2385
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
an xn |
nan xn 1 |
a1 |
2a2 x 3a3 x2 |
... |
|||||||
n 0 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.1. Найти сумму ряда: а) |
|
x3 |
|
x7 |
|
... |
x4n 1 |
|
...; |
|||
|
3 |
7 |
4n 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) 1 3x2 5x4 ... 1 n 1(2n 1)x2n 2 |
|
... |
Решение. а) Дифференцируя ряд почленно, получим
x2 x6 x10 ... x4n 2 ... 1 x2x4
геометрический ряд, который сходится при |х| < 1. Интегрируя почленно этот ряд и его сумму, получим
сумму ряда |
x3 |
|
x7 |
|
x11 |
... |
x4n 1 |
... |
1 ln |
|
|
x 1 |
|
|
1 arctgx . |
||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
|||||||||||||||
|
3 7 11 |
|
4n 1 |
4 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
б) Интегрируя почленно ряд, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
x x3 x5 |
... ( 1)n 1 x2n 1 ... |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
x2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометрический ряд, который сходится при |х| < 1. Дифференцируя этот ряд почленно, получим исходный ряд
и его сумму
|
2 |
|
4 |
n 1 |
|
2n 2 |
|
1 x2 |
|
1 3x |
|
5x |
|
... 1 |
(2n 1)x |
|
... |
|
. |
|
|
|
(1 x2 )2 |
2.9. Разложение функций в степенные ряды
1°. Если существует предел последовательности
частичных сумм lim Sn (x) , то функциональный ряд сходится к
n
некоторой функции f (x) , то есть
f1(x) f2 (x) ... fn (x) ... f (x) .
Если функция f(x) известна, то
f (x) f1(x) f2 (x) ... fn (x) ...
151
выражает разложение функции f (x) в ряд по функциям fi (x) . Если функции fi (x) — степенные, то говорят, что функция f (x) разложена в степенной ряд.
2°. Представление функции в виде степенного ряда называется разложением функции в степенной ряд. Общее
правило разложения функции в ряд по степеням x x0
дается рядом Тейлора |
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x) f (x |
) |
|
|
f (x0 ) |
(x x ) |
|
(x x |
)2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
1! |
|
|
0 |
2! |
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
... |
|
|
f (n) (x ) |
(x x )n ..., |
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а по степеням х рядом Маклорена |
|
|
|
|
|
f n (0) |
|
|
||||||||||
f (x) f (0) |
|
f (0) |
x |
f (0) |
x2 ... |
|
xn |
... (2) |
||||||||||
|
1! |
|
|
|
||||||||||||||
|
f (x) |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||
сходящимся к |
для |
всех |
значений |
х, |
при |
которых |
||||||||||||
остаточный член |
Rn (x) 0 |
при |
n . Остаточный член в |
форме Лагранжа для ряда (1) имеет вид |
|
|
|||||||||
Rn (x) |
x x0 n |
f n x0 |
(x x0 ) ; |
0 1 , |
(3) |
||||||
n! |
|||||||||||
а для ряда (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r (x) |
xn |
f |
n |
(x ). |
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ряд (1) служит для аналитического представления функции |
|||||||||||
в окрестности |
точки |
x x0 , |
|
а ряд (2) — в окрестности |
точки х=0.
3°. Во многих случаях разложение функции в степенной ряд просто получить, если использовать стандартные разложения
152
I. e |
x |
1 |
|
|
x |
|
|
x2 |
... |
xn |
... |
|
1! |
2! |
n! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
II. sin x x x3 x5 ... ( 1)n 3! 5!
x2n 1
(2n 1)! ...
x
x
III. |
cos x 1 |
x2 |
|
x4 |
... ( 1)n |
x2n |
... |
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|||||||||
IV. (1 x)m 1 m x m(m 1) x2 |
... m(m 1)...(m n 1) xn ... |
|||||||||||||||||||||
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 1 |
V. |
1 |
1 x x2 |
... xn ... |
|
|
|
|
|
|
|
1 x 1 |
|||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI. ln(1 x) x |
x2 |
|
|
|
x3 |
... ( 1)n 1 |
xn |
|
... |
1 x 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
VII. arctgx x |
x3 |
|
x5 |
... ( 1)n 1 |
x2n 1 |
|
... |
1 x 1 |
||||||||||||||
|
|
(2n 1) |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
VIII. arcsin x x |
1 x3 |
|
1 3 x5 |
... |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 3 |
2 4 5 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
IX. shx x |
|
x3 |
|
|
x5 |
|
... |
|
|
x2n 1 |
|
|
... |
|||||||
3! |
5! |
|
|
(2n 1)! |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
X. chx 1 |
x2 |
|
|
x4 |
|
... |
|
|
x |
2n |
... |
|||||||||
2! |
|
4! |
|
|
(2n)! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 1)!!x2n 1 ...
(2n)!!(2n 1)
1 x 1
x
x
Следует помнить, что при разложении тригонометрических функций в ряд Маклорена или Тейлора, аргумент х берется в радианной, а не в градусной мере.
9.1. Разложить в ряд по степеням х функции: а) tg х; б) ecos x ; в) x5 2x4 x2 x 1 — по степеням (х +1).
Решение. а) В соответствии с видом ряда Маклорена отыскиваем последовательные производные функции и находим их значения при x = 0:
153
|
|
f (x) tgx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (0) 0, |
||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(x) cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|||||||||||||
|
|
f |
|
|
|
2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(x) cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|||||||||||||
|
|
f |
|
2 |
cos2 |
x 3sin2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
2, |
|||||||||||||
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
cos4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f |
IV (x) 8 2sin x cos2 |
x 3sin3 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
f IV (0) 2, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f V (x) 8 |
cos2 x 2 3sin2 |
|
x |
5sin2 x(3 cos2 x) |
; |
f V (0) 16. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Подставляя найденные производные в ряд Маклорена (2), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) x |
x3 |
|
2x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) Находим последовательные производные и их значения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при x 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f (x) ecos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (0) e, |
|
|||||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
cos x |
sin x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(x) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) 0, |
|
||||||||||||||
|
|
f |
|
|
sin |
2 |
x cos x e |
cos x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) e, |
|||||||||||||||||||
|
|
f |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x e |
cos x |
; |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(x) |
|
2 sin 2x 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(0) 0, |
|||||||||||||||||||||
f |
IV |
(x) |
|
3cos 2x cos x 9cos x sin |
2 |
|
x |
sin |
2 |
|
|
|
|
|
cos x |
; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
2x e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f IV (0) 4e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Подставляя найденные значения в ряд (2), |
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) e 1 |
|
|
|
|
|
|
... . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Находим производные и их значения при x 1: f (x) x5 2x4 x2 x 1;
154
|
4 |
8x |
3 |
2x 1; |
|
|
0, |
|||||
f (x) 5x |
|
|
f ( 1) |
|||||||||
|
|
|
3 |
24x |
2 |
2; |
f |
|
2, |
|||
f (x) 20x |
|
|
|
( 1) |
||||||||
|
|
|
|
2 |
48x; |
|
f |
|
|
|||
f (x) 60x |
|
|
( 1) 12, |
|||||||||
f IV (x) 120x 48; |
|
f IV ( 1) 72, |
||||||||||
f V (x) 120; |
|
|
|
|
|
f V ( 1) 120. |
Подставляя найденные значения в ряд (1), получим
f(x) x 1 2 2(x 1)3 3(x 1)4 (x 1)5.
9.2.Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x 0
функции: а) e x2 ; |
|
б) |
cos2 x ; |
|
в) |
sin2 x cos2 x ; |
|
|
|
г) ln |
1 x |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
; е) arcsin x 2 ; |
|
ж) arctg |
x ; |
з) ch3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. а) Заменяя в ряде (I) |
x на x2 , получим : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e x2 |
1 |
x2 |
|
|
x4 |
... ( 1)n |
x2n |
... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) Ряд можно получить умножением ряда (III) самого на |
||||||||||||||||||||||||||||||
себя или с помощью преобразования |
cos2 x |
1 |
1 cos 2x |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
разложения cos 2x по формуле (III) и замены x на 2x : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x 1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
x |
2 |
2 |
4 |
x |
4 |
|
... 1 n |
2 |
2n |
x |
2n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2x2 |
23 x4 |
... 1 n |
2n 1 x2n |
... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) |
Преобразуем |
|
|
|
сначала |
|
|
|
|
это |
произведение |
|||||||||||||||||||
sin2 x cos2 x 1 sin2 2x |
1 1 cos 4x . |
Раскладывая |
|
cos 4x |
с |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
помощью стандартного ряда (III) и заменяя x на 4x , получим:
sin2 x cos2 x 1 |
1 |
|
|
4 |
2 |
x |
2 |
4 |
4 |
x |
4 |
... ( 1)n |
4 |
2n |
x |
2n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8 |
8 |
|
|
|
2! |
|
|
4! |
|
|
2n ! |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
|
2x2 |
|
25 x4 |
... 1 n 1 24n 3 x2n |
... |
|||
|
2! |
|
|
4! |
(2n)! |
|
||
г) Представим ln |
1 |
x |
|
в виде ln(1 x) ln(1 x) . Первый |
||||
1 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
логарифм дан разложением (VI), а второй может быть получен из него заменой x на x :
ln(1 x) x |
x2 |
|
x3 |
... |
|
xn |
... |
|||||||||
2 |
3 |
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычитая этот ряд из ряда (VI), получим : |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
x |
|
x |
3 |
|
|
|
x |
2n 1 |
|
|
|
|
||
ln |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
x |
2 x |
3 |
2n 1 |
... . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) Преобразуем |
данную |
|
функцию |
|
|
|
в |
произведение |
1
x(1 x) 2 . Далее используем биноминальный ряд (IV), полагая в нем m 12 :
|
|
1 |
|
|
|
1 x |
|
|
|
1 3 x |
2 |
|
|
1 3 5 x |
3 |
|
|
|
n (2n 1)!!x |
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x(1 x) |
|
2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
|
|
|
|
n |
n! |
|
... |
|
||||||||
|
2 1! |
2 2 2! |
2 2 2 3! |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
1 x2 |
|
3 |
|
|
x3 |
1 3 5 |
x4 |
... 1 n |
2n 1 !!xn 1 |
... |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 1! 22 22 |
|
|
|
23 |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
е) Представим |
|
|
|
функцию |
|
|
|
в |
виде |
|
|
|
произведения |
||||||||||||||||||||||||||
arcsin x arcsin x и воспользуемся стандартным рядом (VIII) : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
|
1 3 x5 |
|
|
|
1 x3 |
|
|
1 3 x5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
||||||||||||||
|
|
2 3 |
|
2 4 5 |
|
2 3 |
|
2 4 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемножая ряды по схеме (2.7.2 ), имеем :
arcsin x 2 |
x2 |
2 |
x4 |
2 4 |
x6 |
... |
2n 2 !!x2n |
... |
|
|
2n 1 !!n |
||||||
|
|
3 2 3 5 3 |
|
|
ж) Заменяя в ряде (VII) x на x , имеем :
156
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
arctg |
x |
x |
|
x2 |
|
|
x2 |
|
... ( 1) |
n 1 |
|
x |
2 |
|
... |
||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
2n 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
з) Представим гиперболический косинус в виде |
||||||||||||||||||||
3 |
ex e x 3 |
|
1 |
e3x e 3x |
3 |
ex e x |
|
|
1 |
ch3x 3chx . |
|||||||||||
ch |
x |
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При разложении в ряд воспользуемся стандартным рядом (X), заменяя в первой функции x на 3x:
ch3 x |
1 1 3x |
2 |
|
(3x) |
4 |
... |
(3x) |
2n |
... |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
||||||
3 1 |
|
|
|
... |
|
|
... . |
|
|||||||||||||
2! |
|
|
(2n)! |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Складывая почленно, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
1)x |
2n |
|
|
|
||||||
|
ch3 x 1 |
3 |
(3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. Вычисление приближенных значений функций
Представление элементарных функций в виде стандартных рядов позволяет использовать эти ряды для вычисления приближенных значений функций.
10.1. Вычислить с помощью биноминального ряда 3 130 ,
ограничиваясь двумя членами ряда. Оценить погрешность. Решение. Применяя биноминальный ряд (IV), представим
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
данный корень в виде |
3 125 5 5 |
|
3 |
. Полагая x |
, |
||||
1 |
|
|
|
|
|||||
25 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
m 13 , запишем три члена разложения
157
3 130 5 |
|
|
1 1 |
|
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
... . |
|
|||||||
3 25 |
3 3 625 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Первые два члена дают |
результат |
3 130 5 |
|
1 |
. Поскольку |
||||||||
15 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящийся ряд знакочередующийся, то погрешность приближенного значения суммы меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов, т. е. третьего члена разложения равного 0,0002.
10.2. Вычислить cos18 с точностью до 0,001. Сколько для этого нужно взять членов ряда?
Решение. Приведем аргумент к радианной мере и подставим получаемое число вместо х в разложение косинуса (III), тогда получим :
cos18 cos |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
... 1 0,0493 0,0004 ... |
|
10 |
100 |
2! |
10000 |
4! |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Для обеспечения |
требуемой |
точности достаточно взять |
первые два члена разложения cos18° 0,951, т.к. третий член по абсолютной величине меньше 0,001.
10.3. Вычислить ln1,1 с точностью 0,0001. |
|
|||
Решение. Представим логарифм в виде |
ln(1 0,1) и |
|||
воспользуемся рядом (VI), заменяя х |
на 0,1 : |
|
||
ln 1 0,1 0,1 |
0,01 0,001 |
0,0001 |
... |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
Четвертый член можно |
отбросить, |
т.к. по |
абсолютной |
величине он меньше требуемой точности, таким образом ln(1 0,1) 0,0953 .
10.4. Вычислить lg5 с точностью 0,001.
Решение. Перейдем от десятичного логарифма к
натуральным lg 5 |
ln 5 |
. Для разложения функции в ряд |
||||
ln10 |
||||||
|
|
1 |
x |
|
||
воспользуемся разложением в ряд ln |
(9.2,г): |
|||||
1 |
x |
|||||
|
|
|
|
158
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
||||||
ln |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... . |
|
||||||||||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
, получим 1 x |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||
Полагая x |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ln |
ln n 1 ln n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|
||||||
|
2n 1 |
3 2n 1 2 |
5 |
2n 1 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При n 1 получим разложение для ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 9 |
|
5 9 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничиваясь первыми тремя членами, можно найти ln 2 с тремя правильными десятичными знаками. Действительно, рассмотрим поправку, начиная с четвертого члена
|
2 |
1 1 |
1 1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||
3 |
7 9 |
3 |
9 9 |
4 |
11 9 |
5 |
|
|
|
3 7 9 |
3 |
9 |
9 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
7 |
92 |
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда ln 2 0,693. Полагая n = 4, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln 5 2ln 2 |
2 |
|
|
1 1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
1,609 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
3 9 |
2 |
5 9 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь вычисленными значениями ln 2 и ln 5 , находим ln10 ln 2 ln 5 2,302 . Таким образом, lg 5 1,6092,302 0,699 .
2.11. Интегрирование функций
Разложение подынтегральных функций в ряды и вычисление интегралов почленным интегрированием рядов
159
целесообразно в тех случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде с помощью известных приемов интегрирования.
11.1. Определить в виде рядов интегралы: а) sinx xdx ;
б) ex dx ; |
в) x arctgxdx ; |
|
г) x |
ln(1 x)dx и |
указать область |
||||||||
x |
0 |
x |
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
||
сходимости полученных рядов. |
|
|
|
||||||||||
Решение. а) Раскладывая |
sin x в ряд и деля на х, получим |
||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
1 n |
x |
2n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
... |
|
|
... dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3! 5! |
|
|
2n 1 ! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
C x |
|
|
x3 |
|
|
x5 |
... 1 n |
|
|
|
x2n 1 |
|
|
... |
|
|||||||||||||||||||||
|
3 3! |
|
2n 1 2n 1 ! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Для определения области сходимости рядов воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
признаком Даламбера : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
|
x2n 3 (2n 1)(2n 1)! |
x2 lim |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
(2n 3)(2n 3)!x2n 1 |
|
|
(2n 3)2 (2n 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Отсюда следует, что ряд сходится при x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) Раскладывая ex |
|
в ряд и деля на х, получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 1 |
|
x |
|
x |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
n |
|
|||||
|
|
... |
|
|
... dx |
C ln |
x |
|
x |
|
|
|
|
... |
|
|
... |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
2! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2! |
|
|
n n! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Для определения области сходимости воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
признаком Даламбера : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
xn 1n n! |
|
|
|
|
x |
|
lim |
|
|
n |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n 1)(n 1)!xn |
|
|
|
|
1)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n (n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Так |
|
как при |
|
x 0 |
|
первый |
член обращается в |
бесконечность, то область сходимости полученного ряда будет
( x 0 и 0 x ) .
160