
0 |
∫ |
|
|
|
. |
(1.14) |
|
π |
|
sin2 a −sin2 ϕ |
|||||
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(ϕ/ 2) |
Путем последовательной |
замены |
переменных |
x = sin (a / 2) |
и x = sin u полученное выражение для периода колебаний можно привести к полному эллиптическому интегралу первого рода:
T = |
2T |
π/ 2 |
du |
|
π0 |
∫0 |
|
, |
|
1−k2 sin2 u |
где обозначено k = sin(a / 2). Данный интеграл не выражается через элементарные функции. Тогда воспользуемся тем, что k sin x ≤1
и разложим подынтегральное выражение в биномиальный ряд с отрицательным показателем
22
(1− x)−1/ 2 =1+ 12 x + 21 34 x2 + 21 34 56 x3 =... .
После почленного интегрирования получаем выражение для периода в виде бесконечного сходящегося ряда:
|
|
1 |
|
2 a |
1 3 |
2 |
4 a |
|
|||
T =T0 1 |
+ |
|
sin |
|
+ |
|
|
sin |
|
+... . |
|
4 |
2 |
2 4 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С достаточной для практики точностью можно учесть только первые два члена этого ряда
|
+ |
1 |
sin |
2 |
a |
(1.15) |
|
T =T0 1 |
4 |
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
На рис. 1.8 приведена зависимость относительного отклонения периода колебаний T от периода колебаний в приближении малых амплитуд как функция угловой амплитуды колебаний маятника. В данном случае мы встречаемся с зависимостью периода колебаний от их амплитуды, т.е. колебания в рассматриваемой системе являют-
ся неизохронными.
T−T0 ,%
T0
15
10
5
0 |
20 |
40 60 |
80 |
а, град |
Рис. 1.8
23
Если бы рассматриваемая система была линейной, то описы- |
|||||||||
вающее ее уравнение имело бы вид x = −ω02 x. Это уравнение отлича- |
|||||||||
ется от уравнения (1.12) тем, что вместо sin x стоит просто x. Фор- |
|||||||||
мально это означает, что в разложении синуса мы использовали |
|||||||||
только первое слагаемое. Тогда, воспользовавшись этим приближе- |
|||||||||
нием, вместо (1.14) получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
T |
a |
|
dx |
|
|
, |
|
|
T = 0 |
∫ |
|
|
|
|
||
|
|
|
π |
0 |
a |
2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
что после интегрирования дает T =T0 |
независимо от амплитуды ко- |
||||||||
лебаний, т.е. колебания в линейной системе являются изохронными. |
|||||||||
x |
|
|
|
Заметим, |
что из предположения мало- |
||||
|
|
сти колебаний не обязательно следует ли- |
|||||||
|
|
нейное описание системы. Для этого обра- |
|||||||
|
|
тимся к нестандартному пружинному маят- |
|||||||
l0 |
|
нику (рис. |
1.9). Грузик массой m, который |
||||||
|
может перемещаться без трения по горизон- |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
тальной плоскости, упруго закреплен с по- |
|||||||
|
|
мощью вертикальной пружины с коэффи- |
|||||||
|
|
циентом жесткости |
k. В положении равно- |
||||||
Рис. 1.9 |
|
весия |
пружина |
не |
растянута и ее длина |
||||
|
|
равна l0. |
|
|
|
|
|||
Для описания динамики колебаний найдем выражение для по- |
|||||||||
тенциальной энергии U (x) = |
1 k∆l2 |
, где |
∆l |
– удлинение пружины, |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x – смещение грузика от положения равновесия. Исходя из рис. 1.9 |
|||||||||
находим ∆l = |
l 2 |
+ x2 −l |
. Тогда |
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (x) = |
1 k∆l |
2 = k |
( l02 + x2 −l0 )2 . |
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагая колебания малыми (x << l0 ), последнее выражение можно представить в виде
U (x) = kx4 = αx4 ,
8l02
где α = 8lk 2 .
0
Тогда сила, действующая на груз,
F(x) = − dU = − kx3 , dx 2l02
и уравнение колебаний приобретет вид
mx + |
k |
|
x3 |
= 0. |
|
2l |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
Это явно нелинейное уравнение при любых x. Более того, и колебания в такой системе неизохронны при любых амплитудах. Для доказательства обратимся к закону сохранения энергии
U (x) + |
1 |
dx 2 |
||
2 |
m |
|
=U (a), |
|
|
dt |
|
где a – амплитуда колебаний. Найдем отсюда скорость колебаний
dx |
= |
2 |
[U (a) −U (x)] . |
|
dt |
m |
|||
|
|
Разрешая это уравнение относительно dt:
dt = |
|
|
dx |
, |
|
|
|
||
|
2 |
[U (a) −U (x)] |
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
и интегрируя обе части полученного равенства, получим выражение для периода колебаний:
25
A |
|
dx |
|
|
T = 4∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
2 |
[U (a) −U (x)] |
||
0 |
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
Если сюда подставить найденное нами выражение для U (x) , то
A |
|
dx |
|
|
|
|
|
T = 4∫ |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||
2α |
|
|
|
|
|||
0 |
4 |
− x |
4 |
|
|||
|
m |
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Введем замену переменных u = x / a. Тогда выражение для периода можно записать в виде
T = |
4 m |
1 |
du |
|
|
∫0 |
|
. |
|
a 2α |
1−u4 |
Этот интеграл выражается через гамма-функцию Г(z):
|
|
|
|
5 |
|
||
1 |
du |
|
Г |
4 |
|
|
|
∫ |
= π |
|
|
≈1,311. |
|||
1−u4 |
|
3 |
|||||
0 |
|
|
|||||
|
|
|
Г |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И для периода колебаний получаем окончательное выражение:
T =3,71 mk la0 .
Займемся теперь решением уравнения движения (1.12) (напомним, что под величиной x понимается угол отклонения маятника от положения устойчивого равновесия). Это уравнение относится к классу нелинейных дифференциальных уравнений и не существует универсальных методов их точного решения. Поэтому познакомимся с весьма распространенным методом приближенного расчета интересующей нас системы – методом последовательных приближений. Для этого выразим sin x в виде ряда
26
sin x = x − x3 +... .
6
Ограничиваясь рассмотрением значений x <<1, остановимся на члене с x3. Тогда уравнение (1.12) примет вид
2 |
ω02 |
3 |
|
|
x +ω0 x − |
6 x |
|
= 0. |
|
Представив это уравнение в форме |
|
|
||
x +ω02 x +αω02 x3 = 0 |
(1.16) |
( α = −1/ 6 ), будем искать решение (1.16) в виде ряда по степеням α: x = x0 +αx1 +α2 x2 +... .
Здесь x0 представляет решение уравнения (1.16) в так называемом «нулевом» приближении (при α = 0 ), x1 – первое приближение и т.д. Тогда для x0 имеем уравнение
x0 +ω02 x0 = 0 .
Однако здесь кроется ошибка. Это уравнение для определения x0 предполагает, что колебания маятника при любой амплитуде яв-
ляются изохронными, т.е. независящими от амплитуды. В действительности же, как мы установили ранее, период движения маятника с конечной амплитудой принципиально отличается от периода колебаний с бесконечно малой амплитудой. Так как величина отклонения периода T от T0 = 2π/ ω0 должна существенно зависеть от
степени нелинейности системы, вполне естественно ввести в рассмотрение новую частоту ω – частоту колебаний с заданной амплитудой в виде
ω2 = ω02 +α β+α2 β1 +... ,
27
где β, β1... – некоторые пока еще неизвестные величины. Если при расчете ограничиться первым приближением по α, то можно положить
ω2 = ω2 |
+α β. |
(1.17) |
0 |
|
|
Подставляя найденную отсюда величину ω2 |
в (1.16), получаем |
0 |
|
с точностью до первой степени по α уравнение |
|
x +ω2 x −αβx +ω2αx3 = 0 . |
(1.18) |
Тогда уравнение нулевого приближения (для x0 ) имеет вид |
|
x0 +ω2 x0 = 0 . |
(1.19) |
При выбранных нами начальных условиях (x(0) = a, x(0) = 0) его решением будет
x0 = a cos ωt.
Получим теперь уравнение для первого приближения. Для этого значение x = x0 +αx1 подставим в уравнение (1.18):
(x0 +αx1 ) +ω2 (x0 +αx1 ) −αβ(x0 +αx1 ) +ω2α(x0 +αx1 )3 = 0.
Тогда, учитывая только слагаемые первой степени по α и соотношение (1.19), получаем
x1 +ω2 x1 =βx0 −ω2 x03
или
x1 +ω2 x1 =βa cosωt −ω2a3 cos3 ωt.
Воспользовавшись известным тригонометрическим преобразованием (прил. 4), можем записать
x1 +ω2 x1 =βa cosωt − 14 ω2a3 cos3ωt − 34 ω2a3 cosωt.
28
Из теории известно, что решение этого неоднородного дифференциального уравнения содержит так называемый секулярный член ~ t sin ωt, вызванный наличием в правой части уравнения члена с резонансной частотой. Ясно, что подобное решение не соответствует никакому реальному движению. Для избавления от секулярного члена выберем величину β так, чтобы
aβ− 34 a3ω2 = 0 .
Тем самым мы сразу убьем двух зайцев: устраним, во-первых, «нехорошее» решение и, во-вторых, из (1.17) можем найти значение частоты ω:
2 |
|
ω02 |
|
|
ω02 |
|||
ω = |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
1− |
3 |
αa2 |
1+ |
1 a2 |
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
Нетрудно убедиться, что при достаточно малых амплитудах это выражение приводит к полученной нами формуле (1.15), связывающей период колебаний T с периодом T0 в линейной системе. Теперь
уравнение первого приближения для x1 запишется как
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
x1 +ω x1 |
= − |
4 |
ω a |
|
cos3ωt. |
(1.20) |
Его решение, как легко проверить, имеет вид
x1 =C1 cos ωt +C2 sin ωt + a2 cos3ωt, 32
где C1 и C2 – произвольные постоянные. Первые два слагаемых яв-
ляются общим решением однородного уравнения (1.20), а третье – частное решение неоднородного уравнения.
Полное же решение уравнения (1.16) с учетом нулевого приближения x = x0 +αx1 запишется следующим образом:
29
|
a2 |
|
x = a cos ωt +α C1 cosωt +C2 sin ωt + |
32 |
cos3ωt . |
|
|
Значения постоянных C1 и C2 можно найти, требуя от этого
решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям x(0) = a, x(0) = 0 . Проделав соответствующие выкладки, получим
окончательно приближенное решение с точностью до первой степени
α (α = −1/ 6):
x = a 1+ |
|
a2 |
cos ωt − |
|
a3 |
cos3ωt; ω2 = |
|
ω02 |
. |
||
192 |
192 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
+ |
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
8 a |
|
|
В найденном нами решении, которое годится для не слишком больших отклонений маятника (когда с достаточной для нас точно-
стью можно считать sin x = x − x3 / 6 ), следует отметить две особенности:
1)колебания неизохронны (частота колебаний является функцией амплитуды);
2)колебания не являются чисто синусоидальными – в них присутствуют гармоники (в нашем случае третья гармоника).
1.3.Колебания в электрическом контуре
снелинейными элементами
Рассмотрим теперь электрический колебательный контур без затухания с конденсатором, в котором нет линейной зависимости напряжения от заряда. Подобными нелинейными свойствами обладают конденсаторы, в которых в качестве диэлектрика используются сегнетоэлектрики, или емкости, возникающие в р–n-переходах полупроводниковых диодов при обратном напряжении смещения.
Как известно, для конденсаторов с сегнетоэлектриками характерно отсутствие прямой пропорциональности между зарядом q
и напряжением Uc на обкладках. Если пренебречь гистерезисом, то
30