Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра
.pdfДоказательство. Доказательство этой теоремы дает способ отыскания фундаментальной системы решений.
Рассмотрим матрицу A системы (1)
a11
a 21
. A =
ar 1
.am 1
... |
a1r |
a1 r +1 |
... |
a1n |
|
|
... |
a 2r |
a 2 r +1 |
... |
a 2n |
|
|
|
(2) |
|||||
. |
. |
. |
. |
. |
|
|
. |
|
|||||
... |
arr |
ar r +1 |
... |
arn |
|
|
. |
. |
. |
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
am r |
am r +1 |
... |
|
|
|
am n |
|
Как и прежде, не умаляя общности, предположим, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы A . Тогда, по теореме о базисном миноре строки с номерами от r +1 до m представимы в виде линейных комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой строки с номерами, большими r , нулевые. Следовательно, их можно отбросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исходной, но имеет r уравнений. Запишем ее в следующем виде:
a |
x |
+a x |
+ ... +a |
1r |
x |
r |
= −a |
x |
−... −a |
1n |
x |
n |
|
|
|
11 1 |
12 2 |
|
|
|
1 r +1 r +1 |
|
|
|
|
||||
a |
21x1 +a 22x 2 |
+ ... +a 2r xr = −a 2 r +1xr +1 |
−... −a 2n xn |
. |
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ar 2x 2 |
+ ... +arr xr |
= −ar |
r +1xr +1 −... −arn xn |
|
|
|
||||||
ar 1x1 |
|
|
|
|||||||||||
Неизвестные x1,x 2 ,...,xr |
назовем базисными, а остальные n −r |
неиз- |
вестных xr +1,xr +2 ,...,xn – свободными.
Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные значения, то из системы (3) базисные неизвестные можно найти единственным
образом, поскольку A * – квадратная матрица системы, ее элементы обра-
зуют базисный минор (detA * ≠ 0).
Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
; |
|
|
; |
|
|
; … ; |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 . |
|||
|
... |
|
|
... |
|
|
... |
|
|
... |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
В каждом i -ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный от нуля (единица), стоит на i -ом месте. Всего таких наборов n −r . Подставим поочередно эти наборы значений переменных xr +1,...,xn в систему (3),
решим ее относительно x1,x 2 ,...,xr и получим следующие решения:
101
x |
11 |
|
|
x |
12 |
|
|
x |
1n −r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
12 |
|
; |
x 22 |
|
; ...; |
x 2n −r |
. |
||
... |
|
|
... |
|
|
... |
|
|||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
n −r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xr |
|
|
xr |
|
|
xr |
|
Теперь объединим соответствующие решения и получим такую совокупность решений системы (3), а значит и (1):
|
x11 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
X |
|
r |
|
; X 2 |
1 = |
1 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
r |
|
; ...; X n −r |
= |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
1n −r |
|
|
M |
|
|
|
|
x n −r |
||
|
r |
|
= |
0 |
. |
|
0 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
1 |
|
|
|
Покажем, что эта система решений будет фундаментальной. Для этого надо проверить два условия из определения.
1) Проверим линейную независимость столбцов X 1,X 2 ,...,X n −r . Рассмотрим матрицу, составленную из столбцов X 1 , ..., X n −r
x11 |
x12 ... |
x1n −r |
|
|
||
|
|
x 22 ... |
x 2n −r |
|
|
|
x12 |
|
|
||||
... ... ... |
... |
|
|
|||
|
|
xr2 ... |
xrn −r |
|
|
|
xr1 |
|
. |
||||
|
1 |
0 ... |
0 |
|
||
|
||||||
|
0 |
1 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
... ... ... |
... |
|
|
|||
|
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|
Минор порядка n −r , образованный последними n −r строками, отличен от нуля. Следовательно, ранг данной матрицы равен n −r , и по теореме о базисном миноре все столбцы линейно независимы, что и означает линейную независимость решений X 1,X 2 ,...,X n −r .
2) Возьмем произвольное решение однородной системы (1)
102
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
= x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
||
Рассмотрим одностолбцовую матрицуY : |
|
|
||||||
|
|
Y =X −xr +1X 1 −xr +2X 2 −... −xn X n −r . |
|
(4) |
||||
По свойствам однородных систем Y |
– решение системы (1). Выполнив |
|||||||
все |
действия |
в |
правой |
части |
равенства |
(4), |
получим |
Y = (y1,y 2 ,...,y r ,0,0,...,0)T .
Кроме того, Y является решением системы (3), которая равносильна системе (1). Нулевому значению свободных неизвестных соответствует (единственное) нулевое решение системы (3). Значит, Y = 0 . Подставив это значение в равенство (4), получим X = =xr +1X 1 +xr +2X 2 + ... + +xn X n −r , то есть произвольное решение X однородной системы (1) является линейной комбинацией решений X 1,X 2 ,...,X n −r .
И так очевидно, что X 1,X 2 ,...,X n −r образуют фундаментальную систему решений.
Следствие. Однородная система (1), у которой число неизвестных n совпадает с числом уравнений m , имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы detA = 0 .
§5 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений представив ее в матричной форме
A X =B . |
(1) |
Соответствующей ей однородной системой будем называть сис-
тему
где 0 |
– нулевой столбец. |
A X =0, |
(2) |
|
|||
|
|
1 Некоторые свойства решений неоднородной системы и их связь с решением соответствующей однородной системы
1. Если Y |
является решением неоднородной системы, а X – решени- |
|
ем однородной системы, то Z =Y +X – решение неоднородной системы |
||
линейных уравнений |
Из условия имеем A Y =B и A X = 0 . |
|
Доказательство. |
||
Найдем |
A Y +A X =A (Y +X ) =A Z |
|
С другой стороны |
=>A Z =B . |
|
A Y +A X =B + 0 =B |
Тогда Z =Y +X является решением неоднородной системы.
103
2. |
Если |
Y |
и Z |
– решения неоднородной системы, то столбец |
X =Y −Z |
является |
решением соответствующей однородной системы. |
||
Доказывается аналогично свойству 1. |
||||
3. |
Любое решение Z неоднородной системы представимо в виде сум- |
|||
мы Z =Y +X , где столбец Y – частное решение неоднородной системы, |
||||
а столбец X |
– решение однородной системы, соответствующей системе |
|||
(1). |
Пусть X 1,X 2 ,...,X n −r фундаментальная система решений однород- |
|||
4. |
ной системы (2), аY – частное решение неоднородной системы. Тогда все множество решений неоднородной системы представимо в виде
Z =Y +c1X 1 +c 2X 2 + ... +cn −r X n −r , |
(3) |
где r – ранг матрицы системы; c1 ,c 2 ,...,cn −r – произвольные постоянные.
При этом выражение (3) называют общим решением системы. Доказательство. По свойству 3 всякое решение неоднородной систе-
мы представимо в виде Z =Y +X , а любое решение однородной системы в виде X =c1X 1 + ... +cn −r X n −r по теореме о фундаментальной системе ре-
шений.
Пример 1. Решить однородную систему
x1 + 2x 2 +x3 = 02x1 +x 2 −3x3 = 0 .3x1 +3x 2 − 2x3 = 0
Решение. Однородная система всегда совместна и имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A этой системы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы A , совершая линейные преобразования над строчками
1 2 1 |
1 2 1 |
1 2 |
1 |
|
||||||||||
|
2 |
1 |
−3 |
|
|
0 |
−3 |
−5 |
|
|
0 |
−3 −5 |
|
|
A = |
|
~ |
|
~ |
. |
|||||||||
|
3 |
3 |
−2 |
|
|
0 |
−3 |
−5 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Очевидно, что rgA = 2 , т.е. |
ранг матрицы меньше числа неизвестных и |
значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система эквивалентна такой:
x |
1 + 2x 2 +x3 = 0 |
или |
x |
1 |
+ 2x 2 = −x3 |
. |
|
−3x 2 −5x3 = 0 |
|
|
3x 2 = −5x |
||
|
|
|
|
3 |
Полагая, например, x3 =1, получим систему
x |
1 |
+ 2x 2 |
= −1 |
, |
|
|
3x 2 |
= −5 |
|
|
|
|
||
решая которую находим x 2 = −5/ 3 , |
|
x1 = −1 − 2x 2 = 7 / 3 . |
Т.е. получим ненулевое частное решение x1 = 7 / 3 , x 2 = −5/ 3 , x3 =1.
104
Полагая x3 =c ( c – любое действительное число) получим общее решение
x1 = |
7c , x |
2 |
= − |
5c , x |
3 =c (c ). |
|
3 |
|
|
3 |
|
Пример 2. Найти фундаментальную систему решений и общее решение
данной однородной системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x 2 + x3 −x 4 = 0 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 −3x |
3 +x 4 = |
0 |
|
|
|||||||
2x1 +x |
|
|
|
||||||||||||
Решение. Вычислим ранг матрицы A этой системы, |
приведя ее к тра- |
||||||||||||||
пециевидной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 −1 |
1 2 1 −1 |
||||||||||||||
A = |
−3 1 |
|
|
~ |
|
|
|
−3 |
|
−5 3 |
. |
||||
2 1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||
Очевидно, что rgA = 2 . Данная система эквивалентна такой |
|||||||||||||||
x1 + 2x 2 |
+ x3 − x 4 = 0 |
. |
|
||||||||||||
|
−3x |
2 −5x |
3 +3x 4 = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Фундаментальную систему |
получим, |
если |
положить сначала x 3 =1, |
||||||||||||
x 4 = 0 а потом x 3 = 0 , x 4 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для первого случая будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
1 |
+ 2x 2 |
= −1 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−3x 2 = −5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
решая которую, находим x 2 = −5/ 3 , |
x1 = 7 / 3 . Т.е. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
1 |
= |
5/ 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для второго случая получим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x1 + 2x 2 =1 |
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x 2 = |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
решая которую находим X 2 = (−1 1 |
0 |
|
1)T . |
|
|
|
|
|
|
Итак, фундаментальная система решений имеет вид
X 1 = (7 / 3 5 / 3 1 0)T , X 2 = (−1 1 0 1)T .
Общее решение X получаем, составляя линейную комбинацию фундаментальной системы:
X =c1 X 1 +c 2 X 2 .
105
Т.е. общее решение имеет вид
|
|
|
7 / 3 |
|
|
|
|
X |
=c |
1 |
|
5 / 3 |
+c |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
или в координатной форме
−1
101
|
|
= |
7 |
c1 −c 2 |
|
|
|||
x1 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= − |
c |
|
+c |
|
(c1 ,c 2 ). |
||
x 2 |
3 |
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
=c1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
=c 2 |
|
|
|
|
|
||
x 4 |
|
|
|
|
|
106
Пример 3. Решить неоднородную систему |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x1 |
|
− 2x 2 + x3 −3x 4 + x5 = 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
+ x 2 − 2x3 |
+ x 4 − x5 = 2 |
|
|||||||||||
|
|
2x |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− x 2 + x3 − x 4 + x5 =14 . |
|
||||||||||||
|
|
x1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2x |
1 |
− 3x |
2 |
+ |
2x |
3 |
− 4x |
4 |
+ |
2x |
5 |
=14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− x 2 − x3 |
− 2x 4 |
|
|
= 2 |
|
|
|
||||||
|
|
3x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Обозначим через A и A r |
соответственно основную и расши- |
||||||||||||||||
ренную матрицы системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 −2 1 |
|
−3 1 |
|
|
1 |
|
−2 1 −3 1 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 −2 1 −1 |
|
2 |
|
||
|
1 −2 1 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
A = |
1 |
−1 1 −1 1 , A r = |
1 |
|
−1 1 −1 1 |
|
11 . |
||||||||||
|
2 |
−3 2 −4 2 |
|
|
2 |
|
−3 2 −4 2 |
|
14 |
||||||||
|
3 |
−1 −1 |
|
−2 0 |
|
|
|
3 |
|
−1 −1 −2 0 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для
этого приведем расширенную матрицу A r и трапециевидной форме, совершая элементарные преобразования над строками
|
|
|
1 |
−2 |
1 |
−3 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%r |
|
|
|
||||||
A |
r |
~ |
|
0 0 |
−4 |
−3 −3 |
|
−68 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
=A |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При этом матрица A |
|
|
|
|
~ |
. Очевидно, |
что rgA =rgA |
r |
= 3, т.е. |
||||||
|
перейдет в A |
|
ранги матриц A и A r совпадают и меньше числа неизвестных. Значит система совместна и имеет бесчисленное множество решений.
Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и какоголибо частного решения неоднородной.
Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную
~ |
|
|
|
систему с матрицей A : |
|
|
|
x |
1 − 2x 2 + x3 −3x 4 + x5 = 0 |
||
|
x 2 |
+ 2x 4 |
=14 . |
|
|||
|
|
4x3 +3x 4 +3x5 = 68 |
|
|
|
~
За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом углу матрицы A , т.е. минор, составленный из коэффициентов перед неизвестными x1 , x 2 и
x 3 . Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных x 4 и x 5 так, чтобы в каждом наборе одна
переменная равна 1, а другая 0. Взяв x 4 =1, x 5 = 0 из системы
107
x |
1 − 2x |
2 +x3 = 3 |
|
|
|
x 2 |
=12 , |
|
|
||
|
|
4x3 |
= 65 |
|
|
получим x3 = 65 / 4 , x 2 =12 , x1 = 43/ 4 .
Аналогично, взяв x 4 = 0 , x5 =1, получим x3 = 65/ 4, x 2 =14 , x1 = 59 / 4 . То есть получим фундаментальную систему
X 1 = (43/ 4 12 65 / 4 1 0)T , X 2 = (59 / 4 14 65 / 4 0 1)T .
Общее решение однородной системы имеет вид
X =c1 X 1 +c2 X 2 ,
где c1 и c 2 – произвольные числа.
Теперь найдем какое-либо решение неоднородной системы. Система,
соответствующая матрице A r , имеет вид |
|
||
x |
1 − 2x 2 + x3 −3x 4 + x5 = 0 |
||
|
x 2 |
+ 2x 4 |
=14 |
|
|||
|
|
4x3 +3x 4 +3x5 = 68 |
|
|
|
и эквивалентна данной. Положим свободные переменные x 4 и x 5 |
равными |
||||||||||||||
нулю. Тогда x 3 =17 , x 2 =14 , |
x1 =11, |
|
т.е. |
получили частное |
решение |
||||||||||
z = (17 14 11 0 0)T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение системы имеет вид X =Y +Z ,т.е. |
|
|
|||||||||||||
43 |
/ 4 |
|
|
|
59 / 4 11 |
|
|
||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
14 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X =c1 |
65 |
/ 4 |
+c |
2 |
|
65 / 4 |
+ 17 |
. |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В координатной форме общее решение запишется так |
|
||||||||||||||
|
|
= |
43 |
c |
|
+ |
59 |
c 2 |
+11 |
|
|
|
|||
x1 |
4 |
1 |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
=12c1 +14c 2 +14 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
65 |
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
c |
|
+ |
c 2 |
+17 , |
|
|
||||||
x |
3 |
4 |
1 |
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
4 |
=c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
=c 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
где c1 и c 2 – произвольные числа.
§6 Альтернатива Фредгольма для линейных систем.
Рассмотрим линейные системы m уравнений сn неизвестными |
|
||||||||
a |
x |
+a x |
+ ... +a |
1n |
x |
n |
=b |
|
|
|
11 1 |
12 2 |
|
|
1 |
|
|
||
a |
21x1 |
+a 22x 2 |
+ ... +a 2n xn |
=b2 |
|
(1) |
|||
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am 1x1 +am 2x 2 + ... +am n xn =bn |
|
|
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
y |
+a y |
+ ... +a |
m |
y |
= 0 |
|
|
|
|
11 1 |
12 2 |
|
1 |
m |
|
|
|
|
a |
12y1 |
+a 22y 2 |
+ ... +am 2y m |
= 0 |
. |
(2) |
|||
|
|
. . . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+a 2n y 2 + ... +am n y m |
= 0 |
|
|
||||
a1n y1 |
|
|
В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:
A X =B и AT Y = 0 ,
т.е. матрица коэффициентов в системе (2) получается транспонированием матрицы коэффициентов системы (1).
Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива – это ситуация, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также называют и сами эти утверждения, от латинского alter – другой, один из
двух). |
Для всяких систем A X =B и |
Альтернативы Фредгольма. |
AT Y = 0 справедливо одно из двух утверждений:
1. Система A X = B имеет решение при любом B тогда и только то-
гда, когда система AT Y = 0 имеет только тривиальное (нулевое) решениеY = 0 .
2. Система A X =B при некотором B несовместна и тогда система
AT Y = 0 имеет нетривиальное (ненулевое) решение.
Доказательство.
1. Пусть система (1), т.е. A X =B , имеет решение при любом B (любом наборе b1,...,bm ). В этом случае rgA =m , так как иначе при некотором B rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgAT =rgA , то в этих условиях rgA T =m , то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только нулевое (тривиальное) решение.
109
2. Пусть теперь система A X =B |
при некотором B несовместна. |
Следовательно rgA <m , значит и rgAT |
<m , т.е. ранг матрицы системы |
(2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетривиальное) решение.
Замечание. Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для линейных операторов.
Пример 1. Дана система
x + 2y +3z =b1 .2x + 4y + 6z =b2
Является ли она совместной при любых значениях b1 и b2 ?
Решение. Имеем
rg |
|
1 |
2 |
3 =1. |
|
|
2 |
4 |
6 |
1
Если же к матрице приписать справа столбец 0 , то у расширенной мат-
рицы ранг окажется равным 2. Согласно теореме Кронекера-Капелли система
x + 2y +3z =12x + 4y + 6z = 0
несовместна. Следовательно ответ на поставленный вопрос отрицательный.
В силу второй альтернативы система однородных уравнений
y1 + 2y 2 = 02y1 + 4y 2 = 03y1 + 6y 2 = 0
должна иметь нетривиальное решение. Действительно, таким решением является, например, y 1 = 2 , y 2 = −1.
Пример 2. Является ли система совместной при любых b1 и b2 ?
x + 2y +3z =b1 .3x + 4y + 6z =b2
Решение. Ранг матрицы этой системы равен 2. Значит и ранг расширенной матрицы не может быть меньше двух (и не может быть больше, чем 2). Значит при любых b1 и b2 ранг матрицы системы равен рангу расширен-
ной матрицы и система совместна. Т.е. ответ на поставленный вопрос положителен.
110