2385
.pdf1.13. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим некоторые приемы составления дифференциальных уравнений.
1°. При составлении дифференциальных уравнений в геометрических задачах обычно используется геометрический смысл производной как тангенса угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением оси Ox . Устанавливая соотношение между x, y и y , приходим к
дифференциальному уравнению y f x, y .
2°. Задача об ортогональных траекториях. Ортогональной траекторией семейства кривых Ф x, y, a 0 называется
кривая, пересекающая все кривые этого семейства под углом2 . Для отыскания ортогональной траектории составляют
дифференциальное уравнение семейства |
|
f (x, y, y ) 0 , |
исключают параметр из полученного и данного уравнений
и заменяют в полученном уравнении y |
|
на |
|
|
1 |
|
(условие |
||
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональности). Затем уравнение |
f x, y, |
|
1 |
|
0 |
следует |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
проинтегрировать.
Если семейство кривых задано в полярных Ф , , 0 координатах, то при отыскании ортогональных траекторий в
дифференциальном |
уравнении |
семейства |
f , , 0 |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
следует |
заменить |
на |
и полученное уравнение |
||||
|
f, 2 , 0 проинтегрировать.
71
3°. ЕСЛИ исследуемый процесс y f (x) протекает так, что
его скорость относительно независимой переменной x пропорциональна текущему значению самого процесса y, то он может быть описан уравнением
dydx ky , откуда y Cekx .
Если коэффициент пропорциональности k 0 , то с возрастанием x процесс у нарастает. Например, процесс увеличения давления при погружении тела в воде, размножения бактерий, увеличение вклада в банке и т. д.
Если k 0 , то с возрастанием x процесс у убывает. Например, процесс радиоактивного распада, убывания атмосферного давления с увеличением высоты, разрядки конденсатора через сопротивление и ряд других.
4°. Основным законом динамики точки является второй закон Ньютона, который в проекциях на неподвижные оси координат имеет вид
|
m |
d 2 x |
X , |
m |
d 2 y |
|
Y , |
m |
d 2 z |
Z, |
(1) |
|||||||
|
dt |
2 |
dt2 |
dt |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
m - масса точки; |
d 2 x |
, |
d 2 y |
, |
d 2 z |
проекции ускорения |
|||||||||||
dt |
2 |
dt2 |
|
dt2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на |
оси координат; X,Y,Z — проекции силы на те же оси. |
Силы сопротивления среды принимают часто пропорциональными скорости, то есть первой производной. Упругие и квазиупругие силы пропорциональны положению движущейся точки, то есть ее соответствующей координате. Поскольку силы сопротивления и упругие силы направлены в сторону, противоположную движению, в уравнения движения они входят со знаком минус. Полагая силы действующие на точку зависящими от времени, запишем основное уравнение динамики в проекции, например, на ось x
m |
d 2 x |
|
dx |
cx X (t) , |
(2) |
||
dt |
2 |
dt |
|||||
|
|
|
|
72
где - коэффициент пропорциональности скорости
движения; с - коэффициент жесткости.
Уравнение движения (2) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Если X (t) 0 , то есть на
точку не действуют внешние силы, то точка находится под действием сил, связанных со средой.
5°. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Зависимость между радиусом кривизны изогнутой оси балки
(x) , изгибающим моментом M (x) |
и жесткостью балки EI |
|||
имеет вид |
|
M (x) . |
|
|
1 |
|
(3) |
||
|
(x) |
|||
|
|
EI |
|
Подставляя в формулу (3) значение радиуса кривизны и пренебрегая квадратом угла поворота сечения балки dydx ,
приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки примет вид
EI |
d 2 y |
M (x) . |
(4) |
|
dx2 |
||||
|
|
|
6°. Рассмотрим составление дифференциальных уравнений, описывающих изменение токов и напряжений в электрических цепях в зависимости от времени. Для этого воспользуемся законом Ома и правилами Кирхгофа.
Закон Ома. Падение напряжения U на индуктивности L, емкости C и активном сопротивлении R выражается формулами
UL L di |
, |
UC |
1 |
|
idt, |
UR Ri, |
||||||||
C |
||||||||||||||
или |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
dUC |
|
|
UR |
|
||||
i |
|
ULdt, |
i C |
, |
i |
, |
||||||||
L |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
R |
где i - сила тока; t - время; L, С, R - коэффициенты индуктивности, емкости, активного сопротивления.
73
Правила Кирхгофа. 1. Алгебраическая сумма токов в точке разветвления цепи равна нулю.
2. Алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления (включая и внутреннее) равна алгебраической сумме эдс, действующих в замкнутом контуре. Токи и эдс, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными.
13.1. Найти уравнения кривых, если известно, что любая касательная, проведенная к кривой, отсекает на оси Ox отрезок, длина которого равна половине абсциссы точки касания.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 1.2). Пусть y f (x) - уравнение кривой, M (x, y) - точка касания. Касательная М N наклонена под углом к оси Ox . MP - перпендикуляр к оси
Ох. Тогда из прямоугольного |
треугольника |
MNP |
имеем |
||||||
tg |
MP |
. Поскольку |
MP y , a |
NP |
x |
, то |
tg |
2 y |
. Из |
NP |
|
x |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
геометрического смысла производной y tg ; таким образом y 2xy .
Рис. 1.2
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение
dy |
|
2dx |
; ln |
|
y |
|
2 ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
, откуда |
y Cx2 . Общее |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение в данном случае представляет семейство парабол. 13.2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1,3) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на
74
оси ординат любой касательной, равен абсциссе точки касания.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Пусть y f (x) - уравнение кривой, а M (x, y) - точка касания.
По условию отрезок ON, отсекаемый касательной на си ординат, равен OA x , т. е. абсциссе точки касания. Из
треугольника OBN следует, что |
ON |
tg или |
tg |
|
x |
. Из |
||||||||||||||||||||||
OB |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg MA |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
OB |
||||||
треугольника АВМ |
|
y |
|
|
|
. Откуда |
|
|
|
y |
. |
|||||||||||||||||
x OB |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
OB |
|
x OB |
|||||||
OB |
x2 |
|
|
. Из |
геометрического |
смысла производной |
|
имеем |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
x |
|
y |
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
; |
|
|
Уравнение |
однородное, делаем |
|
замену |
|||||||||||||||||||||
OB |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
y xt; y |
|
t xt |
|
|
|
|
|
dx |
t ln |
|
x |
|
C . Общее решение |
|||||||||||||||
тогда dt x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
имеет вид y x |
ln |
|
x |
|
C . Кривая проходит через точку М с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
координатами (1, 3). Подставляя координаты этой точки в общее решение, находим 3 1(ln1 C); C 3. Таким образом,
уравнение искомой кривой примет вид y x ln x 3 .
13.3. Найти линию, для которой сумма нормали и поднормали пропорциональна абсциссе.
75
Решение. Учитывая, что tg y , длина нормали равна
|
y |
|
1 y 2 |
|
, а длина поднормали |
|
|
y y |
|
. Таким образом, искомая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линия удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 y 2 |
yy kx или 2kxyy k2 x2 |
y2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Это однородное уравнение. Используя подстановку y xz , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
y |
|
будем иметь |
2kxz dx |
k |
|
|
z |
2kz |
|
или, разделяя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменные, |
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
k2 z2 |
1 2k |
|
|
2kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Интегрируя последнее выражение и переходя к старым |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменным, получим |
x2k2 (1 2k) y2 |
Cx k1 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После несложных |
упрощений |
|
уравнение искомой линии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
примет вид y2 Cx k |
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
13.4. Найти ортогональные траектории семейства: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) окружностей x a 2 |
y b 2 |
|
R2 ; б) логарифмических |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
спиралей ae . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. а) Дифференциальное уравнение семейства ок- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ружностей будет 2(x a) 2 y b y 0 |
или |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a y b y 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Заменяя y |
на |
y , |
получим |
|
|
|
x a y b y или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y b |
x a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Интегрируя |
|
|
|
|
последнее |
|
|
|
|
|
|
|
уравнение, |
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
y b |
|
ln |
|
x a |
|
ln |
|
C |
|
, |
|
|
y b C(x a) |
т. е. ортогональными |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
траекториями будут прямые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
б) Найдем дифференциальное уравнение семейства логарифмических спиралей ae . Исключая параметр a,
|
|
|
|
|
. Заменяя |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
будем иметь |
|
|
на |
|
, получим |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
или |
|
. Откуда |
d |
|
или ln |
|
|
|
ln C , |
Ce |
|
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.5. Тело падает с высоты h при начальной скорости v0 0 . Найти зависимость между скоростью и пройденным
путем, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.
Решение. На тело при падении действуют две силы: сила веса Р и сила сопротивления v2 . Пользуясь вторым законом
Ньютона (масса, умноженная на ускорение, равна сумме приложенных сил), можем записать
|
m dv P pv2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку dv |
dv dy |
dv v и |
m |
P |
, то |
P |
dv v P v2 |
|||||
g |
|
|||||||||||
dt |
dy dt |
dy |
|
|
|
g dy |
||||||
или v dydv g 1 kv2 , где k |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделяем переменные и интегрируем |
|
vdv |
gdy, |
|||||||||
1 kv2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21k ln 1 kv2 gy C .
Вначале движения v0 0, y 0 . Подставляя начальные
условия в общее решение, находим, что C 0 . Отсюда, зависимость скорости v от пройденного пути имеет вид
ln |
|
1 kv2 |
|
2kgy или |
v |
k1 1 e 2kgy . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
13.6. Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его количеству в данный момент времени. Определить количество цинка к концу 200 суток, если период
77
полураспада Т = 300 суток, а в начале исследования имелось N0 8 гр. цинка.
Решение. Поскольку скорость процесса есть первая производная от количества вещества N по времени, то по условию
задачи |
dN |
kN . Интегрируя это |
уравнение, |
получим |
|
|
dt |
|
|
|
|
N Cekt . При |
t 0, N0 8 . Отсюда |
8 Cek 0 или |
C 8 и |
N 8ekT .
Период полураспада t = Т это то время, за которое распадается половина начального количества вещества, т. е.
4 8ekT , |
1 |
ekT . Отсюда коэффициент пропорциональности |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
k ln 2 |
ln 2 . |
|
|
|
T |
300 |
Таким образом, количество вещества через 200 суток будет
N 8e |
ln 2 |
200 |
43 2 гр. |
300 |
13.7.За сколько времени тело, нагретое до 100°, в комнате
стемпературой T0 = 20° охладится до 25°, если до 60° оно
охладится за 10 мин.?
Решение. По закону Ньютона скорость охлаждения
пропорциональна разности температур |
|
dT k(T T ) откуда |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
0 |
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
kdt; |
ln |
|
T 20 |
|
kt ln C . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T 20 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t = 0, T= 100°, таким образом ln 80 ln C; C 80 . За |
время t = 10 мин. температура стала T = 60°, следовательно,
k |
|
1 |
ln 2 . |
|
|
Таким |
|
|
образом, |
T 20 80ekt |
или |
||
10 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
20 80 |
10 |
. Отсюда |
находим время, |
за |
||||
T 20 80e |
10 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
которое |
|
|
тело |
охладится |
до |
25 : 25 20 80 |
10 |
; |
||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
4 |
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
; |
t |
= 40, т. е. тело охладится за 40 мин. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.8. В коническую воронку высотой Н и углом при вершине конуса 2а налита вода. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке и временем истечения t, если площадь отверстия s см2. Определить полное время истечения.
Решение. Воспользуемся формулой Бернулли, определяющей скорость v истечения жидкости из отверстия в резервуаре, находящегося на h, м ниже свободной поверхности жидкости
v 2gh ,
где g = 9,81 м/с2 - ускорение силы тяжести; - постоянный коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды
0,6 ).
Объем воды, вытекший через отверстие площадью s за dt после начала истечения, равен объему цилиндра высотой vdt, т. е.
dV svdt s 2ghdt .
С другой стороны, учитывая, что радиус основания уровня воды в воронке равен htg , объем воды за время dt
уменьшился на величину
dv 13 h3tg2 13 h dh 3 tg2 tg2 h2 dh .
Поскольку уровень воды при истечении понижается, то dh < 0. Приравнивая выражения для этих объемов, получим
3
tg2 h2dh s 2ghdt или dt tg2 h2 dh . s 2g
79
Интегрируя, имеем t C 2 tg2 h52 . 5s 2g
При t 0, |
h H; тогда C |
2 tg2 |
H |
52 . |
||
|
|
|||||
5 s 2g |
||||||
|
|
|
|
Следовательно, зависимость между временем истечения и переменной высотой уровня примет вид
t |
2 |
tg2 |
H 52 h52 |
. |
|
||||
|
5 s 2g |
|
Полное время истечения Т найдем, полагая в последней формуле h =0, т. е.
T |
2 tg2 |
H 52 . |
||
|
|
|||
5 s 2g |
||||
|
|
Замечание. Решение задачи выполнено при условии, что размер выпускного отверстия мал в сравнении с остальными размерами воронки.
13.9. Определить время, необходимое для установления одинакового уровня жидкости в сообщающихся сосудах, если в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде нахо-
дился на высоте h1 от отверстия, а во втором - на высоте h2 h1 h2 . Площадь горизонтального сечения первого сосуда
равна S1 второго - S2 а площадь отверстия - s.
Решение. Количество жидкости, теряемое первым сосудом, равно количеству жидкости, получаемому вторым
сосудом, т.е. S1dz1 S2dz2 , где dz1, dz2 - изменение уровней жидкости через время dt. За время dt через отверстие пройдет
объем |
жидкости |
s |
2g z1 z2 dt |
где |
- |
постоянный |
||
коэффициент. Так |
как объемы |
равны, |
то отсюда |
|||||
S1dz1 |
s 2g z1 |
z2 dt или |
dz1 |
s |
2g dt . |
|||
z1 z2 |
||||||||
|
|
|
|
|
S1 |
|
80