- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Основные понятия
Пусть событие может наступить при условии появления одного из событий , которые образуют полную группу ( ). Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события
.
Эту формулу называют формулой полной вероятности.
Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса
где (формула полной вероятности).
Пример 3.1. В урне лежит шар неизвестного цвета с равной возможностью белого или черного. В урну опустили один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекли один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
Решение. Рассмотрим события:
{в урне лежал белый шар};
{в урне лежал черный шар};
{извлеченный шар белый}.
Очевидно, события и образуют полную группу событий. Кроме того, по условию задачи эти события равновозможные, т.е.
Вероятность извлечения из урны белого шара при условии, что сначала в ней лежал белый шар, равна . Аналогично имеем
Вероятность того, что из урны извлечен белый шар, по формуле полной вероятности равна
Вероятность того, что в урне сначала лежал белый шар, при условии извлечения белого шара по формуле Бейеса равна
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 3
Задача 3.1. В студенческой группе n % юношей. На занятиях обычно присутствуют k % девушек группы и m % юношей. Найти вероятность того, что наудачу вызванный по списку студент отсутствует? Какова вероятность, что это юноша?
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
65 |
58 |
74 |
42 |
35 |
58 |
44 |
39 |
56 |
41 |
k |
92 |
95 |
88 |
91 |
87 |
94 |
92 |
90 |
97 |
96 |
m |
75 |
74 |
78 |
79 |
85 |
80 |
84 |
78 |
90 |
77 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
65 |
54 |
42 |
38 |
65 |
48 |
49 |
52 |
39 |
41 |
k |
96 |
92 |
94 |
89 |
95 |
97 |
88 |
86 |
90 |
95 |
m |
80 |
82 |
84 |
78 |
82 |
91 |
81 |
93 |
85 |
81 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
36 |
44 |
48 |
51 |
43 |
56 |
65 |
68 |
73 |
81 |
k |
92 |
91 |
98 |
96 |
97 |
92 |
94 |
95 |
89 |
93 |
m |
82 |
81 |
84 |
86 |
92 |
94 |
85 |
84 |
82 |
79 |
Пример решения индивидуального задания
Пример 3.2. В студенческой группе 34 % юношей. На занятиях обычно присутствуют 98 % девушек группы и 88 % юношей. Найти вероятность того, что наудачу вызванный по списку студент отсутствует? Какова вероятность, что это юноша?
Решение. Пусть:
А = {наудачу вызванный по списку студент отсутствует}.
Введем события-гипотезы:
{студент юноша};
{студент девушка}.
По условию задачи имеем
( ),
.
Тогда по формуле полной вероятности получаем
.
2. Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся формулой Бейеса и вычислим
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 3
1.Что понимают под полной группой событий?
2.Какие события называются несовместными? Приведите примеры несовместных событий.
3.Что такое условная вероятность события?
4.Чему равна сумма вероятностей событий, составляющих полную группу?
5.Запишите формулу полной вероятности.
6.Запишите формулу Бейеса и объясните, с какой целью она применяется.
7.В хозяйстве имеется 6 гусеничных и 4 колесных трактора. Вероятность того, что за время выполнения некоторого вида работ гусеничный трактор не выйдет из строя, равна 0,95; для колесного трактора аналогичная вероятность равна 0,8. С целью выполнения указанного задания произвольно выбран трактор. Найти вероятность того, что он не выйдет из строя до завершения работ.
8.В трех мешках находится картофель: в первом 10% поврежденных клубней, во втором 15%, а в третьем 12%. Из наудачу выбранного мешка взяли один клубень. Какова вероятность того, что этот клубень не поврежден?
9.В двух корзинах находятся яблоки: в первой 20 штук, из которых 5 поврежденных; во второй 30 штук, из которых 6 поврежденных. Из наудачу выбранной корзины взяли одно яблоко. 1) Какова вероятность того, что яблоко будет поврежденным? 2) Если яблоко оказалось поврежденным, то какова вероятность того, что оно взято из первой корзины?
10.Студент при подготовке к экзамену либо работает с рекомендуемой литературой (с вероятностью 0,7), либо нет. В первом случае вероятность того, что он успешно сдаст экзамен, составляет 0,75. Во втором случае эта вероятность равна 0,4. Допустим, что студент не сдал экзамен. Какова вероятность того, что он работал с рекомендуемой литературой?
Тема 4. |
СХЕМА БЕРНУЛЛИ |