Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра
.pdfОпределение 1. Линейное пространство L называется метрическим, если любым двум элементам этого пространства x и y постав-
лено в соответствие неотрицательное число ρ(x,y) , называемое расстоянием между x и y , (ρ(x,y) ≥ 0) , причем выполняются условия (аксиомы):
1)ρ(x,y) = 0 Ù x = y ;
2)ρ(x,y) = ρ(y,x) (симметрия);
3) для любых трех векторов x , y и z этого пространства
ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y).
Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.
Очевидно, что евклидово пространство En – метрическое, причем в качестве расстояния между векторами x En и y En можно взять x − y .
Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где
x1 |
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x 2 |
|
, |
y = y 2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
xn |
|
|
y n |
|
|
получим
x − y = (x1 −y1 x 2 −y 2 ... xn −y n )T ,
следовательно,
ρ(x ,y ) = (x1 −y1 )2 +(x 2 −y 2 )2 + ... +(xn −y n )2 .
Определение 2. Линейное пространство L называется нормированным, если каждому вектору x из этого пространства поставлено в со-
ответствие неотрицательное число, называемое его нормой x . При этом выполняются аксиомы:
1)x ≥ 0 x ; x = 0 Ù x = 0 ;
2)λx = λ x для x L и любого числа λ ;
3)x + y ≤ x + y для x L и y L (неравенство треугольника).
Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y
можно взять x − y . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x En принимается его длина, т.е. x = x .
Нетрудно убедиться, что все аксиомы нормы выполняются для выбранной таким образом нормы евклидова пространства En .
Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством
и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.
121
5 Угол между векторами
Заметим, что из неравенства Коши-Буняковского следует, что
|
(x,y) |
|
≤1 ( x ≠ 0 , y ≠ 0 ). |
|||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Определение 1. Углом между ненулевыми векторами a и b евкли-
дова пространства En называют число ϕ [0,π], для которого
cosϕ = |
(a,b) |
. |
|||
a |
|
b |
|||
|
|
Определение 2. Векторы x и y евклидова пространства E называются ортогональными, если для них выполняется равенство (x,y) = 0 .
Если x и y – ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен π2 . Заметим, что нулевой вектор по определению считается
ортогональным любому вектору.
Пример. В геометрическом (координатном) пространстве R3 , которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно
ортогональны.
6 Ортонормированный базис
Определение 1. Базис e1,e2 ,...,en евклидова пространства En называ-
ется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортогональ-
ны, т.е. если (ei ,ej ) = 0 (i ≠ j ; i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n ) .
Определение 2. Если все векторы ортогонального базиса e1,e2 ,...,en единичны, т.е. ei =1 (i =1,2,...,n ) , то базис называется ортонормированным, т.е. для ортонормированного базиса
0, i ≠ j |
(i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n ) . |
(ei ,ej ) = |
|
1, i = j |
|
Теорема (о построении ортонормированного базиса).
Во всяком евклидовом пространстве En существуют ортонормированные базисы.
Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3 .
Пусть E1 ,E2 ,E3 – некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 . Построим какой-нибудь ортонормированный базис e10 , e20 ,e30 в этом
пространстве.
Положим e1 = E1 , e2 = E2 +αe1 , где α – некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1 ,e2 ) = 0 , тогда получим
122
(E ,E +αE ) = (E ,E ) +α(E ,E ) = 0 => α = − |
(E1,E2 ) |
, |
||||||
|
||||||||
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(E1 ,E1 ) |
|
причем очевидно, что α = 0 , если E1 |
и E2 |
|
||||||
ортогональны, т.е. в этом случае |
||||||||
e2 =E2 , а E2 ≠ 0 , т.к. это базисный вектор. |
|
|
|
|||||
Далее, определим вектор e3 |
равенством e3 =E3 + β1e1 + β2e2 , причем чис- |
ла β1 и β2 определяется из условия ортогональности вектора e3 с вектора-
ми e1 и e2 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e3 ,e1 ) = 0 |
=> |
(e1 ,E3 ) + β1(e1 ,e1 ) + β2 (e1 ,e2 ) = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
(e3 ,e2 ) = 0 |
|
(e2 ,E3 ) + β1(e1 ,e2 ) + β2 (e2 ,e2 ) = 0 |
|
|||||||
Учитывая, что (e1,e2 ) = 0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
β = − |
(e1,E3 ) |
; β |
2 |
= − |
(e2 ,E3 ) |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
(e1 ,e1 ) |
|
|
(e2 ,e2 ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Очевидно, что β1 = β2 = 0 , если e1 |
и e2 ортогональны с вектором E3 , т.е. |
|||||||||
в этом случае следует взять e3 = E3 . Вектор E3 ≠ 0 , т.к. |
E1 , E2 |
и E3 линейно |
||||||||
независимы, следовательно e3 ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
что e3 |
нельзя пред- |
|||
Кроме того, из приведенного рассуждения следует, |
ставить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1 ,e2 ,e3 линейно независимы и попарно ортогональны, следовательно,
их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3 . Остается только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим
e 0 |
= |
|
e1 |
|
; e |
0 |
= |
|
e2 |
; e 0 |
= |
|
e3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
e1 |
2 |
|
|
e2 |
3 |
|
|
e3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, мы построили базис e 0 |
,e 0 |
,e 0 |
|
– |
ортонормированный базис. Тео- |
||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
рема доказана.
Примененный способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации. Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортого-
нальные векторы линейно независимы. Кроме того, если e10 ,e20 ,..., en 0 – ор-
тонормированный базис в En , тогда для любого вектора x En имеет место единственное разложение
x =x1e10 +x 2e20 + ... +xn en 0 , (1)
где x1 ,x 2 ,...,xn – координаты вектора x в этом ортонормированном базисе. Так как
0 |
0 |
0,i ≠ j |
(i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n ), |
(ei |
,ej |
) = |
|
|
|
1,i = j |
|
123
то умножив скалярно равенство (1) на ei 0 , получим
x |
i |
= (x |
,e0 ) (i =1,2,...,n ) . |
|
i |
i |
В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов
ei 0 мы будем опускать.
§3 Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора.
1 Линейный оператор, матрица линейного оператора
Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x L ставит в соответствие вектор y L, то говорят, что в линейном пространстве L задан оператор A , при этом пишут:
y = A x . |
(1) |
Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x1 L и x2 L и произвольного числа α выполняются условия:
1)A (x1 + x2 ) = A x1 +A x2 ,
2)A (αx) =αA x .
Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве En |
базис e ,e |
2 |
,...,e |
, и |
|
1 |
n |
|
|
пусть в этом пространстве определен линейный оператор A : y =A x . |
|
|||
Разложим векторы x и y по базису e1,e2 ,...,en : |
|
|
|
|
x =x1e1 +x 2e2 + ... +xn en , |
|
|
|
(2) |
y =y1e1 +y 2e2 + ... +y n en , |
|
|
|
(3) |
В силу линейности оператора A можно написать |
|
|
|
|
A x =x1A e1 +x 2A e2 + ... +xn A en . |
|
|
|
(4) |
Заметим, что каждый вектор A e En (i =1,2,...,n ) , |
следовательно, |
его |
||
i |
|
|
|
|
также можно разложить по базису e1,e2 ,...,en , т.е.
A ei =a1i e1 +a 2i e2 + ... +ani en (i =1,2,...,n ) .
А тогда
y=A x =x1(a11 e1 +a 21 e2 + ... +an 1 en ) +
+x 2 (a12 e1 +a 22 e2 + ... +an 2 en ) +
+. . . . . . +
+xn (a1n e1 +a 2n e2 + ... +ann |
en ) = |
(5) |
|
|
124
= (a11x1 +a12x 2 + ... +a1n xn )e1 + +(a 21x1 +a 22x 2 + ... +a 2n xn )e2 +
+. . . . . . + +(an 1x1 +an 2x 2 + ... +ann xn )en .
В силу единственности разложения по данному базису мы можем приравнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (3) и (5); тогда получим:
y1 =a11x1 +a12x 2 + ... +a1n xn ,
y 2 =a 21x1 +a 22x 2 + ... +a 2n xn , |
(6) |
||||
. |
. |
. |
. |
. |
|
y n =an 1x1 +an 2x 2 + ... +ann xn .
Итак, линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
A = a 21 |
a 22 |
... |
a 21 |
|
||
, |
||||||
|
. |
... |
. |
|
|
|
. |
|
|
||||
an 1 |
an 2 |
... |
ann |
|
|
которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец кото-
рой состоит из координат вектора A ei (i =1,2,...,n ) |
относительно данного |
|||||
базиса. Отметим, что матрица A оператора A |
зависит от выбора базиса |
|||||
e ,e |
2 |
,...,e |
n |
пространства Ln . |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Введем теперь в рассмотрение одностолбцовые матрицы |
||||||
|
|
|
|
X = (x1 x 2 ... xn )T иY = (y1 |
y 2 |
... y n )T , |
соответствующие векторам x En и y En . Тогда соотношения (6) в мат- |
|
ричном виде можно записать так: |
|
Y = A X . |
(8) |
Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A |
в евклидовом |
пространстве En соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e1 ,e2 ,...,en .
Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие
операторы, матрицы которых имеют обратную A−1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определенному
соотношением (1), отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство:
125
X = A−1 Y .
126
2 Примеры линейных операторов
e2 |
r2 |
M 2 (x 2 ,y 2 ) |
|
|
|
|
|
||
|
M 1 |
(x1 |
,y 1 ) |
|
|
α |
|||
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ
O |
|
e1 |
|
|
1. Возьмем в пространстве |
E |
2Рис.5.3.1 |
e1 ,e2 |
и рас- |
ортонормированный базис |
||||
смотрим в этом базисе вектор |
r1 =x1e1 +y1e2 (или точку M 1(x1 ,y1 )) (рис. |
|||
5.4.1). |
|
|
|
|
Повернем вектор r1 вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки. Он займет положение r2 =x 2e1 +y 2e2 , а точка M 1 перейдет в точку M 2 (x 2 ,y 2 ) , т.е. r2 = A r1 , где A – оператор поворота против часовой стрелки на угол α относительно точки 0.
Очевидны равенства |
|
x 2 |
=r cos(ϕ +α) =x1 cosα −y1 sinα , |
y 2 |
=r sin(ϕ +α) =x1 sinα +y1 cosα . |
Или в матричном виде |
x 2 |
= cosα |
−sinα |
|
x1 |
. |
|
y 2 |
sinα |
cosα |
|
|
y1 |
|
Здесь матрица |
|
|
|
|
|
|
|
A = cosα |
−sinα |
|
|
||
|
sinα |
cosα |
|
|
|
является матрицей поворота.
2. Тождественным называется преобразование, определяемое соотношением Ex = x, x En . В частности Eei = ei (i =1,2,...,n ) .
Матрица тождественного линейного оператора в любом базисе имеет вид
|
1 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||
E = |
|
0 |
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
. |
||||||
|
. |
. |
. |
... |
. |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
|
|
3 Действия над операторами
127
1. Сложение линейных операторов. Пусть x En , A и B – два ли-
нейных оператора в этом пространстве.
Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в En назы-
вается оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x –
любой вектор из En .
Очевидно, что сумма линейных операторов является линейным оператором, причем его матрица C = A + B , где A и B – матрицы линейных операторов A и B .
2. Умножение линейного оператора на число. Пусть x En , линей-
ный оператор A определен в En , α – некоторое число.
Определение 2. Произведением линейного оператора A на число
αназывается оператор αA , определяемый равенством
(αA ) x =α (A x), x En .
Очевидно, что αA является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением ее на число α , т.е. она равна α A .
3. Умножение линейных операторов. Пусть x En , y En , z En и
кроме того в En определены линейные операторы A и B таким образом, что
y = Bx, z = A y .
Определение 3. Произведением A B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .
Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .
Рассмотрим матрицы-столбцы:
x1 |
|
|
|
X = x2 |
; Y |
|
|
... |
|
xn
y1
=y...2 ; Zyn
z1
=z...2
⎝zn
и обозначим через A , B и C – соответственно матрицы линейных операторов A , B и C. Тогда очевидно, что Z = A (B X ) = (A B) X = =C X ,
таким образом, C = A B , т.е. произведение матриц линейных операторов также является матрицей линейного оператора.
Действительно,
a) (A B )(x + y) = A (B (x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A B ) x + (A B ) y
б) (A B )(αx) = A (B (αx)) = A (αB x) = αA (B x) = α(A B )x
Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.
§4 Замена базиса.
128
1 Матрица преобразования координат.
Возьмем в пространстве En два различных базиса e1 ,e2 ,...,en и
E1 , E2 ,..., En .
Рассуждение проведем для случая n = 3 . Очевидно, что один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты.
Действительно, ограничиваясь случаем n = 3 , можем написать:
x =x1e1 +x 2e2 +x3e3 , |
(1) |
x =x1′E1 +x 2′E2 +x3′E3 . |
(2) |
Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.
E1 =τ11e1 +τ21e2 +τ31e3 , |
|
E2 =τ12e1 +τ22e2 +τ32e3 , |
(3) |
E3 =τ13e1 +τ23e2 +τ33e3 . |
|
Подставим (3) в (2):
x =x ′(τ e +τ e +τ e ) +x ′(τ e +τ e +τ e ) +x ′(τ e +τ e +τ e ) =
=(τ11x1′ +τ12x2′ +τ13x3′)e1 +(τ21x1′ +τ22x2′ +τ23x3′)e2 +(τ31x1′ +τ32x2′ +τ33x3′)e3 .(4)
Всилу единственности разложения по данному базису мы должны при-1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 3 13 1 23 2 33 3
равнять коэффициенты при векторах e1, e2 , e3 в правых частях формул (1) и
(4). Тогда получим:
x |
1 |
=τ |
x ′ +τ x ′ +τ x ′, |
|
|||||||
|
|
11 |
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
(5) |
|||
x |
2 |
=τ |
x ′ +τ |
x |
′ +τ |
x ′, |
|||||
|
|
21 |
1 |
|
22 |
2 |
23 |
3 |
|
x3 =τ31x1′ +τ32x2′ +τ33x3′.
Введем в рассмотрение матрицы
x |
1 |
|
x1′ |
|
τ |
11 |
τ |
12 |
... |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||
X = x2 |
; |
|
|
|
τ22 ... |
||||||
X ′= x2 ; T = τ21 |
|||||||||||
... |
|
|
... |
. |
|
. ... |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
τn1 |
τn 2 ... |
|||||||||
xn ′ |
τ
τ2.n .
τnn1n
Тогда соотношения (5) можно записать в матричном виде
X = T X ′.
Матрица T называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e1,e2 ,...,en к базису
E1,E2 ,...,En . Причем, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E1,E2 ,...,En относительно старого базиса e1,e2 ,...,en .
Если преобразования координат состоит в повороте координатных осей, то матрица T называется матрицей поворота.
Пример. При повороте координатных осей xO y на угол α мы имели
(рис. 5.4.1)
129
x=x1 cosα −y1 sinα .
y=x1 sinα +y1 cosα
Здесь
cosα T = sinα
y
y1
−sinα
cosα – матрица поворота.
M(x ,y )
x1
α
x
Рис.5.4.1
2 Ортогональный оператор и замена базиса
Определение 1. Оператор A , матрица которого относительно дан-
ного ортонормированного базиса e ,e |
2 |
,...,e |
n |
|
евклидова пространства En |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ортогональна, называется ортогональным оператором. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Предположим, что в пространстве En |
переход от ортонормированного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
базиса |
e 0 ,e |
0 |
,...,e |
0 к другому ортонормированному базису E 0 |
,E 0 |
,...,E 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
осуществляется с помощью преобразования координат X = T X ′. Так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||
базис E 0 |
,E 0 |
,...,E 0 |
|
– ортонормированный, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ei |
0 ,Ej |
1, i = j |
|
|
|
|
=1,2,...,n ) . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ) = |
|
|
≠ j |
(i , j |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Выражая скалярные произведения (E 0 ,E |
0 ) (i , j |
|
=1,2,...,n ) через коорди- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наты этих векторов, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
τ |
2 |
+ |
τ |
2 |
+ ... +τ |
|
2 |
=1 |
|
|
|
τ |
|
τ |
12 |
+τ τ |
22 |
+ ... +τ |
τ |
= 0 |
|
|
||||||||||
|
|
11 |
|
|
21 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
21 |
|
|
|
|
n 1 n 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
+ |
τ |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
τ11τ13 |
+τ21τ |
23 + ... +τn 1τn 3 |
|
|
|||||||||||||||
τ12 |
22 |
+ ... +τn 2 |
=1 |
|
|
|
= 0 |
|
(6) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
. |
|
|
||
τ |
|
2 |
+τ |
2 |
+ ... +τ |
2 |
|
τ |
τ |
1n |
+τ |
2,n |
τ |
2n |
+ ... +τ |
|
|
τ |
= 0 |
|
|
|||||||||||
1n |
2n |
nn |
=1 |
|
|
1,n −1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
n ,n −1 n ,n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из равенств (6) следует, |
что TT |
|
T =E или TT |
=T−1 , |
т.е. матрица T , |
осуществляющая переход от одного ортонормированного базиса к другому, ортогональная.
§5 Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Пусть в пространстве En определен линейный оператор A , т.е. |
|
y = A x |
(1) |
130