3448
.pdf
|
1 |
2 |
3 |
... |
n |
|
|
1 |
0 |
3 |
... |
n |
|
3) |
1 |
2 |
0 |
... |
n |
; |
|
... ... ... ... ... |
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
... |
0 |
|
|
a |
b |
b ... |
b |
|
|
|
|
|
||||
|
b |
a |
b ... |
b |
|
|
5) |
b |
b |
a ... |
b |
; |
|
|
. . . ... . |
|
|
|||
|
b |
b |
b ... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 ... |
n 2 |
n 1 |
n |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
2 |
3 |
4 ... |
n 1 |
n |
n |
|
4) |
3 |
4 |
5 ... |
n |
n |
n |
; |
|
. . . ... |
. |
. |
. |
|
||
|
n |
n |
n ... |
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
... |
an |
|
6) |
a2 |
a2 |
a2 |
... |
a2 |
. |
|
1 |
2 |
3 |
|
n |
|
|
... |
... |
... ... ... |
|
||
|
an 1 |
an 1 |
an 1 |
... an 1 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
n |
|
|
27. Вычислите определитель n -го порядка, элементы ко- |
|||||||||||||||||||||
торого заданы условиями |
aij min(i, j) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
28. Вычислите определитель n -го порядка, элементы ко- |
|||||||||||||||||||||
торого заданы условиями |
aij max(i, j) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
29. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители: |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
7 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
0 |
5 |
2 |
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
3 |
0 |
0 |
2 |
; |
|
2) |
2 0 |
|
0 |
8 |
; |
|
3) |
8 |
3 |
5 4 |
; |
||||
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
7 |
2 |
4 |
1 |
|
|
2 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
7 |
|
5 |
|
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
|
5 |
|
5 |
|
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
4 |
0 |
5 |
|
0 |
|
4 |
|
0 |
7 |
|
0 |
0 |
|
0 |
6 |
0 |
4 |
1 |
|
|
4) |
3 |
4 |
5 |
2 |
|
1 |
; 5) |
2 3 7 5 3 |
; 6) |
2 4 1 3 5 |
; |
|||||||||||
|
1 |
5 |
2 |
4 |
|
3 |
|
2 |
|
3 |
6 |
|
4 |
5 |
|
1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
|
|
|
4 |
6 |
0 |
7 |
|
0 |
|
3 |
|
0 |
4 |
0 |
0 |
|
0 |
5 |
0 |
3 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
7 |
|
6 |
|
5 |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
7 |
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
4 |
3 |
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
7 |
4 |
9 |
7 |
0 0 |
; |
|
8) |
3 0 4 0 7 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
|
3 |
|
6 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
6 |
3 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
|
5 |
|
6 |
0 |
0 |
|
|
|
|
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
6 |
|
8 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
9 |
4 |
0 |
0 |
3 |
7 |
|
|
|
|||
9) |
7 |
|
6 |
|
5 |
|
4 |
0 |
0 |
|
; |
|
10) |
4 |
5 |
1 |
1 2 |
4 |
|
|
; |
|||||
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
8 |
3 |
7 |
6 |
9 |
|
|
|
|||
|
5 |
|
1 |
|
2 |
|
6 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
7 |
|
5 |
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
3 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
6 |
5 |
7 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
5 |
1 |
4 |
2 |
7 |
3 |
|
|
|
|
||||||
11) |
|
9 |
8 |
6 |
7 |
0 |
0 |
|
; |
12) |
1 |
0 |
4 |
0 |
9 |
0 |
|
; |
||||||||
|
|
3 |
2 |
4 |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
8 |
1 |
5 |
3 |
7 |
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
8 |
0 |
27 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
5 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
9 |
1 |
5 |
4 |
3 |
10 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
a |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13) |
|
; |
|
|
|
|
|
14) |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
0 |
b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
0 |
0 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
12
30. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители, предварительно преобразовав их:
|
|
1 |
3 4 |
5 |
|
|
|
5 5 |
3 4 2 |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
2 |
7 |
8 |
7 |
|
|
4 4 3 6 |
3 |
|
|||||||
1) |
6 4 |
9 |
2 |
3 |
; |
2) |
|
3 1 |
5 |
9 |
5 |
; |
|||||
|
3 2 |
4 |
1 2 |
|
|
7 7 6 |
8 4 |
|
|||||||||
|
2 6 |
5 4 |
3 |
|
|
|
5 3 |
2 |
1 |
2 |
|
||||||
|
9 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
2 |
|
1 2 3 2 |
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
3 |
4 |
3 3 |
|
|
3 2 7 5 |
1 |
|
|
|||||||
3) |
5 |
7 |
2 |
4 |
2 |
; |
4) |
3 1 |
5 |
3 |
2 |
; |
|||||
|
4 |
5 |
8 |
6 |
8 |
|
|
|
5 6 4 2 |
4 |
|
|
|||||
|
6 |
5 |
3 3 7 |
|
|
2 3 3 1 |
2 |
|
|
||||||||
|
3 |
5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
3 4 3 |
1 2 |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 2 |
5 |
4 |
3 |
|
|
5 6 5 2 |
3 |
|
|
|||||||
5) |
2 3 |
4 |
2 |
3 |
; |
6) |
4 9 |
3 7 |
5 |
. |
|||||||
|
6 |
4 7 8 |
1 |
|
|
1 |
4 |
1 1 |
2 |
|
|||||||
|
2 |
1 7 |
1 5 |
|
|
|
3 7 5 2 |
3 |
|
|
|||||||
|
31. Пусть |
A - квадратная матрица второго порядка, а B |
- квадратная матрица третьего порядка. Выразите следующие определители через определители матриц A и B :
0 |
A |
, |
A |
C |
, |
C |
A |
. |
B |
C |
|
0 |
B |
|
B |
0 |
|
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
32. |
Вычислите |
|
3A B |
T |
, |
|
T |
|
3B , |
где |
|
|
A |
|
3 |
|
4 |
|
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B |
|
1 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
33. Вычислите произведение матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 9 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
4 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
3 |
28 93 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
7 |
5 |
|
|
38 |
126 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
3 |
2 2 |
5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 8 4 3 |
|
2 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
3 |
4 |
1 |
|
|
1 |
2 5 |
; |
|
|
|
|
|
5) |
|
6 9 5 |
|
|
4 |
|
1 3 |
|
; |
|
||||||||||||
|
|
2 |
5 |
3 |
|
|
1 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 7 3 |
|
|
9 |
|
6 5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6) |
|
0 |
1 2 |
|
|
0 2 |
|
3 |
0 |
|
; |
|
|
7) |
|
2 2 3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
1 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
n |
; |
|
|
|
10) |
1 1 n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
9) |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
34. |
Найдите матрицы |
|
AB , |
( AB)T , |
AT BT , |
BT AT , |
если |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
B |
T T |
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
, |
B |
. Проверьте равенство ( AB) |
A . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
35. Для данных матриц A и B найдите ( A 3B)2 , если
1 4 |
7 |
|
2 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 5 |
8 |
|
, |
B |
1 |
0 2 |
. |
|
|
3 6 |
9 |
|
|
|
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
36. Для данных матриц A и B найдите ( AB)3 , если
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
4 |
|
|
5 |
7 11 3 |
||
A |
3 |
|
|
, |
B |
3 |
|
. |
|
1 |
|
|
11 27 5 |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
37. Найдите значение данного выражения (здесь E - единичная матрица соответствующего размера):
1) |
A2 2A 5E , |
где |
4 |
3 |
; |
|
|
|||||
A |
2 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
A3 4 A2 |
A E , |
где |
1 |
2 |
; |
|
|
||||
A |
2 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
||
3) |
2 |
2A 5E , |
где |
|
2 |
4 |
|
1 |
|
; |
||
3A |
|
A |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
3 |
|
|||
4) |
3 |
|
2 |
13A 5E , |
где |
|
1 |
3 |
|
|
|
; |
A |
7 A |
A |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
|
||
5) |
3 |
|
2 |
2A 4E , |
где |
|
0 |
3 |
|
0 |
|
|
A |
5A |
A |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
38. Матрицы A и B называются перестановочными, если AB BA. Найдите все матрицы, перестановочные с мат-
рицей |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
39. Для данных матриц A и B найдите AB , |
BA , |
A B , |
||||||||||||
A B , |
A2 B2 , |
2A2 4A 5E , |
где |
E - единичная матрица. |
||||||||||
Вычислите определители матриц |
A , |
B , |
AB , |
A B , |
AT BT , |
|||||||||
AT BT , A2 B3 . Верно ли равенство |
A2 B2 ( A B)( A B) ? |
|||||||||||||
|
2 |
|
4 3 5 |
|
3 |
1 1 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
3 |
|
4 2 |
|
|
|
|
A |
1 |
|
1 , |
B |
0 |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
2 1 4 |
|
|
|
1 |
2 |
0 4 |
|
|
||
|
|
1 |
|
3 4 2 |
|
|
|
1 |
2 |
1 3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
40. Пусть |
A - матрица размера 5 5 |
и | A | 3 . Чему ра- |
вен определитель матрицы 2 A2 ?
41. Как изменится произведение AB матриц A и B , если:
а) переставить i -ю и |
j -ю строки матрицы A ? |
||
б) к i -й строке матрицы A прибавить |
j -ю строку, умно- |
||
женную на число c ? |
|
|
|
в) переставить i -й и |
j -й столбцы матрицы B ? |
||
г) к i -му столбцу матрицы B прибавить |
j -й столбец, умно- |
||
женный на число c ? |
|
|
|
42. Докажите, что если |
A и B - квадратные матрицы |
||
одного и того же порядка, причем AB BA , то: |
|||
а) ( A B)2 A2 2 AB B2 ; |
|
|
|
б) ( A B)( A B) A2 B2 . |
|
|
|
43. Докажите равенства: |
|
|
|
а) (cA)T cAT , где c |
- число; |
б) ( A B)T |
AT BT ; |
в) ( AT )T A ; |
|
г) ( AB)T BT AT . |
16
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
44. Вычислите A 1 двумя способами: а) с помощью взаимной матрицы, б) методом элементарных преобразований:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|||||||||
1) A |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 2 |
|
|
|
2 |
0 |
||||||||||||||
|
; 2) |
A |
; 3) A |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 2 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
45. Для данной матрицы найдите обратную матрицу и |
||||||||||||||||||||||||||
сделайте проверку, т.е. убедитесь, что AA 1 |
E : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
2 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|||||||||
1) |
|
2) |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
5 |
3 |
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
3 |
; |
|
|
|
|
; |
3) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 1 |
1 1 |
|
|
|
1 2 |
|
3 4 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) 1 1 |
1 |
1 ; 5) |
2 3 |
|
1 2 ; 6) |
|
0 0 |
|
1 |
|
1 |
. |
||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 0 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
46. Решите матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
|
|
|
X |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5 |
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
1 |
|
5 |
|
6 |
|
|
14 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
|
|
|
2 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
3 2 |
4 |
X |
|
10 2 |
|
7 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
|
5 |
3 |
1 |
8 |
3 |
0 |
|
|
||
5) |
|
1 |
3 |
2 |
|
|
5 |
9 |
0 |
|
; |
X |
|
|
|
||||||||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
2 |
15 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 0 |
|
0 5 |
0 |
|
4 |
5 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
0 |
|
0 2 |
|
X |
4 0 |
0 |
|
|
8 |
10 4 |
; |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
3 0 |
|
|
|
0 0 |
2 |
|
|
|
|
|
15 6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) X |
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8) X 1 3 |
|
6 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
3 1 |
|
|
|
|
9 7 |
|
6 |
|
2 |
|
0 2 |
|||||||||
9) |
|
4 |
|
5 2 |
|
X |
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
12 9 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
5 |
|
7 3 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
|
|
|
23 |
|
15 11 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
47. Решите систему (в матрицах второго порядка): |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
9 |
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
48. Определите, при каких значениях данная мат- |
|||||||||||||||||||||
рица имеет обратную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
49. Докажите равенства:
а) ( A 1) 1 A ; |
б) ( AB) 1 B 1 A 1 ; |
в) ( A 1)T ( AT ) 1 ; |
г) ( A 1)n ( An ) 1 . |
50. Как изменится обратная матрица A 1 , если в данной матрице A :
а) переставить i -ю и j -ю строки?
б) i -й строку умножить на число c 0 ?
в) к i -й строке прибавить j -ю строку, умноженную на c ?
51. Пусть квадратные матрицы A , B , C одного и того же порядка обратимы. Найдите матрицу, обратную к произ-
ведению ABC 1 .
52.Докажите, что матрицы A E и A2 E A невырожденные и взаимообратные, если A3 O .
53.Пусть A - квадратная матрица и A2 A E O . До-
кажите, что матрица A - невырожденная и найдите A 1 .
54. В определителе n -го порядка каждый элемент заменили на его алгебраическое дополнение. Чему равен полу-
ченный определитель? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ВЕКТОРОВ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
55. Вычислите ранг матрицы по определению: |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 5 |
3 5 7 |
|
|
4 3 |
2 2 |
|||||
1) |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 2 3 |
|
; |
|
0 2 |
1 1 |
|
|
|
0 0 ; |
2) |
|
3) |
. |
||||||||||
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
0 0 |
3 3 |
|
|
|
|
0 11 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
56. Вычислите ранг матрицы методом элементарных |
|||||||||||||
преобразований: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
3 2 |
4 |
|
|||
1) |
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|
2) |
|
4 |
2 5 1 |
7 |
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
3 |
6 |
9 |
12 |
|
|
|
|
2 |
1 1 8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
||
3) |
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
3 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
5 |
|
||
|
|
5 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5) |
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
1 |
3 |
5 |
0 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
5 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
57. Вычислите ранг |
|||||||||
параметра : |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
1) |
|
2 |
1 |
|
5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
10 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
1 |
|
||
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
4) |
; |
|
|||||
|
5 |
1 |
1 |
7 |
|
|
|
|
7 |
7 |
9 |
1 |
|
||
|
4 |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
8 |
6 |
7 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|||||
6) |
|
4 |
3 |
8 |
2 |
7 |
. |
|
|
4 |
3 |
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
8 |
6 |
1 |
4 |
6 |
|
|
|
|
матрицы при различных значениях
|
3 |
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
10 |
1 |
|
2) |
|
. |
||||
|
|
1 |
7 |
17 |
3 |
|
|
|
2 |
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
58.Как может измениться ранг матрицы, если приписать
кней: а) одну строку, б) одну строку и один столбец?
59.Может ли ранг матрицы с размерами 5 6 быть ра-
вен 3; 5; 6; 7?
60.Чему равен ранг транспонированной матрицы AT ,
если rang A r ?
61.Опишите все матрицы ранга 1.
62.Показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
63.Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n . До-
кажите, что: 1) rang (AB) min(rang A, rang B) ;
2)если матрица B обратима, то rang AB rang A ;
3)rang (A B) rang A rang B .
20