Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра
.pdfили
где Y = (y1 |
Y = A X , |
|
(2) |
|
y 2 ... y n )T , X = (x1 x 2 |
|
|
||
... xn )T – матрицы-столбцы, со- |
||||
ставленные из координат векторов x |
и y относительно данного базиса |
|||
e1 ,e2 ,...,en , |
A – матрица линейного оператора A . |
|
|
|
Выберем в том же пространстве En |
другой базис E ,E ,...,E . Относи- |
|||
|
|
1 |
2 |
n |
тельно нового базиса матрица линейного оператора A |
будет иной. Обо- |
значим через T матрицу преобразования координат, а через X ′ и Y ′ – одностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y отно-
сительно нового базиса, т.е. |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X =T X , |
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
Y =T Y . |
|
(4) |
|||
Подставим (3) и (4) в (2), тогда получим: |
′ |
|
|||||
T Y |
′ |
|
|
(5) |
|||
|
= A T X . |
||||||
Умножая левую и правую части равенства (5) слева на T−1 , получим: |
|
||||||
Y |
′ |
=T |
−1 |
|
′ |
|
|
|
|
A T X . |
|
||||
Если к тому же T – ортогональная матрица, т.е. осуществляет переход |
|||||||
от одного ортонормированного базиса к другому, то |
(6) |
||||||
|
|||||||
Y |
′ |
|
T |
|
′ |
|
|
|
=T |
|
A T X .. |
(7) |
|||
Итак, если в En перейти к новому базису, |
|
||||||
то матрица линейного опера- |
тора также изменится и в самом общем случае будет равна
T−1 A T .
§6 Сопряженный и самосопряженный оператор.
Пусть в вещественном евклидовом пространстве En определен линейный оператор A .
Определение 1. Оператор A в вещественном евклидовом про-
странстве En называется сопряженным по отношению к линейному оператору A в том же пространстве, если его матрица в любом ортонормированном базисе этого пространства является транспонированной по отношению к матрице оператора A .
Свойства сопряженного оператора
1) E =E , где E – тождественный оператор, т.е. оператор, матрица которого E единичная в En ;
2)(A +B ) = A +B ;
3)(A B ) = B A ;
4)если A −1 существует, то (A −1 ) = (A )−1 .
Определение 2. Линейный оператор A , определенный в вещественном евклидовом пространстве En , называется самосопряженным, или
131
симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным оператором A , т.е. если A = A .
Очевидно, что матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.
Свойства самосопряженного оператора
1)Если A =A , B =B , то (A +B ) =A +B =A +B .
2)Если A – невырожденный самосопряженный оператор, то
|
|
|
(A −1 ) =(A )−1 =A −1 |
|
|
|
|
. |
|
Доказательство. Действительно, если существует A −1 и кроме того |
||||
A = A , то в силу |
свойства 4 сопряженного оператора, |
получим |
||
(A −1 ) =(A )−1 =A −1 . |
|
|
|
|
3) Если A |
– самосопряженный оператор в вещественном пространстве |
|||
En , то имеет место равенство: |
|
|||
|
|
(A x,z) = (x,A z), x,z En . |
(1) |
|
Действительно, вводя в рассмотрение одностолбцовые матрицы X и |
||||
Z , и учитывая, что (A B)T |
= BT AT , для скалярного произведения (A x,z) |
|||
получим: (A X )T Z =X T AT Z . |
|
|||
В свою |
очередь |
для |
скалярного произведения (x,A z) |
имеем |
X T AT Z . |
|
|
|
|
Следовательно, равенство (1) верно.
§7 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Пусть A – линейный оператор. Пусть x E1 , где E1 некоторое подпространство пространства En . Вектор y = A x может принадлежать подпространству E1 , а может и не принадлежать.
Определение 1. Подпространство E1 называется инвариантным по отношению к оператору A , если A x E1 , x E1 .
Определение 2. Ненулевой вектор x называется собственным век-
тором линейного оператора A , если найдется такое число λ , что будет выполняться равенство
A x = λx .
При этом число λ называют собственным значением (собствен-
ным числом) оператора A , соответствующим вектору x . Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.
Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векторов линейного оператора A .
Рассмотрение проведем для случая n = 3 .
132
Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу
a |
11 |
a12 |
|
|
a 22 |
A = a |
21 |
|
|
|
a 32 |
a 31 |
и пусть одностолбцовая матрица X = (x1 тору x . Тогда в силу определения
a13 a 23 , a 33
x 2 ... xn )T соответствует век-
A X = λX => A X −λEX = 0 => |
(1) |
(A −λE) X = 0. |
Итак, дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A −λE) = 0 . Уравнение det(A −λE) = 0 называет-
ся характеристическим, или вековым уравнением оператора A ; многочлен det(A −λE) называется соответственно характеристическим мно-
гочленом оператора A . В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:
|
a11 −λ |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
||||
|
a 21 |
a 22 −λ |
a 23 |
|
= 0. |
|
a 31 |
a 32 |
a 33 −λ |
|
|
Решив его, найдем λ1,λ2 ,λ3 – собственные значения линейного оператора. Можно показать, что собственные значения оператора A не зависят от
выбора базиса, т.е. матрицы A и T−1 A T имеют одинаковый набор собственных значений. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A ,
которую |
называют следом этой матрицы |
trA или следом оператор |
A (trA ) , |
справедлива формула λ1 + λ2 + λ3 = |
=a11 +a 22 +a 33 . Кроме того, |
det A = λ1λ2λ3 .
После того как найдены собственные значения линейного оператора A , остается подставить их по очереди в уравнение (1) и найти соответствую-
щие собственные векторы x(1) ,x(2) ,x(3) .
Пример 1. Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого
1 |
2 |
|
|
A = |
2 |
1 |
. |
|
|
Решение. В силу определения собственного вектора можем написать A X −λ X = 0 => (A −λ E) X = 0 , где X = (x1 x 2 )T – матрица-
столбец, соответствующая искомому вектору x линейного оператора A ;
В матричной форме получим: |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 −λ |
2 |
1 |
|
|
0 |
(2) |
|||
|
− |
|
|
|
= |
0 |
. |
||
2 1 |
λ |
x 2 |
|
|
|
133
Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:
|
1 −λ |
2 |
λ |
|
= 0. |
|
|
||||
|
2 |
1 − |
|
|
Решая его, получим такие собственные значения λ1 = −1; λ2 = 3 .
Найдем соответствующие собственные векторы. 1) λ1 = −1 подставим в (2), получим
2 |
2 |
x (1) |
|
0 |
|
Ù x1(1) +x 2(2) = 0 =>x1(1) = −x 2(1) =t (1) , |
|||
|
2 |
2 |
|
1(1) |
= |
||||
|
|
x 2 |
|
|
0 |
|
|
где t (1) – некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу λ1 = −1:
X (1) = t (1) .−t (1)
Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответствующий первому собственному числу λ1 = −1
т.е. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
X (10) = |
|
|
|
|
, |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
2) λ2 = 3 подставим в (10), получим |
|
|
|
|
||||||||||||
−2 2 |
|
x |
(1) |
|
0 |
|
|
x1(2) −x |
2(2) = 0 =>x |
1(2) =x 2(2) =t (2) , т.е. |
||||||
|
−2 |
|
1(2) |
= |
=> |
|||||||||||
2 |
|
x 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( |
2) = |
|
; X (20) = |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (2) |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение заметим, что множество всех векторов y = A x , где x En , называется областью значений линейного оператора A в En , а множество всех векторов x E1 En , таких, что A x = 0 , называется ядром линейно-
го оператора.
1 Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора
134
Рассмотрим самосопряженный оператор A , определенный в вещест-
венном евклидовом пространстве En . В силу определения матрица его A – симметрическая.
Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора A есть вещественные числа (без доказательства).
Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
Доказательство. Пусть λ1 и λ2 – различные собственные значения самосопряженного оператора A , а x1 и x2 – соответствующие им собст-
венные значения. |
|
|
|
|
|
Очевидны равенства: |
|
|
|
|
|
A x1 = λ1x1 , |
|
|
(1) |
||
A x2 = λ2x2 . |
|
|
(2) |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
(A x ,x |
|
) = λ (x ,x |
|
) |
(3) |
1 |
2 |
1 1 |
2 |
. |
|
(x1,A x2 ) = λ2 (x1 ,x2 ) |
|
Но (A x1,x2 ) = (x1,A x2 ) т.е. левые части равенств (3) равны, следова-
тельно, вычитая их почленно, получим:
(λ1 −λ2 ) (x1 ,x2 ) = 0 => (x1,x2 ) = 0 ,
а это и означает, что собственные векторы x1 и x2 ортогональны.
Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определен этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонормированный базис.
Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причем элементами диагонали являются ее собственные числа.
Доказательство. Доказательство проведем для случая n = 3 . Пусть e1,e2 ,e3 – единичные векторы самосопряженного оператора A относитель-
но некоторого базиса линейного пространства E3 , отвечающие собственным значениям λ1,λ2 ,λ3 этого линейного оператора, т.е. A e1 = λ1e1 , A e2 = λ2e2 , A e3 = λ3e3 . Примем векторы e1,e2 ,e3 за базис линейного пространства. Очевидно, что в этом базисе векторы λ1e1 , λ2e2 , λ3e3 имеют ко-
ординаты: λ1e1 =(λ1 ,0,0); |
λ2e2 =(0,λ2 ,0); |
λ3e3 =(0,0,λ3 ) . Следовательно, |
матрица A оператора A |
в базисе e1,e2 ,e3 |
имеет вид: |
135
λ1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
λ |
0 |
. |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
0 |
λ |
|
|
|
|
3 |
|
Выбор такого базиса, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид, называется приведением матрицы к диагональному виду.
§8 Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.
Пусть в вещественном пространстве En выбран произвольный базис
e ,e |
,...,e |
n |
, |
в |
|
котором |
|
|
некоторый |
вектор |
|
x En |
имеет |
|
координаты |
|||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 ,x2 ,…, xn , |
тогда этому вектору можно поставить в соответствие одно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
столбцовую матрицу X = (x1 |
|
x 2 ... |
|
xn )T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Определение. Выражение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Φ(x |
,x |
2 |
,...,x |
n |
) =a x 2 +2a |
|
x x |
|
+2a |
|
x x |
|
+... +2a |
1n |
x x |
n |
+ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 1 |
|
|
|
12 1 2 |
|
|
|
13 1 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a |
2 |
+ 2a23x2x |
3 +... +2a2nx |
2xn + |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+. |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
. |
|
|
|
|
. |
|
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+annxn , |
|
|
|
||||||
содержащее |
в |
|
|
качестве |
|
слагаемых |
|
|
только |
|
квадраты |
|
|
координат |
||||||||||||||||||||||||||
x1 ,x 2 ,..., xn и все их попарные произведения, |
|
называются квадратичной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формой координат x1 ,x 2 ,..., xn , |
|
а числа aij |
(i , j |
=1,2,...,n ) |
|
– |
|
коэффици- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ентами квадратичной формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Положим aij |
=a ji (i , j =1,2,...,n ) , тогда квадратичную форму (1) |
можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Φ(x |
,x |
2 |
,...,x |
n |
) =a x 2 |
+a x x |
|
+a x x |
+... +a |
1n |
x x |
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 1 |
|
|
|
|
12 1 2 |
|
13 1 3 |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a21x2x1 +a22x22 +a23x2x3 +... +2a2nx2xn + |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+. . |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
a |
x |
x |
1 |
|
+ a |
n |
x |
x |
2 |
+ |
|
... |
|
+ a |
nn |
xn . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 n |
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов этой квадратичной формы:
136
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
a 22 |
|
|
|
|
A = |
a 21 |
... |
a 2n |
(3) |
||
|
. |
... |
. |
. |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
an 1 |
an 2 |
... |
ann |
|
Матрица A называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что она симметрична относительно главной диагонали и квадратичную форму
(1) в матричном виде можно записать так:
Φ(x1,x 2 ,...,xn ) =X T A X . |
(4) |
Оператор A , имеющий матрицу A , самосопряженный. Допустим, что оператор A имеет n различных собственных значений λ1 ,λ2 ,...,λn , кото-
рым соответствуют n взаимно ортогональных собственных векторов e1 ,e2 ,...,en .
Примем эти векторы за новый базис. Обозначим через T матрицу преобразования координат. Ясно, что матрица T ортогональная.
Итак, положим
|
( |
|
) |
X =T X′, |
(5) |
|
x1′ x 2′ |
|
|||
|
|
|
|||
где X ′ = |
|
... xn ′ T |
– вектор-столбец, составленный из координат |
вектора относительно нового базиса. Подставим (5) в (4), тогда получим квадратичную форму относительно нового базиса
Φ(x1′,x 2′,...,xn ′) = (TX ′)T A (TX ′).
Напомним, что (A B)T |
= BT AT . Учитывая кроме того, что TT =T−1 , так |
|||||||
как T – ортогональная матрица, получим |
|
|
|
|
||||
′ |
′ |
′ |
′ |
) =X |
′T |
T |
−1 |
′ |
Φ (x |
1 |
,x 2 ,...,xn |
|
|
|
A T X . |
Итак, матрица квадратичной формы относительно нового базиса равна T−1 A T . Нетрудно заметить, что она диагональная, причем на главной диагонали стоят собственные значения λ1,λ2 ,...,λn оператора A . Заметим (это было показано раньше), что в качестве столбцов матрицы T следует взять координаты собственных векторов оператора A в исходном базисе.
Приведение квадратичной формы к виду, при котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид, называется приведением квад-
ратичной формы к каноническому виду.
§9 Геометрические приложения теории квадратичных форм в пространствах R2 и R3 .
137