Плотность вероятности обнаружения частицы:
Графики волновых функций первых двух квантовых состояний и соответствующие графики плотности вероятности приведены на рисунках 7.3а,б.
Рис. 7.3 а,б
Из графика плотности вероятности для состояния с n = 2 видно, что точно посередине ямы частица не может быть обнаружена, т.к. там ψ22 = 0. По классическим же представлениям частица должна была двигаться равномерно внутри ямы, отражаясь от ее стенок. Ясно, что при этом все положения частицы в яме равновероятные.
Итоги лекции n 7
Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. Э. Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера. Для одной частицы, Движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.1)):
здесь
-
оператор Лапласа, в декартовой системе
координат он имеет следующий вид:
U - потенциальная энергия частицы во внешнем поле, которая может зависеть и от времени;
-
мнимая единица.
В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит от времени (т.е. U ≠ U(t)), то волновая функция может быть представлена в следующем виде (см. (7.2)):
здесь Е - полная энергия частицы в стационарном состоянии, ψ(x,y,z) - координатная волновая функция.
Для координатной волновой функции справедливо уравнение Шредингера для стационарных состояний (см. (7.3)):
Квадраты модулей полной Ψ и координатной y волновых функций совпадают:
таким образом, |ψ|2 в случае стационарных состояний определяет плотность вероятности обнаружения частицы.
Для свободой частицы U = 0 и решением уравнения Шредингера является уравнение волны де Бройля (см. (7.13)):
Для частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (см. рис. 7.1), из уравнения Шредингера вытекает следующая формула для энергии стационарных состояний (см. (7.21)):
здесь а - размер ямы; m - масса частицы, n - целое число, n = 1,2...
Таким образом, уравнение Шредингера предсказывает квантование энергии микрочастицы, движущейся в ограниченной области.
Волновая функция частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме имеет следующий вид (см (7.22)):
.
ЛЕКЦИЯ N 8
Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа. Спектры атома водорода в теории Шредингера. Волновая функция основного состояния атома водорода
§ 1. Уравнение Шредингера для атома водорода
В лекции N 7 мы разобрали боровскую теорию атома водорода, основанную на постулатах Бора и условии стационарности состояний атома (4.3).
Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в потенциальной яме. Применить стационарное уравнение Шредингера (7.3) к атому водорода это значит:
а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром
б) в качестве m подставить me - массу электрона (если пренебречь, как и в лекции N 4, движением ядра).
После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода:
Так как потенциальная энергия зависит только от r, решение уравнения удобно искать в сферической системе координат: r, θ, φ.(рис. 8.1)
Рис. 8.1
Волновая функция в этом случае будет функцией от r, θ и φ, т.е.
Оператор Лапласа
необходимо
записать в сферических координатах,
т.е. выразить через производные по r, θ
и φ. Мы не будем этого делать, поскольку
получение решения уравнения Шредингера
для атома водорода не входит в программу
курса общей физики. Приведем лишь
результаты.
Оказывается, что решение уравнения Шредингера для атома водорода существует при следующих условиях:
а) при любых положительных значениях полной энергии (E > 0). Это так называемые несвязанные состояния электрона, когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность;
б) при дискретных отрицательных значениях энергии
Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным квантовым числом.