3448
.pdf
|
398. С помощью определителя Грама выясните, является |
|||
ли |
данная |
система векторов линейно независимой: |
||
(1,1, 1, 2) , |
(4,1, 2, 3) , (3, 4, 1, 2) . |
|||
|
399. В четырехмерном евклидовом пространстве задан |
|||
базис g1 , |
g2 , g3 , g4 , для которого матрица Грама имеет вид |
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
. Исходя из данного базиса, с помощью про- |
1 |
2 |
3 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
цесса ортогонализации постройте ортонормированный базис.
400. Ненулевые векторы x1,..., xk |
евклидова (унитарно- |
го) пространства попарно ортогональны, т.е. (x1, x j ) 0 при |
|
i j . Докажите, что векторы x1,..., xk |
линейно независимы. |
401. В линейном пространстве P2 |
многочленов степени, |
не превосходящей 2, скалярное произведение элементов |
|
f (x) и g(x) задано формулой |
|
1 |
|
( f , g) f (x)g(x)dx . |
|
1 |
|
Постройте ортонормированный базис пространства P2 с помощью процесса ортогонализации, исходя из базиса 1, x, x2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
402. Линейный оператор A в базисе B |
: e1 |
, e2 |
,..., en име- |
||||||||||
ет матрицу |
A . Найдите матрицу сопряженного оператора |
|||||||||||||
A* |
в том же базисе B , если векторы e |
, e ,..., e |
заданы от- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
носительно |
|
некоторого |
ортонормированного |
базиса |
||||||||||
B : e1, e2 ,..., en : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
A 1 |
2 |
, |
e |
e |
, e |
e e |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
2) |
A |
1 |
3 |
, |
e |
e |
, e |
e e |
2 |
; |
||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|||
3) |
|
0 |
5 |
|
|
|
, |
A |
1 |
||||||
|
|
2 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
4) |
|
1 |
0 |
1 |
|
, |
|
A |
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
2e |
2 |
e |
3 |
, |
1 |
1 |
|
|
|
e |
e |
e |
2 |
e |
3 |
, |
1 |
1 |
|
|
|
e2 e1 e2 2e3 , e3 e1 e2 ;
e |
e |
2 |
e |
3 |
, e |
e e |
3 |
. |
2 |
|
|
3 |
1 |
|
403. Линейный оператор A , действующий в евклидовом
пространстве 3 , имеет в базисе |
f |
, |
f |
2 |
, f |
3 |
матрицу |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
2 3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Af |
|
1 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Является ли оператор A ортогональным, если разложение
векторов |
f1, f2 , f3 по |
ортонормированному базису e1, e2 , e3 |
|
имеет вид |
f1 e2 e3 , |
f2 e1 e3 , |
f3 e1 e2 ? Будет ли опе- |
ратор A самосопряженным? |
|
404. Линейный оператор, действующий в евклидовом
пространстве |
4 с каноническим скалярным произведением, |
задан матрицей |
A в базисе a : a1,a2 ,a3 ,a4 . Выясните, явля- |
ется ли данный оператор самосопряженным, ортогональным, если:
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
0 |
0 |
1 |
, |
a |
0 |
, |
a |
1 |
, |
a |
0 |
, |
a |
0 |
. |
||||
0 |
0 |
2 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
4 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
82
405. В линейной оболочке |
L sin x, cos x скалярное |
|
произведение элементов f1 A1 sin x B1 cos x и |
f2 A2 sin x B2 cos x |
|
введено по формуле ( f1, f2 ) A1A2 |
B1B2 . |
|
1)Докажите, что элементы e1 sin x и e2 cos x образуют ортонормированный базис пространства L .
2)Найдите матрицу оператора дифференцирования D в базисе e1, e2 .
3)Найдите матрицу сопряженного оператора D* в базисе e1, e2 и запишите явный вид этого оператора.
4)Докажите, что оператор D , действующий в L , является ортогональным.
406.Докажите равенство:
1) ( AB)* B* A* ; 2) ( A* )* A .
407. Докажите, что если оператор A имеет обратный, то сопряженный оператор A* также имеет обратный и справедливо равенство ( A* ) 1 ( A 1)* .
408.Докажите следующие свойства самосопряженного оператора:
1)собственные значения действительны;
2)собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
409.Докажите, что если - собственное значение ортогонального оператора, то равно либо 1, либо 1.
410. Покажите, что в пространстве 3 следующие операторы являются самосопряженными:
1) |
Ax x , где |
|
, - фиксированное число; |
|
2) |
Ax (x, u)u , |
где |
|| u || 1; |
|
3) |
Ax x (x, u)u , |
где |
|| u || 1. |
Выясните, являются ли данные операторы ортогональными.
83
|
411. Покажите, что в пространстве многочленов степени |
|||||||||||
2 |
со скалярным произведением |
( f , g) a0b0 a1b1 a2b2 , |
||||||||||
где |
f (x) a |
a x a x2 |
и g(x) b |
b x b x2 |
, следующие |
|||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
||
операторы являются самосопряженными: |
|
|
||||||||||
1) Af (x) f ( x) ; |
2) Af (x) x2 f ( |
1 |
) . |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
412. Покажите, что оператор |
A , который в некотором |
||||||||||
ортонормированном базисе задается матрицей |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
0 |
1 , |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
является самосопряженным. Постройте ортонормированный базис из собственных векторов и найдите матрицу оператора
Aв этом базисе.
413.Линейный оператор A , действующий в унитарном
пространстве, имеет в ортонормированном базисе e1, e2 |
мат- |
||||||||||||
|
2 |
1 i |
. Найдите матрицу сопряженного опе- |
||||||||||
рицу Ae |
|
|
|||||||||||
|
1 i |
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратора A* |
в базисе f , f |
2 |
, если |
f |
e |
e , |
f |
2 |
e |
ie |
. Яв- |
||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
ляется ли оператор A* эрмитовым?
414. Является ли эрмитовым оператор A , если в некотором ортонормированном базисе он имеет матрицу:
|
|
1 |
|
|
2 3i |
i |
|
|
1) |
2 3i |
|
3 |
2 i ; |
|
|||
|
|
i |
|
|
2 i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
5 |
i |
; |
4) |
0 |
1 |
; |
|
i |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
1 |
2i |
|
|
1 |
2 3i |
i |
|
|
2) |
2 3i |
|
3 |
2 i ; |
|
|
i |
2 |
i |
1 |
|
|
|
||||
|
1 |
1 i |
0 |
|
|
5) 1 i |
3 |
i ? |
|
||
|
0 |
i |
1 |
|
|
|
|
|
84
415.Выясните, при каких условиях диагональная матрица будет ортогональной.
416.Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу B в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей A , если:
|
1 |
1 |
|
5 |
2 |
11 2 |
8 |
|
1 |
2 |
2 |
||||||
1) |
; 2) |
|
2 2 |
10 |
|
; 4) |
|
2 |
1 |
2 |
|
||||||
A |
|
A |
2 |
8 |
|
; 3) A |
|
A |
. |
||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
8 10 |
5 |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
417. Является ли унитарным линейный оператор A , имеющий ортонормированном базисе унитарного пространства матрицу:
|
|
|
|
1 |
i |
|
1 |
i |
0 |
|
1) |
1 |
|
; |
2) 0 |
1 |
0 ? |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
i |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
i |
418. Докажите, что если подпространство L инвариантно относительно линейного оператора A , то ортогональное
дополнение L инвариантно относительно сопряженного
оператора A* .
419. Докажите, что если один и тот же вектор x является собственным для линейного оператора A и сопряженного
оператора A* с собственными значениями 1 и 2 соответственно, то 1 2 .
85
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
420.Запишите матрицу данной квадратичной формы:
1)f (x1, x2 ) x12 2x22 x1x2 ;
2)f (x1, x2 ) x12 2x1x2 ;
3)f (x1, x2 , x3 ) 3x12 4x22 4x32 5x1x2 3x1x3 x2 x3 ;
4)f (x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 x42 2x2 x4 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
421. Запишите квадратичную форму в виде aij xi x j , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j 1 |
если дана ее матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
3 |
|
1 |
0 |
4 |
|||
1) |
2) |
|
0 |
2 |
3 |
|
||||
|
3 |
; |
|
. |
||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
422. Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, укажите соответствующий канонический базис и запишите это преобразование; найдите положительный и отрицательный индекс инерции:
1)f (x1, x2 , x3 ) 3x12 3x22 2x1x2 4x1x3 4x2 x3 ;
2)f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3 ;
3)f (x1, x2 , x3 ) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 ;
4)f (x1, x2 , x3 ) 6x12 5x22 7x32 4x1x2 4x1x3 ;
5)f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 ;
6)f (x1, x2 , x3 ) x12 5x22 x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 .
86
423.Приведите данную квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и запишите соответствующее преобразование переменных:
1)f (x1, x2 , x3 ) x12 5x22 4x32 2x1x2 4x1x3 ;
2)f (x1, x2 , x3 ) 4x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 3x2 x3 .
424.Определите, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной:
1)9x12 6x22 6x32 12x1x2 10x1x3 2x2 x3 ;
2)12x1x2 12x1x3 6x2 x3 11x12 6x22 6x32 ;
3)x12 15x22 4x1x2 2x1x3 6x2 x3 ;
4)4x12 2x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
5)4x12 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
6)2x42 x1x2 x1x3 2x2 x3 2x2 x4 ;
7)x12 4x22 4x32 8x42 8x2 x4 .
425.Найдите все значения параметра , при которых данная квадратичная форма положительно определена:
1)2x12 x22 4x32 (2 1)x1x2 2 x2 x3 ;
2)x22 x32 4 x1x2 2 x1x3 ;
3)x12 x22 x32 2 x1x2 2 x1x3 2 x2 x3 ;
4)x12 x22 x32 4x1x2 2 x1x3 2 x2 x3 ;
5)x12 5x22 ( 2 1)x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 .
87
426.Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма отрицательно определена:
1)x12 x22 3x32 2x1x2 2x1x3 4x2 x3 ;
2)x12 x22 ( 3)x32 2x1x2 2 x1x3 2x2 x3 ;
3)2x12 8x22 3x32 2 x1x2 4x1x3 2 x2 x3 ;
4)2x12 5x22 x32 6x1x2 6x1x3 10x2 x3 .
427.Докажите, что если квадратичная форма с матрицей A положительно определена, то и квадратичная форма с
матрицей A 1 положительно определена.
|
428. Докажите, что для квадратичной формы f (x1,..., xn ) |
над |
следующие утверждения эквивалентны: |
(а) |
f отрицательно определена; |
(б) отрицательный индекс инерции f равен n ;
(в) в матрице квадратичной формы все главные угловые миноры нечетного порядка – отрицательны, а четного порядка - положительны.
429. Докажите, что квадрат длины вектора | x |2 в n -
мерном евклидовом пространстве является положительно определенной квадратичной формой.
430. Найдите канонический вид для квадратичной формы f (x1, x2 , x3 ) 2x1x3 3x2 x3 над полем 5 .
88
ЧАСТЬ 2. ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
При выполнении и оформлении заданий типовых расчетов необходимо соблюдать следующие правила.
1.Вариант назначается преподавателем. Как правило, вариант постоянный и совпадает с порядковым номером студента в академической группе.
2.Работу следует выполнять в отдельной тетради в клетку. На внешней обложке тетради должны быть указаны фамилия и инициалы студента, номер группы, номер варианта.
3.Задания выполняются шариковой или гелевой ручкой (не карандашом). В тетради должны быть поля 3 см для замечений преподавателя.
4.Каждое задание выполняется с новой страницы. Задания нумеруются, причем номер задания должен соответствовать его номеру в задачнике. Условие задачи необходимо переписать, а затем привести ее решение. Решение каждой задачи необходимо заканчивать записью ответа.
5.Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, аккуратными, без сокращения слов. Для задач по аналитической геометрии надо сделать поясняющий рисунок.
6.Все вычисления, в том числе и вспомогательные, необходимо делать полностью. Вычисления нужно производить по возможности точно в обыкновенных или десятичных дробях, не делать округлений в промежуточных вычислениях.
7.Типовой расчет должен быть сдан преподавателю в установленные сроки. Кроме того, типовой расчет должен быть защищен в письменном или устном виде (по указанию преподавателя).
89
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЗАДАЧА 1. Векторы c и d построены по данным векторам |
||||||
a |
и b . Выясните (аналитически и геометрически) являются |
|||||
ли векторы c , |
d коллинеарными, ортогональными. |
|||||
1) |
a (1, 2) , |
b (3, 0) , |
c 2a 4b , |
d 3a 4b ; |
||
2) |
a (1, 2) , b (3, 4) , |
c 2a 4b , |
d 3a 2b ; |
|||
3) |
a (2, 3) , |
b ( 3, 5) , |
c a 4b , |
d 3a 3b ; |
||
4) |
a (3, 4) , |
b ( 5, 2) , |
c a 4b , |
d 3a 3b ; |
||
5) |
a ( 5, 2) , |
b ( 3, 4) , |
c 2a b , |
d 2a 5b ; |
||
6) |
a ( 4, 3) , b (0, 10), c 2a b , |
d 2a b ; |
||||
7) |
a (4, 2) , |
b ( 5, 6) , |
c a 3b , |
d 2a 3b ; |
||
8) |
a ( 4, 5) , |
b ( 1, 5) , |
c a 3b , |
d 2a 3b ; |
||
9) |
a ( 5, 3) , b (3, 4) , |
c a 3b , |
d 4a 3b ; |
10) |
a ( 3, 2) , |
|
b ( 4, 5) , |
c a 3b , |
|
d 3a 2b ; |
11) |
a ( 2, 3) , |
|
b (1, 2) , c 3a b , |
d 5a 2b ; |
||
12) |
a (2, 3) , |
b ( 4, 2) , |
c 3a b , |
d a 5b ; |
||
13) |
a ( 3, 1) , |
b (5, 3) , |
c 2a 4b , |
d 2a 3b ; |
||
14) |
a ( 4, 2) , |
|
b (2, 3) , |
c 3a b , |
d 3a 3b ; |
|
15) |
a (2, 4) , |
b ( 4, 2) , c 2a 4b , |
d 2a 5b ; |
|||
16) |
a ( 3, 5) , |
|
b ( 5, 6) , |
c 2a 4b , |
|
d 3a b ; |
17) |
a (2, 3) , |
|
b (6, 4) , |
c a 4b , |
d 2a 3b ; |
|
18) |
a (5, 2) , |
|
b ( 5, 8) , |
c a 4b , |
d 3a 2b ; |
|
19) |
a ( 3, 2) , |
b ( 4, 5) , c 2a b , |
d 4a 3b ; |
|||
20) |
a (2, 6) , |
b ( 5, 2) , |
c 2a b , |
d 4a 2b . |
90